间隙结构的非线性气动弹性方法和行为研究

刘超峰，张 赢，杨智春

（1.上海机电工程研究所，上海 201109；2.西北工业大学 航空学院，陕西 西安 710072）

0 引言

间隙非线性是飞行器中一种最常见的集中式结构非线性，它对飞行器的气动弹性特性，包括颤振特性和动力学响应，都会产生重要的影响。对间隙非线性颤振系统，其颤振边界远小于线性颤振系统，且系统常在低于或高于线性颤振临界速度下均表现为极限环运动，甚至出现混沌运动，这是非线性气动弹性系统的动力学响应区别与线性气动弹性系统的最主要特征。因此，研究间隙的集中非线性环节的机翼颤振对分析非线性颤振特性和揭示非线性颤振机理有重要的理论和实际意义。近几十年来，非线性颤振分析逐渐被重视而发展。一方面是因为传统线性颤振理论越来越不能适应有非线性环节的颤振问题，另一方面得益于非线性动力学理论的不断发展，为非线性颤振研究提供了强有力的分析工具［1］。当气流速度增至高亚声速范围或结构存在非线性尤其是强非线性时，线性理论不能得到足够精确的分析结果，有时甚至给出完全错误的结论。非线性颤振系统可表现出丰富的动力学行为，常出现极限环、分岔、混沌等复杂非线性动力学现象［2］。文献［1］综述了非线性气动弹性问题，介绍了亚声速条件下二元机翼非线性颤振问题研究的分析方法，这些方法也是非线性振动分析中常用的，对非线性颤振分析有很大的借鉴意义。

对机翼颤振系统，尤其是大展弦比机翼的非线性颤振研究主要有两种［3］。第一种是基于二元机翼模型的研究，在翼展方向上将机翼近似视作等截面，假设该截面弦向不变形，其运动被看成刚体运动。按系统的自由度分成二自由度二元机翼和三自由度二元机翼两类，二自由度系统只考虑俯仰和沉浮两个方向的运动，三自由度系统包括机翼＋操纵面和机翼＋外挂两种。第二种则是将机翼视作一个整体，通过计算结构动力学（CSD）和计算流体力学（CFD）耦合计算得到机翼的气动弹性特性。前者发展较早，可看成经典的颤振分析方法，后者在近二十年内迅速发展。二元机翼模型虽然与原型相差较大，但研究相对简单，也有利于探讨各种颤振机理，因而在非线性颤振分析中仍占有重要地位，且研究二元机翼模型的非线性颤振特性也能获得关于三元机翼非线性颤振系统的很多信息。基于CSD／CFD耦合计算的机翼颤振特性分析显然更符合实际，但研究难度非常大。近年来得益于计算机技术的更新和先进计算方法研究的发展，基于CSD／CFD耦合的颤振分析方法得到了长足发展。

本文综述了间隙结构非线性气动弹性相关研究进展。

1 集中式结构非线性特性

典型的非线性刚度特性有立方非线性、中心间隙型、双线型，以及带预载偏移间隙型的非线性环节［4－7］。由于机翼的加工工艺和机翼运动部件的磨损，间隙集中非线性普遍存在，常存在于接触机构中，如控制面的铰链和折叠式导弹翼面连接处等。本文对中心间隙型、预载间隙非线性和迟滞非线性环节进行论述。

中心间隙型非线性刚度特性如图1所示。多数非线性气动弹性系统采用了中心间隙型非线性环节，其俯仰刚度的力学模型为

式中：α为翼面或舵面的角位移；Kα为俯仰刚度；Mα为俯仰扭矩；Es为中心间隙角。

图1 中心间隙型非线性Fig.1 Nonlinear of center clearances

预载型间隙非线性刚度特性如图2所示。其俯仰刚度的力学模型为

式中：Ep，Et分别为前后间隙角。

图2 带预载间隙非线性Fig.2 Nonlinear of preloaded clearances

迟滞非线性刚度特性如图3所示。迟滞非线性的出现，是由于工艺和使用磨损等原因，使机翼俯仰或操纵面偏转运动自由度上，不可避免地会同时存在间隙和摩擦机制。因此，对这种间隙非线性和摩擦环节同时存在而形成迟滞非线性环节的情形，研究其对气动弹性系统的响应特性和稳定性特性的影响十分必要，也更具实际意义。以二元机翼为研究对象，考虑在其俯仰自由度（或操纵面偏转自由度）上同时带有中心间隙和摩擦非线性环节，其迟滞环节的俯仰刚度力学模型为

