指数分布参数的E-Bayes方法

李亿民

(山东理工大学理学院， 山东淄博255049)

指数分布参数的E-Bayes方法

李亿民

(山东理工大学理学院， 山东淄博255049)

摘要：基于指数分布定时截尾寿命试验，给出了失效率λ的E-Bayes估计.研究了在超参数取不同密度函数时λ的E-Bayes估计之间的关系和收敛速度以及估计量关于超参数的稳健性，并通过实例，给出了不同超参数下失效率λ和可靠度R(t)的计算结果．

关键词：指数分布；先验分布；超参数；失效率；E-Bayes估计

对于指数分布的定数截尾寿命试验，已经有了比较成熟的处理方法[1].对于定时截尾寿命试验，在规定的试验时间较短时，特别是对于高可靠产品，失效个数往往比较少，甚至出现无失效的情形[2-6]．为了充分利用产品的失效信息和分布的先验信息，对指数分布定时截尾寿命试验，我们试图给出参数λ和R(t)的E-Bayes(expected Bayesian)估计[5]．

设产品寿命T服从参数为λ的指数分布，即

T～f(t)=λexp{-λt},t>0

(1)

其中λ>0为产品的失效率．

1失效率λ的Bayes估计和E-Bayes估计及性质

对参数λ>0，选择其先验密度函数为[5]

π(λ|a)=aexp(-aλ),λ>0

(2)

其中a>0为超参数．

证明对指数分布，在第i组定时截尾寿命试验中，其失效数ζi服从参数为(ni-ri)τiλ的Poisson分布，于是样本的似然函数为

由Bayes定理，得参数λ的后验密度

由于知道a>0，我们假定它有上界c，即a服从 (0,c)上的分布，为此，假定其密度函数分布为

(3)

(4)

其中j≥0，当j=0时，即为(0,c)上的均匀分布；两种密度函数从图形上差别较大，式(3)为严格递减函数，式(4)为严格递增函数．

(ⅱ)对任意m>0，j>0,有

对任意0≤j

(5)

为便于应用，我们给出k=2,0时a的3个先验密度函数

(6)

(7)

(8)

定理3在定理1的条件下，若a的3个先验密度函数为式(6)、式(7)、式(8)，则

(ⅰ)参数λ的E-Bayes估计分别为

证明(ⅰ)由定义1知

至于其他两种情况，可类似证明．

至于(ⅲ)和(ⅳ)的证明，直接利用(ⅰ)的结果即可．

2 应用实例

某型号电子产品的定时截尾试验中，所得到的试验数据见表1．已知该产品寿命服从参数为λ的指数分布．

表1　电子产品寿命试验数据　s

表和的计算结果

参考文献:

[1]茆诗松，汤银才，王玲玲. 可靠性统计[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3]茆诗松, 李亿民. 恒加寿命试验中无失效数据的处理[J]. 应用概率统计, 1993,9(2) :216-218.

[4]李建军. 指数分布无失效数据的Bayes点估计[J]. 桂林电子科技大学学报，2007，27(1):68-70.

[5]韩明. 可靠性参数的修正Bayes估计法及其应用[M]. 上海：同济大学出版社，2010.

[6]黄秀平，周经伦.二项分布场合加速退化零失效可靠性验证试验[J]. 系统工程与电子技术, 2012,34(9):1 951-1 956.

[7]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2010.

[8]熊莲花，赵德勤. 威布尔分布无失效数据失效概率的估计[J]. 大学数学，2010，26(3): 23-27.

[9]马志明，刘瑞元. 指数分布无失效数据情形的参数估计[J]. 青海大学学报：自然科学版，2007，25(2)：82-85.

(编辑：郝秀清)

收稿日期：2014-09-09

作者简介：李亿民，男， lym640722@163.com.

文章编号：1672-6197(2015)02-0040-04

中图分类号：O213.2

文献标志码：A

An E-Bayesian method for parameters of exponential distribution

LI Yi-min

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:Based on the Type-Ⅰcensoring life test under the exponential distribution condition,the E-Bayesian estimation of failure rate λ is presented in this paper. The relationship and convergence rate of the E-Bayes estimation of λ are considered when super parameters select different density functions, and the robustness of estimator related to super parameter is discussed. Some examples have been appliedto calculate failure rate λ and reliability R(t) under different super parameters.

Key words:exponential distribution; prior distribution; super parameter; failure rate; E-Bayesian estimation