微积分方法在计算等高圆弧挡墙土压力中的应用

孙 斌 薛经国

圆弧挡墙是水利工程中广泛应用的支挡结构之一。在圆弧挡墙的抗滑稳定分析中，其所受的土压力是辐射状分布的，不能像计算直线挡墙那样直接计算一段圆弧挡墙所承受的整体土压力；这给验算圆弧挡墙的整体稳定带来了极大的不便，同时也降低了设计精度。本文采用了微积分的方法推导出沿圆周辐射分布的土压力的合力计算公式，从而简化了圆弧挡墙的受力分析，提高了设计效率和设计精度。

1. 基本假定

拟定某水闸工程进口有一等高圆弧挡墙，墙后填土顶高程与墙顶高程相同，且填土均匀、密实。该挡墙的立墙后缘的圆弧半径为R，圆弧的起点和终点与坐标系起始轴x轴的夹角分别为θ1和θ2，根据挡墙的挡土高度计算的墙后后均布土压力强度为f0。

2. 计算公式推导过程

根据基本假定，圆弧上任一点处土压力强度在x轴方向的分力为f0cosθ，在y轴方向的分力为f0sinθ，任一点处（即与x轴角度为θ处）挡墙微元长度为 Rdθ。

任一挡墙微元所受土压力在x轴方向的分力为

通过对闭区间内的局部微元积分的思想可以计算得到整个挡墙所受的整体土压力在x轴、y轴方向的分力，过程如下：

再对以上两个方向的分力进行力的合成，得到圆弧挡墙后的整体土压力。合力的大小大小为

合力的方向为

从以上过程得到计算圆弧挡墙墙后整体土压力大小和方向的两个公式：

公式（1）证明等高圆弧挡墙所受的墙后土压力与沿弦长均布的相同强度的土压力的合力等效。

等高圆弧挡墙为对称结构，所受荷载是对称荷载，故土压力方向为对称轴方向。采用公式（2）计算出的圆弧挡墙的整体土压力作用方向便符合这一规律。

3. 对原计算方法的分析

以往的设计中对圆弧挡墙的整体稳定验算有两种方法：

（1）只计算圆弧挡墙的始、终断面的断面稳定。该方法实质上未考虑土压力的辐射状分布情况，是偏于安全的，但可能会造成工程量的浪费。

（2）将圆弧挡墙分为若干段，按直线挡墙考虑分别计算每段土压力，将各段的土压力进行合成，得到圆弧挡墙的整体土压力。该方法的基本假定比方法（1）更接近实际情况，但计算过程极为复杂，应用的范围并不广泛。

4. 结论

采用微积分方法推导出的圆弧挡墙土压力计算公式基本假设符合实际情况，公式物理概念清晰，应用方法简单，可以在圆弧挡墙的受力计算中应用，从而简化计算，提高精度。