a）随着x1增加，Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ，

b）随着x1减小，Ⅲ→Ⅳ→Ⅱ，

式中：x1为所考察的翼面或舵面的某个自由度；M为随该自由度而变的扭矩；αf，δ分别为迟滞前后自由度度量。

图3 迟滞非线性Fig.3 Nonlinear of lag clearances

2 间隙非线性气动弹性行为规律

当达到一定飞行速度时，间隙非线性颤会给飞行器带来灾难性后果，为此国内外对其进行了大量研究。如研究颤振系统的极限环振荡（LCO）特性、分岔特性、混沌运动特性，并对混沌非线性颤振行为进行控制等［8］。

2.1 极限环振荡（LCO）特性

在带集中环节非线性的气动弹性系统中，通常非线性因素会诱发系统的极限环振荡，从而导致结构的疲劳损伤、飞行品质恶化等出现。间隙是集中非线性中最常见的因素，美军用飞机设计标准及民用适航条例均规定，全动操纵面的偏转间隙应控制小于0.034°。这个严格要求对全动操纵面的制造、安装与维护带来技术挑战，所需成本相应增加。同时，有研究发现间隙诱发极限环的程度也受操纵面受载和初始迎角等因素的影响［9－10］。

由于存在非线性因素，非线性气动弹性系统在颤振临界点处发生Hopf分岔，当飞行速度大于线性系统颤振速度时，非线性颤振系统将会出现LCO，而不是线性系统的发散振动。颤振失稳和大幅值的LCO都将导致飞行器结构失效，因此预测和分析非线性气动弹性系统的颤振临界点与LCO幅值对飞行器的结构安全十分重要。

分析系统极限环运动时，间隙非线性环节是导致系统出现极限环运动的根本原因，而初始条件对非线性颤振系统LCO特性的影响又非常重要，初始条件改变可能导致LCO类型和稳定性发生质变。在初始条件对LCO特性影响的研究中，频率比、初始攻角、预加载荷、突风载荷等初始条件，以及间隙非线性参数对非线性系统极限环特性的影响，都会对系统的非线性颤振特性产生重要作用。在非线性颤振系统的极限环特性研究中，通过观察系统运动响应的时间历程和相图，对LCO运动进行时域和相轨迹分析，能更直观得到系统运动的类型等信息。

2.2 分岔特性与稳定性分析

非线性颤振系统出现平衡点分岔、Hopf分岔和极限环分岔等复杂动力学现象。即使对不可压缩流下的二元机翼颤振系统，由于存在非线性因素，系统也会出现多种非线性动力学现象。文献［11-12］对多种非线性气动弹性系统进行了实验和理论研究，认为非线性颤振系统大致可出现两种分岔特性：一种当飞行速度超过颤振速度时，机翼振幅不会马上出现发散，而是趋于一种等幅振动，即极限环运动；另一种是飞行速度在某个区间内，存在两个或两个以上平衡解，但其中的极限环不全是稳定的，如此系统的平衡位置将严重依赖于初始条件，给系统带来巨大隐患，这对飞行器而言是不允许的。非线性气动弹性研究的目的是利用有益的系统非线性特性，避免产生有害的非线性现象。因此，有必要对非线性颤振系统的平衡点和极限环的稳定性，以及分岔特性进行研究。

