利用路径提升推广范数强制定理

夏 云

（连云港财经高等职业技术学校，江苏 连云港222003）

设f 是空间X,Y 之间的可微映射，x0∈X 若在处存在x0的开邻域U 和f（x0）的开邻域V，使得f（U）=V 且f／U：U→V 是全局微分同胚，则称f 是局部微分同胚.全局微分同胚是指f 是1-1 的且其逆映射也是可微的。 但是f在每一点处都是局部微分同胚并不能保证单射或满射，更不用说全局微分同胚，一个典型的例子就是映射：

非线性分析中一个重要的问题就是寻找保证局部微分同胚成为全局微分同胚的条件，利用路径提升为工具，我们在巴拿赫空间探讨了这个问题，其基本前提条件是巴拿赫空间X,Y 之间的一个C1映射f:X→Y：f＇（x）∈Isom（X，Y），∨x∈X.

由反函数定理可知f 在每一点都是局部微分同胚.

设X、Y 是Banach 空间， 非线性映射,fDcX→Y 其中D 是X 中开集，考虑非线性方程f（x）＝0，连续性的思想就是根据考虑的问题引入参数t 构造一簇连续映射H(x,t)，使得t 为某一特定值，例如t=1 时，H(x,t)就是映射f（x）＝0，而当t=0 时，H(x,t)就是映射f0（x），并使f0（x）＝0 的解x0已知或容易求出。于是f（x）＝0 的问题就转化为求参数方程H（x，t）＝0 的解x（t），这里x：〔0.1〕→X 依赖于t，它表示X 中的一条细线， 其中一端表示给定的点x0＝x（0），而另一端点是f（x）＝0 的解x＊＝x（1），这种方法一般称作路径提升，下面给出一些相关的概念定义如下：

定义1 (范数强制）： 映射F：DCR→Rn在一个开集D0CD 上是范数强制的，如果对任何r＞0，存在一个闭的有界集合DrCD0，使得对所有x∈D0：Dr‖FX‖＞r。

如何保证H（x，t）＝0 存在唯一性的连续解曲线x（t），就成了连续法可行性的关键。 范数强制性定理给出了这个问题的一个解答。

引理2：假定F:Rn→Rn在整个上是连续可微的，又设F'（x）对所有x∈Rn 是非奇异的.那么，当且仅当时，F 是将Rn映上Rn的同胚。

定理3（ 范数强制性定理）：设D 是开的和道路连通的，又假定 在D 的每一点是一个局部同胚。 那么，当且仅当F 在D 上是范数强制的时，它是一个将D映上Rn的同胚。

引理4： 假设 在开集D 的每一点是一个局部同胚，如果对所有线性函数q（t）＝（1－t）y0＋ty1，t∈[0.1]，其中y0、y1∈R 是任意的，F 具有延拓性，那么，FD=Rn。

笔者在参考文献1 中曾对范数强制定理做过推广，并对推广定理的实际应用作了简单的探讨，推广定理表述如下：

定理5（推广定理）：假定F：Rn→Rn在Rn上是连续可微的，又设对所有x∈Rn，.那么，‖F＇（x）－1‖＜r＜＋∞那么，F 是一个将Rn映上Rn的同胚.

由于全局性的同胚条件要求较高，一般很难实现，对于一些条件比较坏的方程， 我们可以在小范围局部同胚的条件下实现推广定理的应用，即：定理6（应用定理）：设F：DCRn→Rn在D 上连续可微，又假定有一个开球S＝S（x0，r）cD，使得对x∈S 及r＞r‖Fx0‖，有‖F＇（x）－1‖＜r.那么，Fx＝0 在S 内有解。

本文在以上内容的基础上， 利用路径提升吸引盆的方法，对范数强制定理再次进行推广，首先假设X,Y 是巴拿赫空间，D 是一个连通开集，且Φ≠D∈X,f:D→Y 是一个局部微分同胚的C1映射.为了方便证明结论，我们

再给出几个引理.

