Von Bertalanffy模型在基坑沉降中研究与应用

康正炎，王 飞，吴保桦

（1.解放军理工大学 国防工程学院，江苏 南京210007；2.解放军理工大学 野战工程学院，江苏 南京210007）

0 引 言

对于基坑工程，尤其在设计和施工阶段，沉降监测起着非常重要的作用。因此根据基坑开挖过程中所监测得到时间与沉降的数据，近似拟合出沉降量与时间的关系，并以此来预测地基施工后的实时沉降和最终沉降，可以及时指导后续施工和基坑维护工作，防止出现危险情况［1］。根据监测得到的数据，找到沉降量与时间的近似拟合公式就有了它独有的优势。它既有一定的理论基础，又有简单易行的操作方法。常见的拟合公式模型有：指数曲线法、双曲线法、Asaoka［2］法、修正双曲线法、Logistic法［3］等。虽然上述模型能很好地模拟沉降量与时间的关系，但仍然存在一些不足且适用性受到限制。由于Von Bertalanffy生长模型克服以上的不足，因而得到广泛的应用。本文结合了南京梅子洲过江隧道接线工程－青奥轴线地下交通工程基坑实测数据，将广泛运用在经济和统计学中的Von－Bertalanffy生长模型用于基坑沉降全过程中的应用。

1 沉降量与时间的关系

1.1 不通过原点性

对于饱和土，当荷载作用在土体上会立即产生瞬时沉降。在体积不变时，其变形是由负载区域下的剪应变造成的。垂直压缩和侧向膨胀同时发生在荷载的中心线下，这部分的沉降更准确的说应是土体的侧向屈服。当荷载施加在非饱和土时，由于土中空隙气体存在可立即沉降，土骨架则发生变形。开始时由骨架、水和气三者来承担荷载作用。随着土体水和气的挤出，土骨架进一步压缩，本由水和气的承担的应力转移到骨架上。在沉降过程中这表现出了瞬时沉降的概念。当饱和度越小，那么初始沉降量就越大。在工程上所涉及的土，基本上都遭到扰动，但也会存在瞬时沉降的现象。所以，由于初始沉降的存在，故沉降曲线不通过原点［4］。

1.2 “S”形机理

实际上，成长曲线反映的是万物由产生到发再到成熟，并最终到达一定极限状态的过程。这方面和时间增加与观测点沉降量逐步增加直至达到极限十分相似。故而，沉降变化也经历了渐增期、快增期和缓增期三个阶段。梅国雄等人［4］严格证明了沉降－时间曲线呈“S”形。针对上述沉降发展变化的特点，采用“S”形Von Bertalanffy函数模型可较好地拟合其沉降规律，且适用性较强。

2 Von Bertalanffy模型建立

2.1 Von Bertalanffy模型简介

鱼类生长模型中最常见的是VonBertalanffy的年龄一体长关系式。Von Bertalanffy是一种非线性的函数模型［5］。函数表达式：

yt为t时刻的沉降量；t为时间；B、k为待求参数；A为最终沉降量。

2.2 Von Bertalanffy模型的数学特点

（1）单调性

对 函 数 进 行 求 导：yt′ ＝ 3kABe－kt

yt对时间求一阶倒数即得到沉降速率。通过计算可知沉降速率恒大于等于0，即总沉降量随着时间的增长而不断增加

（2）有界性

（3）凹凸性

令yt″＝0，必然可以解出零点t＝t0满足上式且当t＜t0，上式大于零。故在这段时间内沉降速率是一个增函数，其曲线表现为凸函数；而当t＞t0，上式小于零，沉降速率是一个减函数，对应的曲线表现为凹函数。所以变形曲线在形状上将表现出S 形［1］。

（4）一维固结度

其中λ为波长,αn,βn(t)可根据建立的几何模型进行推导(详细表达式参见附录A).式(4)～(6)表示由于p发射天线到q接收天线传播总距离导致的相位变化,式(7)是由于列车移动导致的多普勒频移,其中是最大多普勒频移:

当t＝0时，U＝0；t＝∞时，U＝1；满足固结度条件。综上：Von Bertalanffy函数模型与地基沉降的变形特征较吻合，可较好地预测其沉降规律。

3 函数模型参数的确定

3.1 三段法

运用Von Bertalanffy函数来拟合实测s－t曲线可以用三段法［6］函数中的各个参数。其中：

因此s1、s2、s3的具体表达式为：

为了消去A、B，用S1－S2除以S2－S3得：故可解得

有了A、k之后带入（5）式后可解的B：

3.2 改进三点法

3.2.1 基本思想

Von Bertalanffy模型中有三个未知量，即A，B，k。三者求出，那么模型就确定了。由参数意义，A为最终沉降量。往往计算A值比较复杂，结合拐点法［7］可知，可以选取略大于t＝300d时预测沉降量。又由