2.3 混沌运动分析

非线性气动弹性系统中，另外一种复杂的非线性动力学现象是混沌运动。混沌是指发生在确定性系统中貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性，即不可重复、不可预测。其外在表现与纯粹的随机运动相似，均为不可预测，但与随机运动不同，混沌系统在动力学上是确定的，其不可预测性源于运动的不稳定性，或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具有敏感性，小扰动在长时间后，也会使系统彻底偏离原演化方向。

混沌运动的往复非周期特性可用相平面图的几何方法表示，而当周期运动的周期很长时，仅由相平面图难以区分周期运动和混沌运动。庞加莱映射能更好地刻画混沌的往复非周期特性。除静态观察混沌的几何特征，还须动态讨论系统随参数变化而呈现混沌运动的过程，即产生混沌运动的途径。一般，倍周期分岔、阵发性、准周期环面破裂都是典型的混沌产生途径。

目前，在机翼非线性颤振问题研究中，针对混沌现象，多从现象观察，采用数值仿真，常根据系统的动力学行为判断其是否为混沌运动。实践中，发现系统运动的若干数值特征可用于识别混沌运动，主要有李雅普诺夫指数、分形维数、功率谱和熵等方法［8］。

2.4 非线性颤振控制

非线性颤振是重要也是最难预测的气动弹性现象，因此，从认识颤振现象开始，就一直研究减缓和控制颤振的各种方法。迄今为止，主要通过被动控制和主动控制两种途径实现机翼颤振抑制。在20世纪20年代，采用质量平衡法消除机翼操纵面颤振问题，该方法为最早的被动控制技术，目前仍用于某些飞行器的设计。另外，改变结构刚度也可实现颤振抑制。被动颤振抑制技术虽安全可靠，但缺点也非常明显，由于改变了整个系统的结构特性，需对飞行器进行重新设计，从而增加设计和制造成本。

对机翼颤振控制，更有前途的技术是半主动控制和主动控制。半主动控制是一种振动系统的参数控制技术，它根据系统输入的变化和对系统输出的要求实时调节系统中某些环节的刚度、惯性和阻尼特性，从而使系统获得优良的颤振特性。半主动控制所需的作动器具有价格低、能耗小等特点，一般其体积和重量也易于接受。半主动控制涉及的关键技术是设计并实现参数可控环节和控制策略。主动控制是在振动控制过程中，根据检测到的结构振动，经实时计算产生一定的控制策略，从而驱动作动器对结构施加一定的作用（如控制力、力矩）实现抑制或消除结构颤振。主动颤振控制因其良好的控制效果，以及对不同结构的适应能力获得了气动弹性研究者的关注。50年代中期，提出了主动颤振抑制技术，其基本思想是通过闭环控制，利用系统的状态和输出反馈，产生一定的控制力作用于机翼，主动改变机翼颤振系统的零、极点配置，使原来的不稳定状态转化为稳定状态。常用的实施方法是在飞行器升力面的适当部位，安置若干个传感器测试飞行器升力面的振动信号，将测试信号经放大和转换或按预先确定的控制律反馈到主动控制系统的舵机上，由舵机驱动操纵面，产生所需控制力，从而使结构振动趋于稳定。

颤振主动控制系统设计主要包括机翼气动弹性系统建模、控制器设计和系统实施，其中控制器设计是主动控制系统的核心，目前主要有独立状态空间控制法、直接速度反馈法、前馈控制法、自适应控制、最优控制和鲁棒控制等［13－18］。

3 间隙非线性气动弹性研究基本方法

二元机翼模型的非线性气动弹性研究可分为定性和定量分析两类。定性研究的主要对象是系统的稳定性、局部分岔和分岔类型等，定量研究则关注计算颤振的振幅、频率和相位等要素。定性研究是进行定量研究前常用的步骤，其结果对定量研究有指导作用。定量研究一方面可验证某些定性结果，另一方面丰富了定性研究的对象。在很多情形下，两者间并不存在明显的界限，在同一问题中可能既有定性分析又有定量计算［1］。

对三元机翼非线性气动弹性问题的研究，因系统自由度较多，通常会用有限元法建立结构和气动力模型，获取多自由度系统的质量阵、阻尼阵、刚度阵和气动力矩阵，这样就可用气动弹性系统运动方程表示三维非线性颤振系统，将二元机翼非线性颤振的研究方法用于三元机翼系统。

