带有外力项和真空的可压缩的Navier-Stokes方程的解在H4空间中的整体存在性

·数理科学·

带有外力项和真空的可压缩的Navier-Stokes方程的解在H4空间中的整体存在性

孔春香

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安716000)

摘要：在压力和黏性系数是密度的一般函数的情况下,研究了可压缩的Navier-Stokes方程整体解的存在性问题,为了克服外力和黏性系数依赖密度给研究所带来的困难,得到了一些新的先验估计。

关键词：Navier-Stokes 方程;黏性依赖密度;外力项;整体存在性

收稿日期：2014-04-11

基金项目：陕西省高水平大学建设专项基金资助项目(2012SXTS07),陕西省自然科学基础研究计划基金资助项目(2012JM1012)

作者简介：孔春香，女，河南兰考人，从事偏微分方程研究。

中图分类号：O175.26

Global existence behavior of the solutions in spaceH4for compressible

Navier-Stokes equations with external force and vacuum

KONG Chun-xiang

(College of Mathematics and Computer Science, Yan′an University, Yan′an 716000，China)

Abstract:This paper discusses the global existence of solutions to compressible Navier-Stokes equations with density-dependent the pressure and viscosity coefficient, in order to overcome density-dependent the pressure and viscosity coefficient, some new priori estimates are derived.

Key words: Navier-Stokes equation; density-dependent viscosity; external force; global existence

在欧拉坐标下,我们考虑带有外力项和真空的可压缩等熵的Navier-Stokes方程

∂tρ+∂r(ρu)=0,τ>0，

(1)

ρ(∂tu+u∂ru)+∂rP=

∂r[(λ+2μ)∂ru]-ρf,a

(2)

其中ρ=ρ(r,τ),u=u(r,τ),P(ρ),f(m(ρ,r),r,τ)分别表示密度、速度、压力、外力。λ(ρ)和μ(ρ)表示黏性系数。

初始条件:

(ρu)(r,0)=(ρ0,u0)(r),

a≤r≤b(0)=b。

(3)

边界条件:

u|r=a=0,ρ|r=b(τ)=0。

(4)

这里b′(τ)=u(b(τ),τ),τ>0。考虑最著名的多方气体模型P(ρ)=Aργ,γ>0和A>0是常数。假设μ(ρ)=c1ρθ,λ(ρ)=c2ρθ,c1,c2,0<θ<1都是正常数。

为了方便得到解的一些估计，把上述方程转换成拉格朗日坐标下的方程。引入下面的坐标变换

(5)

ρt+ρ2ux=0,

(6)

ut+P(ρ)x=[(λ+2μ)ρux]x-f(x,r,t)，

(7)

(8)

初始条件:

(ρ,u)(x,0)=(ρ0,u0)(x),

(9)

边界条件：

u|x=0=0,ρ|x=M=0,t>0。

(10)

本文中‖·‖表示L2范数,Ci表示与初值,时间T有关的常数。

1主要结果

假设初值满足

(A1)γ>1+θ,0

(A2)ρ0∈Hi[0,M],u0∈Hi[0,M](i=2,4)。

外力f满足

(A3)fr∈C2(0,T;H2[0,M]),

frr∈C1(0,T;H1[0,M]),

ft∈C2(0,T;H2[0,M]),

frr∈L2(0,T;L2[0,M]),

frrr∈L2(0,T;L2(0,M))。

定理1在(A1)～(A3)的条件下,在H4空间中问题(6)～(10)存在唯一的整体解(ρ(x,t),u(x,t)), 使得对任意T>0下列关系式成立

2先验估计

引理1[11]

0

∀(x,t)∈[0,M]×[0,T]，

(11)

(12)

引理2

‖utx(x,0)‖+‖utxx(x,0)‖+

‖utt(x,0)‖≤C4(T)，

(13)

(14)

证 明由式(7)和引理1得

‖ut‖≤C1(T)(‖ux‖H1+‖ρx‖+‖f‖)，

(15)

式(7)关于x求导,并由引理1得

‖utx‖≤C1(T)(‖ux‖H2+

‖ρx‖H1+‖fx‖+‖fr‖)，

(16)

或

‖uxxx‖≤C1(T)(‖utx‖+‖ux‖H1+

‖ρx‖H1+‖fx‖+‖fr‖)。

(17)

