一道光学题的多种解法

华兴恒

题目 某人身高1.7 m，为了测试路灯的高度，他从路灯正下方沿平直街道以1 m/s的速度匀速走开.某时刻他的影子长为1.3 m，再经过2s他的影子长为1.8 m.则路灯距地面的高度为多少？

图1

分析 由路灯与人头的连线与地的交点到人脚的距离，光不能到达而形成影子.根据题意，做出示意图如图1所示.

解法1 设路灯高为H，人高为h.由于光在同一种均匀的物质中是沿着直线传播的，所以人站在A点时，AB段为光不能到达的区域，即为人的影长.根据题意知：AB=1.3 m，AF=h=1.7 m，CD=1.8 m.

∵AF∥OG，∴△BAF∽△BOG，

∴ AB OB = AF OG = h H ，亦即 AB OA+AB = h H ，

OA=（ h H -1）AB ①

当人以v=1 m/s的速度从A点运动2 s到达C点后，CD为人的影长.则根据题意有：

AC=vt=1 m/s×2 s=2 m.

∵CE∥OG，∴△CDE∽△ODG，∴ CD OD = CE OG = h H ， 亦即 CD OA+AC+CD = h H ，

OA=（ H h -1）CD-AC ②

由①、②两式有：（ H h -1）CD-AC=（ h H -1）AB，则（ H h -1）（CD-AB）=AC

H=（ AC CD-AB +1）h=（ 2m 1.8m-1.3m +1） ×1.7 m=8.5 m.

即路灯的高度为8.5 m.

解法2 如图1所示，连接EF交OG于I.

∵EF∥BD，∴△GEF∽△GDB，

∴ FE BD = GF GB ③

又∵IF∥OB，∴△GIF∽△GOB

，∴ GI GO = GF GB ④

由③、④两式得： GI GO = FE BD ，

而GI=H-h，GO=H，EF=AC=2 m，BD=CD+BC=AC-AB+CD=2 m-1.3 m+1.8 m=2.5 m.

则 H-h H = AC BD ，H= BD BD-AC h= 2.5m 2.5m-2m ×1.7m=8.5 m.

即路灯的高度为8.5 m.

解法3 因为人是匀速前进的，因此其影长的变化量也必是均匀的.由题意可以求出人影长每秒钟增加的速度为：Δv= S2-S1 t = 1.8m-1.3m 2s =0.25 m/s.

当人的影长为1.3 m时，人离路灯的水平距离为：OA=vt′=1 m/s× 1.3m 0.25 m/s =5.2 m.

以题意则有： H h = OB AB = OA+AB AB ，则H= OA+AB AB h= 5.2 m+1.3 m 1.3 m ×1.7 m=8.5 m.

即路灯的高度为8.5 m.

解法4 因AC=vt=1 m/s × 2 s=2 m.则由三角函数的知识有：

H OB =tanα= h AB ，则 h AB = H OB = H OA+AB ，即 1.7m 1.3m = H OA+AB

h CD =tanβ= H OD ，则 h CD = H CD = H OA+AC+CD ，即 1.7 m 1.8 m = H OA+2 m+1.3 m

联立以上两式解之得：H=（ 2 m 1.8 m-1.3 m ） ×1.7 m=8.5 m.

即路灯的高度为8.5 m.

解法5 （由直角三角形的知识知：当“影长=身高”时，则有：灯高=影子的头端到灯正下方的距离，而影子的头端到灯正下方的距离=人走开的距离+影长.）

设人经过t秒钟后的影子长为1.7 m，则据题意有： h t = 1.8 m-1.3 m 2 s ，故此得：

t= 1.7m 0.5 m ×2 s=6.8 s.

此时人走开的距离为s=1 m/s × 6.8 s=6.8 m.

则灯高H=6.8 m+1.7 m=8.5 m.

练习 一位1.6 m高的人以1 m/s的速度从一盏路灯下向前走去，6 s后此人在地面上的影长为1 m，则该路灯在头顶上多高的位置？（9.6 m）