3.1 定性研究

机翼非线性颤振定性分析是近年非线性颤振研究的热点，其中常用的分析方法有几何法、Hopf分岔定理、中心流形理论和规范型方法。

几何法由POINCARÉ于1885年首先提出，通过相平面方法描述系统变量及其导数随时间的变化，用相平面法可分析系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳定精度，以及初始条件和参数对系统运动的影响，如根据相平面的奇点和极限环可判断系统的平衡状态和稳定性。

Hopf分岔是非线性颤振系统中，当分岔参数经过分岔值时由平衡状态产生孤立的周期运动，伴随Hopf分岔产生的周期运动的孤立闭轨即为极限环。1782年，在瓦特发明的蒸汽机离心调速器上就观察到了Hopf分岔现象。此后，POINCARÉ研究了平面系统中的Hopf分岔现象；ANDRONOV等建立起了平面Hopf分岔理论；HOPF通过严格证明，建立了高维系统中的Hopf分岔数学理论。因此，Hopf分岔也称为Andronov-Hopf分岔或Poincaré－Andronov-Hopf分岔。

中心流形方法是非线性颤振系统理论研究的重要内容，是线性系统的中心子空间概念在非线性颤振系统中的推广。在高维非线性颤振系统非双曲平衡点的邻域内，存在一类维数较低的局部不变流形，当系统的相轨迹在此流形上时可能存在分岔，而在该流形之外，动力学行为非常简单，如以指数方式被吸引到该流形。这类流形成为中心流形。1964年，PLISS证明了中心流形定理的一个特例，1967年KELLEY证明了一般有限维系统的情形。该定理还可推广到若干无穷维系统。

传统上，规范型方法先采用中心流形理论对高维方程进行降维，再用一系列近恒等变换进行简化，之后对简化方程进行非线性分析。该过程中有大量的矩阵计算显得较复杂。

上述定性研究的基本思路都是采用中心流形降维＋规范型方法，此类方法的缺点是不能用于研究间隙非线性和迟滞非线性颤振系统。目前，大量研究成果已证明初值对间隙非线性颤振系统和迟滞非线性颤振系统的动力学行为影响很大，而规范形理论和中心流形理论中未考虑初值的任何信息。因此，规范形理论和中心流形理论不能很好地研究间隙非线性或迟滞非线性颤振系统。

3.2 定量方法

非线性颤振定量方法大致可分为解析法、半解析半数值法和数值法。文献［19］从分析的角度提出了一种求解非线性颤振方程的解析方法。得益于现代计算方法的发展，数值积分方法（如Runge-Kutta法和有限差分法）成为非线性颤振分析中常用的数值方法。一方面，解析方法仅在某些特定的情况下有效，方法推导也较复杂，要求有很高的数学技巧，其应用受到了较大的限制；另一方面，只从数值计算分析非线性颤振系统，也不利于探讨各参数对颤振特性的影响规律。因此，合适的解析方法也是分析非线性颤振系统的技术途径，目前非线性颤振的定量方法多属于半数值半解析的范畴。以下介绍等效线性化法、描述函数法、谐波平衡法、高维谐波平衡法、增量谐波平衡法、点映射和胞映射方法、中心流形理论、摄动增量法、数值积分法及其他方法。

等效线性化法是非线性颤振分析常用的方法，主要通过平均法或其他方法获得非线性颤振系统的等效线性刚度，从而获得原非线性颤振系统的等效线性颤振系统，并用线性颤振分析方法求解。在非线性振动力学中，等效线性化法是建立在平均法基础上的，由平均法的近似解出发，用状态变量消去第一阶谐波项，推导出原系统近似的线性微分方程（即等效线性振动方程）。陈立群等阐明了该方法的物理意义是等效线性力与非线性力的功率及无功功率均相等，证明了在系统简谐振动的一个周期中，非线性力和等效线性力差值的累积平方取最小值。