式(7)关于x求两次导数,并由引理1及嵌入定理得

‖utxx‖≤C1(T)(‖ux‖H3+‖ρx‖H2+

‖fxx‖+‖frx‖+‖frr‖)，

(18)

或

‖uxxxx‖≤C1(T)(‖utxx‖+‖ux‖H2+

‖ρx‖H2+‖f‖H2+‖fr‖H1+‖frr‖)，

(19)

式(7)关于t求导,并由引理1和式(6)及嵌入定理得

‖utt‖≤C1(T)(‖ux‖H1+

‖ρx‖+‖utx‖+‖utxx‖+

‖ft‖+‖fr‖)。

(20)

把式(16)和式(18)代入式(20)得

‖utt‖≤C1(T)(‖ux‖H3+‖ρx‖H2+

‖f‖H2+‖fr‖H1+‖ft‖+‖fr‖+

‖frr‖)。

(21)

联立式(16),(18)和(21)和条件(A3)得(13)。

式(7)关于t求两次导,其结果乘以utt在[0,M]上积分并分部积分,利用式(6)和边界条件(10)、引理1得

(22)

下面估计I1和I2。

由引理1和hölder不等式及插值不等式得

C1(T)(‖utx‖2+‖ux‖2+‖uxx‖2)。

(23)

ε‖utt‖2+C1(T)(‖ux‖2+

‖uttx‖2+‖utx‖2)+C1(T)。

(24)

把式(23)和(24)代入(22)得

C1(T)(‖utx‖2+‖ux‖2+‖uxx‖2)+

ε‖utt‖2+C1(T)(‖ux‖2+‖utx‖2)+

上式两边在[0,t]上积分,并利用式(13),引理1得

引理3

(25)

证 明式(7)分别关于x和t求导,然后乘以utx,在[0,M]上积分得

M0+M1+M2。

(26)

这里

frtρ-1)utxdx。

参考文献M0,M1的估计见[1]。

‖frr‖2+‖fr‖2)+‖ftx‖2+‖frt‖2，

则把M0,M1,M2的估计式代入式(26)得

‖frr‖2+‖fr‖2)+‖ftx‖2+‖frt‖2。

上式在[0,t]上积分,并利用引理1，2及条件(A3)得式(25)。

引理4

(27)

证 明式(6)关于x求三次导,得

6ρρxxuxx+6ρρxuxxx+2ρρxxxux+ρ2uxxxx=0。

(28)

式(28)两端乘以2ρxxx,其结果在[0,M]上积分,然后通过分部积分,引理1和hölder不等式得

12C1(T)‖ρx‖L∞‖ux‖L∞‖ρxx‖L2‖ρxxx‖L2+

12C1(T)‖ρxx‖L2‖ρxxx‖L2‖uxx‖L2+

12C1(T)‖ρx‖L∞‖ρxxx‖L2‖uxxx‖L2+

利用引理1,Cauchy不等式得

C2(T)‖uxxx‖2+C2(T)‖uxxxx‖2+C2(T)。

(29)

由式(7)得

(c2+2c1)ρ1+θuxx=ut+A(ργ)x-

(c2+2c1)(1+θ)ρθρxux+f。

(30)

式(30)两端关于x求两次导得

(c2+2c1)ρ1+θuxxxx=

-(c2+2c1)(1+θ)ρθρxuxxx+utxx+A(ργ)xxx-

ρθρxuxxx)-(c2+2c1)(1+θ)[ρθρxux]xx+

fxx+fxr(1+ρ-1)-frρ-2ρx+frrρ-1，

(31)

由式(31),条件(A3)，引理1，得到

(32)

由式(29)和式(32),引理3,Gronwall不等式得

(33)

由(17)和引理1,引理3得

(34)

由式(32),式(33)和式(34),引理3得

(35)

式(6)关于x求二次导得

(36)

式(6)关于t求导得

(37)

式(37)关于x求导得

2ρρxutx-ρ2utxx。

(38)

由式(36),式(37)和式(38),引理1～3,插值不等式得

‖utxx‖2ds)≤C4(T)。

引理5

(39)

证 明式(7)关于t求导,其结果平方,利用引理1～4,式(6)得

(40)

式(7)分别关于x,t求导,其结果平方,利用引理1～4,式(6),(40),条件(A3)得

引理6

‖ρxxxx‖2+‖uxxxx‖2+

(41)

证 明由式(19),引理4～5,条件(A3)得

C4(T)。

(42)

