因式分解的应用

□孟丽萍

因式分解的应用

□孟丽萍

一、在计算中的应用

例1

分析：观察已知算式可以看出通过因式分解，使其中的若干项互为倒数，从而简化运算，很快得出结果.因此在进行实数的有关运算时，要仔细观察算式特征，若能应用因式分解，有时可达到事半功倍的效果.

二、在化简求值中的应用

例2已知a＋b＝5，ab＝3，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值.

分析：利用已知条件，很难求出a、b的值，所以采取“先求出a、b的值，再代入求值”的方法是很困难的.我们可将a＋b、ab看作整体，把待求式用因式分解的方法进行变形，变形出一个关于a＋b、ab的式子来，然后再采取整体代入的方法容易求解.

解：a3b－2a2b2＋ab3

＝ab（a2－2ab＋b2）

＝ab（a2＋2ab＋b2－4ab）

＝ab[（a＋b）2－4ab）].

因为a＋b＝5，ab＝3，所以原式＝3×（52－4×3）＝3×13＝39.

三、在解方程组中的应用

例3解方程组

分析：就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但我们发现这个方程组有一个特点，方程x2－4y2＝5可以因式分解为（x＋2y）（x－2y）＝5，再把x－2y＝1代入方程（x＋2y）（x－2y）＝5中，即可得到x＋2y＝5，于是原方程组就可以化成一个二元一次方程组再解此方程组便可求解，请同学们自己完成.

四、在三角形问题中的应用

例4已知a、b、c为三角形的三边，求证：（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

分析：本题可应用平方差公式将不等式的左边分解因式，然后根据三角形的三边关系确定各因式的符号，即可获解.

解：（a2＋b2－c2）2－4a2b2

＝（a2＋b2－c2）2－（2ab）2

＝（a2＋b2－c2＋2ab）（a2＋b2－c2－2ab）

＝[（a＋b）2－c2][（a－b）2－c2]

＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋c）（a－b－c）.

因为a、b、c为三角形的三边，即a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0，

所以（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

五、在实际生活中的应用

例5在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋ y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.如对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是_________.（写一个即可）

分析：这是一个实际生活中的例子，由题意可知，解本题实际上是对多项式4x3－xy2进行因式分解，再计算其值即可.

解：4x3－xy2＝x（4x2－y2）

＝x（2x＋y）（2x－y）.

当x＝10，y＝10时，

2x＋y＝30，2x－y＝10，

故密码为101030或103010或301010（任填一个即可）

六、在数整除中的应用

例6设n为整数，则（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举一反例.

分析：此题是一道判断一个代数式能否被一个数整除的问题，根据题意可将此代数式应用因式分解的方法进行整理变形，看是否含有此个数的因式，这样便可获得答案.

解：（n＋7）2－（n－3）2

＝[（n＋7）＋（n－3）][（n＋7）－（n－3）]

＝（2n＋4）×10

＝2（n＋2）×10＝20（n＋2），

所以（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除.