描述函数法是目前非线性颤振求解使用最多的求解方法。该法的目的是获得等效线性系统，以便应用传统气动弹性系统的求解方法。1940年，由DARNEL首先提出，当非线性方程的假设解只取基波分量时，谐波平衡法即为描述函数法。通常描述函数法主要用于分析无外力作用时非线性颤振系统的稳定性、自振荡及周期解的存在性等。因描述函数法不受系统阶次限制，且能给出满意的结果，故获得了广泛应用。传统描述函数法的基本思想是，当系统满足一定的假设条件时，用一次谐波分量近似系统中的非线性环节在正弦信号作用下的输出，从而得到非线性环节的近似线性特性，因此描述函数法亦称为等效线性化法。当非线性颤振系统的输入信号为常数（直流分量）或其他高斯分布信号时，经拟线性化计算也可实现非线性环节的线性化描述。

谐波平衡法的本质是时域Galerkin法，其基本概念是将解假设为关于时间的截断Fourier级数，通过谐波平衡过程获得关于Fourier系数的代数方程组（谐波平衡方程）。根据所用谐波数的多少，该法又分为一阶和高阶谐波平衡法。对某些低维非线性振动方程，能解析求出一阶或低阶谐波平衡解，因此在某些场合中低阶谐波平衡法可视为解析方法。但对大多数振动方程，谐波平衡方程含非常复杂的非线性项，其解析解很难求得，甚至无法确定，因而只能求数值解。另外，谐波平衡解显含时间，且谐波平衡法可获得数值方法不能求得的不稳定极限环（或周期）解。因此，谐波平衡法本质上属于半解析半数值方法，且对一般的周期振动问题，通常使用前数次谐波便可获得精度很高的解，因此在各种非线性动力学工程问题的求解中获得了广泛应用。但随着谐波个数增多，各次谐波分量对非线性项的Fourier级数展开所需的推导过程会越来越复杂，故谐波平衡法一般只能使用较少的谐波数。

高维谐波平衡法由杜克大学的HALL等提出［20］。由于高阶谐波平衡方程常含非常复杂的非线性项，谐波平衡法解的获得随所考虑谐波数的增加而急剧变难，这极大地限制了该方法的进一步应用和推广。高维谐波平衡法能避免谐波平衡法中的复杂公式推导，其核心是将谐波平衡法的频域变量（Fourier系数）通过离散傅里叶变换与时域变量建立等式关系，这样就避免了非线性项的Fourier展开。但研究表明高维谐波平衡法会产生多余的非物理解，而对非物理解的鉴别和剔除的处理过程很复杂。2014年，DAI等提出时域配点法研究俯仰立方非线性二元机翼的复杂响应行为，并证明了高维谐波平衡法是配点法而不是谐波平衡法的变种，用该法消除了高维谐波平衡法中出现的非物理解［21］。

增量谐波平衡法同样也是为避免直接求解复杂的谐波平衡方程而提出的一种半解析半数值方法，它综合了数值计算中的增量方法和谐波平衡法。该法的实质是在谐波平衡法前，先用增量方法获得关于增量的线性方程组。增量谐波平衡法的第一步就是Newton-Raphson的增量过程；第二步就是谐波平衡过程；第三步中，给定初始扰动幅值、初始频率和振幅，通过不断迭代误差修正求得方程组的其他未知数。需说明的是，增量谐波平衡法本质是时域的增量Galerkin法，在数学上两者等价，不同的是前者用于时域内的谐波平衡，后者用于离散空间坐标。用该法，不仅可容易获得高阶谐波平衡解，而且能通过主动增量过程获得一系列连续变化的解，便于分析参数对系统响应的影响。