式(28)关于x求导其结果乘以ρxxxx,在[0,M]上积分，由引理1,引理3,引理4,Cauchy不等式得

‖uxxxxx‖2}+C1(T) ≤C1(T)‖ρxxxx‖2+

C1(T)‖uxxxxx‖2+C2(T)。

(43)

下面估计‖uxxxxx‖2。

式(31)关于x求导,由结果可以得到

‖uxxxxx‖2≤C1(T)(‖uxxxx‖2+‖utxxx‖2+

‖ρxxxx‖2+‖fxxx‖2+‖fxxr‖2+

‖fxrr‖2+‖frx‖2+‖frr‖2+‖frrr‖2)。

(44)

把式(44)代入式(43),利用条件(A3),Gronwall不等式得

(45)

由式(44),(45),引理4～5,条件(A3)得

由式(6),引理1～6可以得出下面的推论。

推论1

‖ρxxtt‖2)ds≤C4(T)。

(46)

引理7

(47)

证 明式(7)关于t求导两次,其结果乘以uttt,然后分部积分,利用边界条件(10),条件(A3),Cauchy不等式得

‖ρt‖2‖uxt‖2+‖frr‖2+‖frt‖2+

‖fr‖2‖ut‖2+‖ftt‖2)，

则

引理8

‖uxxxxt‖2)ds≤C4(T)。

(48)

证 明式 (7)关于x,t求导,得

式(7)关于x求导,t求导两次，利用引理1～7，推论1得

式(7)关于x求导两次,t求导，利用引理1～7，推论1得

引理9

(49)

证 明利用式(6),引理1～8，式(46)和插值不等式，能得到式(49)。

参考文献：

[1]QIN Yu-ming， HANG Lan. Regularity of 1D compressible isentropic Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity[J].J Differenital Equations,2008,245:3956-3973.

[2]WEN Huan-yao，ZHU Chang-jiang.Global classical large solutions to Navier-Stokes equations for viscous compressible and heat-conducting fluids with vacuum[J].SIAM J Math Anal,2013,45(2):431-468.

[3]DING S,WEN H,YAO L，et al. Global spherically symmetric classical solution to compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum[J].SIAM J Math Anal 2012,44(2):1257-1278.

[4]OKADA M,MATUSU-NECASOVA S,MAKINO T.Free bounary problem for the equations of one-dimensional motion of compressible gas with density-dependent viscosity[J].Ann Univ Ferrara Sez VII(N.S),2002,48:1-20.

[5]YANG T,YAO Z,ZHU C.Compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficient and vacuum[J].Comm Partial Differential Equations,2001,26:965-981.

[6]JIANG S,XIN Z, ZHANG P.Global weak solutions to 1D compressible isentropic Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity[J].Appl Methods Anal,2005,12:239-252.

[7]YANG T,ZHAO H. A vacuum problem for the one-dimensional compressible Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity[J].J Differential Equations,2001,184:965-981.

[8]FANG D, ZHANG T. Compressible Navier-Stokes equations with vacuum state in one dimension[J].Pure Appl Anal, 2004(3):675-694.

[9]FANG D, ZHANG T. A note on compressible Navier-Stokes equations with vacuum state in one dimension[J].Nonlinear Anal,2004,58:719-731.

[10]KONG Chun-xiang. Global existence behavior of the solutions for compressible flow[J].Henan Science,2013(11)：121-129.

(编辑亢小玉)

·学术动态·

第七批“百人计划”西北大学入选人数再创新高

近日，陕西省委组织部公布了第七批陕西省“百人计划”评选结果，西北大学23人入选，居全省各单位之首。

陕西省“百人计划”项目设立于2009年，是陕西省为鼓励和吸引高层次人才来陕西创业、工作、服务的一项高层次人才项目，主要分为全职项目、创业人才项目、青年项目、短期项目四种类型。项目设立以来，西北大学在前六批评选中，共获批42人(全职项目18人、青年项目15人、短期项目9人)，加上第七批获批的23人(全职项目6人、青年项目7人、短期项目10人)，共计获批65人，获批总人数为全省第一。

近年来，在陕西省委省政府的大力支持下，西北大学党委和行政高度重视师资队伍建设，校内各单位深入落实《西北大学“十二五”师资队伍建设规划》，西北大学师资队伍建设工作不断得到加强。

(薛鲍)