奇妙的圆锥曲线——一道轨迹问题的探究

赵 莉

青海油田一中

奇妙的圆锥曲线
——一道轨迹问题的探究

赵 莉

青海油田一中

从两个对立的圆锥上通过不同的截面截取之后，我们分别得到了三种圆锥曲线，这不能不让人联想到三种曲线存在着关系，果然在一道题目中我就发现了这种联系。

例1已知点A，B的坐标分别是（-1,0），（1,0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程。

这道题母的解答如下：

解：设直线AM.,BM的斜率分别为kAM和KBM

故可知点M的轨迹为抛物线y=1-x2(x≠±1)看似平常的解答好像没有什么稀奇，但题目做到这里一个新的想法涌入我的脑海，出于好奇，我将题目作了以下改编：

例2已知点A，B的坐标分别是（-1,0），（1,0），直线AM，BM相交于点M。

直线AM和BM的斜率满足下列条件时，求点M的轨迹。

（1)斜率之和为常数λ;

（2)斜率之商为常数λ;

（3)斜率之积为常数λ;

其中(λ为常数)解答如下：

(1)若kAM+kBM=λ

化简后可得，

当λ≠0时，它表示双曲线

当λ=0时，表示x轴

图1是λ=1和-1时对应的双曲线：

(2)若kAM/kBM=λ

故可知：当λ≠0时，表示和x轴垂直的直线；

当λ=0时，表示y轴

(3)若kAM∙kBM=λ

化简后得：

故对λ讨论可得:

当λ=0时表示x轴；、

当λ≻0时，表示焦点在x轴上，中心在原点

的双曲线；

当λ≺0时，若λ≺-1，表示焦点在y轴上的椭圆；

若λ=-1，表示单位圆；若-1≺λ≺0时，表示焦

点在x轴上的椭圆。

通过以上四问的解答，我们通过求经过两定点且相交于一定点的两直线的斜率的和差积商，分别得到了抛物线，双曲线，椭圆等三种圆锥曲线，这是一种巧合么，也许未必，仔细对比其与圆锥曲线的第一定义就不难发现这其中有着内在的联系性，构造中都有一个焦点三角形的存在，或许据此其他的能够求得其他得到圆锥曲线的方法，但这仅仅是一种猜想，或许还有待证明其正确性希望能够得到大家的帮助。

一道题作毕，真是“加减乘除粉墨登场，圆锥曲线各领风骚”啊！想起了关于数学的一个比喻，数学好比一棵树，同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果！奇异的数学之美，常常做这样的尝试，或许我们会在数学里找到属于自己的乐趣！谢谢大家，以上纯属个人愚见，希望得到大家的点。