点映射法和胞映射法主要用于研究具有间隙非线性或迟滞非线性颤振系统，间隙非线性和迟滞非线性最主要的特点是存在“映射点”，“映射点”对非线性颤振系统有十分重要的影响。如将间隙非线性或迟滞非线性对应的无“映射点”分段光滑函数用近似的光滑函数代替，就会造成分岔点的位置不准确。该方法是利用切换点将整个状态空间划分为多个子空间，在每个子空间内用数值积分法得到微分方程的解析解，系统解的轨迹是由各子空间内解的轨迹组成。此方法可准确预测极限环振动的幅值和频率，也能分析初始条件对系统的影响，以及用于研究间隙非线性或迟滞非线性颤振系统的分岔和混沌现象。该方法暂时只在分段线性颤振系统中用成功应用，其缺点主要有两个：每个子空间内气动弹性方程不能表示为线性微分方程；不能得到不稳定的周期解，也不适于研究参数变化的情况。

中心流形定理是研究非线性动力学系统强有力的数学工具，适于分析光滑的常微分方程系统。该定理是为分析定性性质而提出的，本质上属于局部理论，但也有研究者尝试用该法获得机翼强非线性颤振系统的某些定量性质。由于非定常气动力作用下机翼气动弹性系统中存在积分项，中心流形理论难以直接应用。

摄动增量法由CHUNG等提出，分别用于分析含双线性和迟滞非线性的颤振系统，可成功预测系统的周期解、倍周期解、鞍结分岔和Neimark-Sacker分岔等［22－23］。文献［22］用摄动－增量法得到某一速度下的对称LCO和某一速度下的非对称LCO、倍周期LCO。用摄动－增量法可获得线性子域转化点的精确预测（相对谐波平衡法），可捕捉到不稳定的LCO（相对点映射法）；摄动增量法的结果与点映射法和数值积分法一致，且可用于多自由度非线性和迟滞非线性颤振系统的分析。

数值积分法的本质是对非线性颤振系统进行数值积分，在时域内将时间响应历程离散化，每个时间步长用线性方法计算，并对每个步长结果进行修正。应用数值积分法时，需注意初始条件选择。数值积分法的优点有：使用方便，无需像解析法的大量公式推导；能对复杂响应进行仿真；初值选取时物理意义明确；计算精度高。数值积分解可作为验证版解析法的标准解。数值积分法的缺点有：计算时间长，算法稳定性和收敛性要求积分时间步长取足够小，且须对初始阶段的瞬态过程进行仿真，在足够长时间历程后才能得到系统的稳态运动；数值计算结果不能直接反映系统的某些物理特性。

3.3 研究方法比较

首先，定性研究方面，非线性颤振系统分岔点定性研究的规范型方法是根据微分方程定性理论推导而得的。该方法的特点之一是能得到分岔方程的局部解析式，故可同时判别分岔点的类型和极限环振动的稳定性。与分岔点类型判别的其他方法（如后继函数法和形式级数法）相同，规范型方法先用中心流形理论将高维系统降维，不同的是，规范型判别法可分析分岔参数附近的局部稳定性，即系统在分岔点附近极限环的稳定性。另外，该法未考虑颤振系统的特殊性，因此可用于分析更一般的非线性振动。向量场定性理论经过了严格的数学证明，其非线性颤振的定性分析结果可信，可用于验证某些新方法。但这类方法的最大缺陷是局部性假设，只在小参数范围内有效［1］。

其次，定量研究方面，等效线性化法是一种简便高效的解析方法，其特点是能获得解析的分岔方程。由于其解析的特点，等效线性化法可揭示系统的分岔点，并能直观地判别极限环的稳定性。改进的等效线性化法继承了这些优点，而且可给出更精确的解，其计算精度不随风速增大而显著降低。但对含二次非线性环节的单自由度振动系统和高阶非线性颤振系统，等效线性化法都会失效。为消除该缺陷，推广的等效线性化法可同时处理含偶次和奇次非线性的振动系统。总体而言，改进或推广的等效线性化法既能得到较精确的定量结果，还继承了可判断极限环稳定性的优点。虽然用优化的方法可将等效线性化法推广至多自由度含非线性环节的颤振系统，但也增加了误差来源，结果的精度也需进一步验证。因此，该类方法的缺点是原则上只能处理一个自由度含非线性环节的颤振系统，且精度也不及高阶谐波平衡解和同伦分析解。

