单摆测重力加速度实验的误差分析

黄树来 姜永超 王 娟 徐进栋 张志广

（青岛农业大学理信学院，山东 青岛 266109）

作为普通物理实验中通常开设的实验，单摆测重力加速度是力学部分的重要实验，该实验可以测量当地的重力加速度，更重要的是，通过该实验可以练习基本测量工具的使用，学会正确读取和处理数据，以及对实验结果进行分析，计算实验结果的误差及分析误差的来源。

图1 是单摆的原理示意图。由振动理论可以证明，单摆的周期：

若θ 非常小时，取零级近似，则：

图1 单摆的原理图

由公式（1）可见周期T 不但与摆长有关，而且与偏角θ 有关。在偏角一定时，摆长L 与T2成线性关系；在摆长一定时，周期T 与成线性关系。

通过对该实验所用公式及测量过程进行分析，该实验中误差的来源主要有以下几个方面：

1 方法误差

1）摆角。实验中所用计算重力加速度的公式（2），是在θ 趋近零时的近似，因此测量一般是在摆角小于5 度下进行的，因此摆角会带来误差，这属于系统误差的范围。要减小该部分误差，应取公式（1）的一级近似[1]：

2）空气阻力。公式（2）中没有考虑空气阻力，单摆近似是简谐振动。实际空气阻力的存在会导致单摆做阻尼振动，所以用公式（2）计算出的重力加速度显然是存在误差的。针对这部分误差，需加上空气阻尼修正项来计算重力加速度。

阻尼存在时的重力加速度公式为[2]：

实际实验中由于摆线较长，运动速度较小，阻尼项产生的误差可以忽略。

3）摆线质量和摆球半径。实验中摆线质量和摆球半径不能忽略时，都会影响周期的计算公式，通过微小测量比较，这部分误差非常微小，通常可以不予考虑[3]。

4）摆线弹性。实验中要求摆线不能伸缩，完全没有弹性，通过选择合适的摆线材料，可以减小摆线弹性带来的误差，但无法完全消除。

2 测量误差

1）周期测量。使用电子秒表进行单摆周期测量，如果是重复单周期测量，由于计时开始和结束的时机选择导致的误差对测量周期的影响非常大，因此，实际测量时应用等值累计测量，即一次测50 或者100 个周期的时间，然后求平均值，得到单摆的周期T。通过对比计算，多周期测量得比多次单周期测量得到的

周期误差小得多。这部分误差不可避免，但可以尽量减到最小。

2）摆长测量。如果用钢卷尺直接测量摆线的长度，由于摆球的中心位置不容易确定，会导致测量误差偏大。如图2所示，实验中，可以先用钢卷尺测量L1和L2，再用游标卡尺测出摆球直径d，则摆长表示为：

实验中摆线长度通常50cm 以上，用最小刻度为1mm 的钢卷尺进行测量，小球直径2cm 左右，用卷尺不容易测量，使用游标卡尺测量，最小分度0.02mm。对比计算发现，公式（4）计算出的摆长误差小于直接测量摆长的误差。

图2 测量摆长示意图

3 数据处理误差

实验中通过改变摆长，测量不同摆长对应的周期，通过做L—T2曲线求斜率，或者用线性回归法，也可以得到重力加速度。但通过上面的理论分析，我们知道，L—T2并不是严格的线性关系，因此我们按直线作图求斜率或者最小二乘法求出的重力加速度g 必然带来误差。

4 结论

通过对单摆测重力加速度实验的误差分析，明确了误差的来源，其中摆角产生的误差较大，实验中摆角应小于5°。通过多次测量求平均值来减小测量过程的随机误差。实验中通过修正实验理论，选择合适的测量工具，可以最大限度减小实验误差。

［1］姜永超.大学物理实验[Z].2015，1：50.

［2］戚明.大学物理[Z].198712：11.

［3］游艳琳.单摆测重力加速度实验近似处理的误差分析[Z].2015(5)：92.