3.2.2 计算步骤［8］

（1）取一个略大于t＝300d时预测沉降量A1、要求拟合度R2和沉降量步长Δ；（2）运用Excel将t＝15－300d时公式（4）式求出来，通过origin进行拟合；（3）如果拟合度小于要求R2，那么重复步骤（1）（2），知道拟合度大于要求拟合度。（4）计算所得A，B，k，反过来计算预测沉降量。

4 工程实例

4.1 工程背景

南京梅子洲过江隧道接线工程－青奥轴线地下交通系统及相关工程是2014年青奥委会的主要配套工程之一。工程关键节点及核心控制性区域为B2－J1区地下立交段，基坑工程主要采用明挖法与暗埋法结合进行施工。B2－J1区域基坑面积5.5万平米左右，基坑最宽达258m，深度达27.5m。本次主要选取B2－J1区放坡段DB4－1地表沉降前300天的观测数据结果，见表1。根据两种不同拟合方法计算出Von Bertalanffy模型中的参数如表2所示。可得两种拟合方法下的沉降量与时间的关系曲线如图1所示。

4.2 基坑沉降分析

表1 选取B2－J1区DB4－1的20组观测数

取沉降量步长Δ＝0.2，那么预测沉降量A1＝179.05、要求拟合度R2＝0.99；（2）运用Excel将t＝15－300d时公式（4）左式求出来，通过origin进行拟合，比较拟合度，取部分具体的计算结果如下表2.

运用三段法求解时要求时间序列中的数据项数取为3的倍数［9］，观察上表可知d＝270、285和d＝300时数据基本接近，因此计算时只取其中某一项，为了保持时间序列的连续性故取前18组数据进行计算。经计算可得S1＝23.9635，S2＝31.5188，S3＝33.3197，将三值带入，可计算得到：A＝180.10；k＝0.0159，B＝0.62177。

表2 不同参数估计值和拟合度值

在不同方法下累积沉降量与时间的关系见图1所示。两种方法下模型参数的表达式分别为：yt1＝181.25 （1－0.655e－0.0163t）3；yt2＝180.10（1－0.622e－0.0159t）3

由于从图1不能看出两种拟合方法的优劣，故作出两者与实测值之间比较，如图2所示。

5 结 论

（1）通过图1和表2可知用Von Bertalanffy函数模型来拟合基坑的沉降过程效果较好，由此可利用Von Bertalanffy函数模型对基坑的沉降作出相关的预测（如最终沉降量）。

（2）从拟合度和图1，并不能看出两种方法优劣，从图2，通过比较两种方法下生长模型表达式与实测值之差可知，三段法在开始时间预测的结果与实测值误差较大。

（3）改进三点法通过拟合度R2来控所求的值，目的性比较强。不仅能利用所有数据，还能了解不同A时，累计沉降量变化过程。此法也适用于模型函数为yt＝A （1 －Be－kt）n工程实例，为以后的基坑工程设计和施工提供参考。

（4）没有考虑土体的流变特性。所以沉降量会随着时间的增长会一直增加，那么预测的沉降量必定大于最终沉降量。当预测最终沉降量时，需要等到加载结束时记录沉降值，从而可以实现真正意义上的预测，这样得到的值才比较准确。

1 宋宇鹏，徐贺文，孟伶俐.生长模型在地基沉降全过程中的应用［J］.铁道建筑，2006（3）：62－64.

2 宰金珉，梅国雄.全过程的沉降量方法研究［J］.岩土力学，2000，20（4）：322－325.

3 梅国雄，宰金珉.地基沉降－时间曲线型态的证明及其应用［J］.土木工程学报，2005，38（6）：486－489.

4 梅国雄，宰金珉，殷宗泽.沉降－时间曲线呈"S"形的证明－从一维固结理论角度［J］.岩土力学，2004，24（1）：20－22.

5 宰金珉，梅国雄，泊松曲线的特征及其在沉降预测中的应用［J］.重庆建筑大学学报，2001，23（1）：30－35.

6 徐洪钟，施斌，李雪红.全过程沉降量预测的Logistic生长模型及其适用性研究［J］.岩土力学，2005，26（3）：387－391.

7 赵明华，杨明辉，刘煜，等.软土路基固结沉降机理及其预测方法研究［J］.铁道科学与工程学报，2005，2（4）：16－20.

8 刘银生，杨东援.公路软土地基沉降预测研究［J］.公路交通科技，1999，16（3）：22－25.

9 林学群.von Bertalanffy鱼类生长曲线两种常用拟合方法的一致性讨论［J］.汕头大学学报，1993，8（2）：64－70.