实伴随矩阵的原矩阵

黄艳宁，　胡志广

(天津师范大学数学科学学院，天津300387)

实伴随矩阵的原矩阵

黄艳宁，胡志广

(天津师范大学数学科学学院，天津300387)

[摘要]给出实数域上关于伴随矩阵方程X*=A解的讨论.

[关键词]伴随矩阵； 原矩阵； 实矩阵

1引言

伴随矩阵是由方阵构造出的一类矩阵，在矩阵理论研究中占有较为重要的地位，而且关于伴随矩阵的内容非常丰富，可参考文献[2].作为一个自然的问题，就是伴随矩阵的原矩阵的存在性问题.文献[3]讨论了复数域上原矩阵的存在性及原矩阵存在时一般表达问题.本文将在实数域上讨论这个问题.

本文中A表示n阶方阵，E表示n阶单位矩阵，而A*表示A的伴随矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|A|表示A的行列式，其中n是大于1的正整数.

2基础知识

引理1AA*=A*A=|A|E，且在A可逆时，有A*=|A|A-1.

引理2|A*|=|A|n-1.

引理4设k为非零常数，则(kA)*=kn-1A*.

引理5设B为n阶方阵，则(AB)*=B*A*.

引理6矩阵方程X*=diag(1,0,…,0)的解为

其中B为行列式为1的n-1阶方阵.

证显然X不可逆.在方程两边左乘X，据引理1有

XX*=Xdiag(1,0,…,0)=O.

于是X的第一列全为零.同样考虑右乘X，得X的第一行全为零.从而有

由伴随矩阵的定义，B为行列式为1的n-1阶方阵.反之显然.

3主要结果

引理7设r(A)=1时，则在实数域上存在行列式为正的矩阵P,Q，使得

A=Pdiag(1,0,…,0)Q.

(*)

证由矩阵的等价标准形理论，存在n阶实可逆阵P,Q，使得

A=Pdiag(1,0,…,0)Q.

可以假定P,Q的行列式均为正，否则可用Pdiag(1,…,1,-1)，diag(1,…,1,-1)Q代替上面的P,Q即可，引理得证.

定理1设A为n≥3阶的实矩阵，则实数域上矩阵方程X*=A解的情况为

(i) 当1

(ii) 当r(A)=n时，

(iii) 当r(A)=1时，方程有无穷解，且当A有分解式(*)时，方程的解为

其中B为行列式为1的任意n-1阶实方阵.

(iv) 当r(A)=0时，方程有无穷个解，且任意秩小于n-1的矩阵都是解.

证(i),(iv)显然.

(ii) 因A=X*=|X|X-1，故X=|X|A-1.又由引理2知，|A|=|X*|=|X|n-1.下面对n的奇偶性做讨论：

(iii) 当r(A)=1时，A有分解式(*).于是

P-1X*Q-1=diag(1,0,…,0).

由(ii)知

从而由引理5，得

再由引理7，易得方程解所具有的形式，且易验证就是所有的解.显然这样的矩阵X有无穷多个.

[参考文献]

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京: 高等教育出版社, 2003：177-193.

[2]韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 济南: 山东大学, 2008.

[3]王新哲. 伴随矩阵的反问题[J]. 数学通报, 1994, (5), 36-38.

[4]柯铧,柯科. 伴随矩阵的原矩阵[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2013,38(6)： 4-7.

OriginalMatrixofaRealAdjointMatrix

HUANG Yan-ning，HU Zhi-guang

(CollegeofMathematicsandScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

Abstract:ThispaperdiscussesthesolutionsoftheadjointmatrixequationX*=Aintherealfield.

Keywords:adjoinmatrix;originalmatrix;realmatrix

[中图分类号]O151.21

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)04-0087-03