圆中常用的辅助线添法

王柳

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高同学们分析问题和解决问题的能力是大有帮助的，下面就讲解几种圆中常用辅助线的添法。

一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径），或连结过弦的端点的半径.

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，再根据勾股定理求有关量.

例1 如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D二点.求证：AC=BD.

证明：过O作OE⊥AB于E，

∵O为圆心，OE⊥AB，

∴AE=BE，CE=DE，

∴AC=BD.

例2 如图2，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：[AC]=[BD].

证明：连结OC，OD，

∵M，N分别是AO，BO的中点，AO=BO，

∴OM=ON，

又CM⊥OA，DN⊥OB，OC=OD，

∴Rt△COM≌Rt△DON，

∴∠COA=∠DOB，

∴[AC]=[BD].

例3 如图3，已知M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM.

证明：连结OM，ON，MN，

∵O为圆心，M，N分别是弦AB，CD的中点，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵AB=CD，

∴OM=ON，

∴∠OMN=∠ONM，

∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，

∴∠AMN=∠CNM.

二、当题目已知直径时，常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形；当题目已知有90°的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端，利用圆周角的性质得到直径.

例4 如图4，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC.

证明：连结AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADP=90°，

又AC=PC，

∴AC=CD=[ 1

2 ]AP.

三、遇到等弧时，常作的辅助线有这么几种：①作等弧所对的弦；②作等弧所对的圆心角；③作等弧所对的圆周角.

例5 如图5，已知在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=[ 1

2 ]AD.

证明：作直径CF，连结DF，BF，AD，

∵CF为⊙O的直径，

∴CD⊥FD，

∵CD⊥AB，

∴AB∥DF，

∴[AD]=[BF]，

∴AD=BF，

又OE⊥BC，且O为圆心，CO=FO，

∴CE=BE，

∴OE=[ 1

2 ]BF=[ 1

2 ]AD.

四、遇到题目中已知有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点），利用切线的性质定理，得到直角或直角三角形.

例6 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD的长.

解：连结OE，则OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

∴[ OE

BC ]=[ AO

AB ]，

∵AO=AB-OB，OB=OE

∴[ OE

BC ]=[ AB-OE

AB ]，

在Rt△ABC中，AB=[AC2+BC2] =[122+92] =15，

∴[ OE

9 ]=[ 15-OE

15 ]，

解得OE=[ 45

8 ]，

∴BD=2OB=2OE=[ 45

4 ]，

∴AD=AB-DB=15-[ 45

4 ]=[ 15

4 ].

答：AD的长为[ 15

4 ].

五、遇到需要证明某一直线是圆的切线时，

①当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；

例7 如图7，点P是⊙O的弦CB延长线上的一点，点A在⊙O上，且∠BAP=∠C.求证：PA是⊙O的切线.

证明：作⊙O的直径AD，连结BD，则∠C=∠D，∠ABD=90°，即∠D+∠BAD=90°，

∴∠C+∠BAD=90°，

∵∠C=∠BAP，

∴∠BAD+∠BAP=90°.

即PA⊥DA，所以PA为⊙O的切线.

②如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.

例8 如图8，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB，求证：直线L与⊙O相切.

证明：过O作OE⊥L于E，

∵O是AB的中点，且AC∥BD∥OE，

∴OE是梯形ACDB的中位线，

∴OE=[ 1

2 ]（AC+BD），

又AC+BD=AB，

∴OE=[ 1

2 ]AB.

∴OE是⊙O的半径，

∴直线L是⊙O的切线.

六、当圆上有四点时，常构造圆内接四边形.

例9 如图9，△ABC内接于⊙O，F是BA延长线上的一点.直线DA平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC=AD·AE.

证明：连结BE，

∵∠1=∠3，∠2=∠1，

∴∠3=∠2，

∵四边形ACBE为圆内接四边形，

∴∠ACD=∠E，

∴△ABE∽△ADC，

∴[ AE

AC ]=[ AB

AD ]，

∴AB·AC=AD·AE.