谐波平衡法、椭圆函数谐波平衡法非常适于求解强非线性颤振系统。谐波平衡法在求解非线性颤振系统时具有原理清晰、步骤简单的优点，受到了青睐，但随所考虑谐波数的增加谐波平衡方程会使该方法非常难以求解。考虑此点，可推广椭圆函数谐波平衡法，使其能用于求解二自由度的强非线性颤振系统。该法虽然原理简单，但推导和计算过程较复杂，且只适于求解含单个非线性环节的颤振系统。随后提出的高维谐波平衡法，能避免谐波平衡法中存在的复杂公式推导，将谐波平衡法的频域变量通过离散傅里叶变换与时域变量建立等式关系，这样就避免了非线性项的Fourier展开。

增量谐波平衡法为非线性颤振分析提供了强力工具，其潜力还需进一步挖掘，优点将会更明显。另外，基于谐波平衡法和极小值求解技术提出的该法有效避免了直接求解复杂的谐波平衡方程，若引入增量过程，可望提供一种可控制迭代收敛的新的增量方法。

同伦分析法在非线性颤振分析中的应用和推广表现出了精度高的优点。事实上，只需增加循环次数，极限环颤振的同伦分析解可计算至任意精度。这与谐波平衡法截然不同，同时也使该方法特别适于计算机求解。但与增量谐波平衡法相比，同伦分析解暂时只能求单一情况下的解，不具有后者能求一系列解的优点，因而不利于探讨参数对颤振特性的影响规律。将增量过程和同伦分析法结合，以提出更高效的颤振数值求解工具也是值得研究的方法。

与增量谐波平衡法类似，摄动增量法也有增量过程，因此可提出另外一种适于分析参数影响规律的方法。但与多数摄动法一样，它受到了小参数的限制，不利于在强非线性颤振系统中求解。另外，点映射和胞映射法、定量分析的中心流形理论等其他方法也是对非线性颤振问题定量分析方法的尝试和补充。

求解非线性颤振问题并无统一的处理方法，需要具体问题具体处理。更确切地说，对不同的非线性现象，需有不同的研究思路和处理技巧。因此，发展更多更强大的定性和定量分析方法十分必要。本文中各种方法各有其优缺点，以及不同的适应范围和限制条件，不能相互替代和包含，只有联合应用、取长补短才能在非线性，尤其是强非线性颤振问题的分析中发挥更重要的作用，才能较好地处理更多的非线性颤振问题，提供更精确更科学的结果。

4 结束语

本文对非线性颤振、集中非线性特性、非线性结构气动弹性行为和基本分析方法进行了综述。实际机翼系统中存在大量的非线性因素，刚度和阻尼耦合性很强，因此需进一步考虑不同形式的结构非线性、气动非线性，以及控制非线性等非线性因素对气动弹性系统动力学行为的影响规律。同时由于存在非线性因素，系统表现出的动力学响应通常非常复杂，除间隙非线性外，对其他不同种类的非线性引起的气动弹性系统的力学行为还有待深入研究。

针对非线性颤振问题，对不同的非线性现象应有不同的研究思路和处理技巧，可结合各种方法的优缺点以及不同的适应范围和限制条件，联合应用、取长补短。分析非线性颤振系统的方法，一般可采用时域积分法求解非线性颤振方程，通常认为时域积分方法所得结果是精确的，但计算时间较长，而频域方法可较好地解决这个问题。因此，需对现有频域方法进行改进和发展，以解决目前存在的问题。如用高阶谐波平衡法求解非线性颤振问题，求解高维的代数非线性方程组很困难，限制了该法的进一步应用和推广，可通过改进方法，避免直接求解谐波平衡方程。用改进的方法解决已存在的问题，与之前求解的方法进行比较，证明其改进方法的可行性和准确性，也是非线性颤振问题的研究之一。另外，也可将非线性振动方面的新方法推广并用于非线性颤振研究。

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