引理7：假设x0∈D，那么对于任意x∈D，路径提升问题

存在唯一的定义在最大开区间Ix=（tx－，tx＋），－∞＜tx－＜0＜＋∞的连续解t→rx（t）.并且集合是中的开集，映射是连续映射且具有性质

定义8 在引理7 的假设条件下，的吸应盆是指集合

A＝｛x∈D：tx＋＝＋∞｝.

引理9：在引理7 的假设条件下，的吸应盆是X 中的开集，且：

（1）f 在A 上的限制f｜A 是1-1 映射；

（2）f 是以y0：＝f（x0）为中心的星状形态；

（3）A 是包含x0且具有性质（1）和（2）的D 中的最大的连通开子集.

定义10 （L 条件） 连续映射f：D∩X→Y 满足 （L 条件），是指对任意的连续函数q：［0.1］→D（其中q（0）∩f（D））和每一个x0∩f←（q（0）），都存在一个连续函数，p：［0，b］→D 其中p（0）＝x0，使得f（p（t））＝q（t），0＜t＜b，且存在一个序列，当时，有 存在且在D 中.

现在考虑柯西问题

它等价于

L 条件则可以替换为“x（t）定义在［0，＋∞］区间上”.x0的吸引盆A 是指所有定义在［0，＋∞］区间上的x（t）所对应的x 的集合，也就是当t→＋∞时，x 点会沿着x（t）被吸引到x0点.那么f 在A 上的限制f｜A是1-1 的，局部微分同胚转化为全局微分同胚的条件则是当且仅当对所有的x∈D，x（t）定义在R 区间上.

引理11 假设X,Y 是巴拿赫空间，D 是一个连通开集且Φ≠X，f∶D→Y 是一个局部微分同胚的C1映射.那么f 是到Y 上的全局微分同胚当且仅当rx（t）对所有的x∈D 都定义在R 上.

定理12 在引理11 的假设条件下，f 是到Y 上的全局微分同胚当且仅当rx （t） 对所有的x∈A 都定义在R上，也就是说：rx（t）也可以延伸到－∞.

证明 首先假设对所有的x∈Arx（t）都定义在R 上.若存在x1∈D 的rx1（t）不是都定义在R 上，那么令y1：＝f（x1），则有ε＞0，使得y0＋ε（y1－y0）∈f（A）.又因为f 在A 上是全局微分同胚，设x＝f｜A（y0＋ε（y1－y0））－1，则

于是有rx（lnε）＝rx1（0），从(1)式，可以得到rx1（t）也是定义在R 上的.

引理13 设X 是巴拿赫空间，a，b∈R，P：[a,b]→X 是[a,b]上的C1映射，那么‖P（t）‖几乎处处具有导数‖P（t）‖＇且对a＜t＜b｜‖＇｜＜‖p＇（t）‖.

证明因为函数x→‖x‖是Lipschitz 连续且P （t）∈C1［a，b］，所以t→‖P（t）‖局部绝对连续且几乎处处具有导数，并且

推广定理： 假设X,Y 是巴拿赫空间，，f∈C1（X，Y），f＇（x）∈lsnm（X，Y），x∈X.f 从X 到Y 上的全局微分同胚的条件是存在一个连续递增的函数ω∶R+→R+/0,使得

对于是上述条件的特例.

证明 对于x∈X 我们考虑柯西问题那么解x（t）就是rx（t）并且f（rx（t））－f（x0）＝e－t（f（x））－f（x0））.

下面证明在给定条件下，rx（t）对每一个都定义在R上.用反证法假设rx（t）定义在（a，＋∞）且－∞＜a＜0，，从(3)式可知

对于推广定理的一些相关推论及应用，将在以后的文章中继续探讨，这里不再多述。

[1]夏云，王文相.范数强制性定理及其推广[J].牡丹江教育学院学报,2014

[2]雷晋干，陈铭俊，匡蛟勋，沈祖和.数值分析的泛函方法[M].高等教育出版社，1996