基于研究生能力培养的应用数学专业课程教学实践

郭红建

(信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳464000)

研究生教育是国家培养高层次人才和创新型人才的主渠道，其实质和核心是培养研究生具有独立从事科研的能力［1］．基础知识的传承与创新能力的培养是研究生培养过程中的两个重要方面．目前，研究生培养过程中存在两种情况:一是注重研究生所选方向的基础知识传授，所传授的知识没有和学生开题报告及毕业论文所涉及的课题有机结合起来;二是仅仅让学生阅读和模仿前人的文章，尽管学生能模仿并写作一些文章，但其所掌握的基础知识是不完整的．另一方面，由于研究生的学习动机不同，也导致了学生对专业知识的学习兴趣和掌握程度不同．如何在教学过程中，结合本学科培养目标的要求，针对不同的学生及其已有的基础知识水平，使学生在研究生阶段的知识有所丰富和提高，达到所学专业的要求，并使其独立进行科研的能力有所提高是值得研究的．下面以生物数学专业研究生的培养为例，从学生的学习动机、学科知识体系以及学生应掌握的基本技能要求等方面入手，将应用数学研究生的能力培养融入专业课程教学中．

1 学生的学习兴趣和学科要求之间的矛盾

课程的教学效果是教师与学生之间的教与学过程共同作用的结果．学生是教学过程中的主体，其学习动机决定着对学习的投入程度［2］．由于学生考研的动机和目的不同，学生对所学内容的目标和要求也不同．

吕洁［3］调查后发现:本科生考研的动机和目的是多样性的，希望继续深造的同学占被调查人数的20%;就业受挫，不得不把考研当成学业上的第二次选择的占58%;出于名校情结、父母期望、户口问题、群体效应而考研的学生占22%．这个调查说明，就业期望是引发考研动机的重要原因［3，4］．由于不同的动机，学生入学后对研究生阶段所要学习的知识期望值也不同，其对所要学习的专业知识的兴趣也不同．一些同学渴望学习新的知识进行深造，一些同学对于学什么无所谓，只要能毕业找到工作就行;还有部分同学对本专业的知识毫无兴趣，会出现隐性逃课现象［5］，尽管身在课堂，但其阅读和学习的却是教师招聘考试、公务员考试等的书籍，对数学专业知识毫无兴趣．

对于应用数学的研究生来说，每个学科方向都对研究生应该掌握的知识有基本的要求．不同的应用数学学科对其专业方向的要求不同．例如，生物数学作为交叉学科，其由生物学和数学及其分支学科相互渗透融合而成，具有较为明确的研究目标、较为稳定的研究内容和较为清晰的研究边界．生物数学的研究重点之一是研究那些与生命科学有关的数学方法和理论．作为数学的一个分支，生物数学具有丰富的数学理论基础，包括集合论、概率论、微积分、微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等．这些丰富的数学方法和理论应用到生物学和生态学领域就使生物数学有很多的分支，如数量生态学、数量生理学、生物力学、生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支．

对于每一个生物数学方向，其需要使用的数学知识是不同的．生物数学的学生和研究者是不可能掌握所有的数学知识，只能是对不同的研究方向和课题进行有针对性的学习．当然这里并不排除学习和了解其他数学方向的知识的重要性．

由于研究生的学习动机不同，再加上其所学应用数学学科知识难度不同，使得相当一部分学生入学后有应付性学习的倾向．很多生物数学方向的研究生，在学习应用数学基础课阶段，觉得学习枯燥无味，没有学习的积极性．但大部分学生对生物学和生态学的一些知识感兴趣，也比较容易接受．这就需要导师引导学生的兴趣，发现其兴趣点，分层次分阶段地对学生进行培养．例如，有些学生对种群的知识感兴趣，那么在课程教学中多以种群模型为例进行教学;如果学生对疾病的传播和治疗感兴趣，那么就多以传染病模型为例，逐渐培养学生的学习兴趣．

2 对学生基本能力的要求

有研究表明，理科研究生基本科研能力结构要素按重要程度由大到小排序前5项依次为创新能力、逻辑推理能力、问题解决能力、数字运算能力、资料搜集与处理能力［6］．其中创新能力是指提出或产生具有新颖性工作成果的能力．影响创新程度的因素有:是否持有强烈的学术动机、课程参与程度和方式、学术交流经历、科研课题参与数量和方式、导师的学术指导等，这些都会在不同程度上影响学生的创新能力，尤其是课程学习参与度、导师的学术指导是影响程度最大的因素［7］．逻辑推理能力，是一种从已知到未知探索新知识的思维能力，即根据已有知识合乎逻辑地推出新的知识的才能．研究生的判断、类比、分析归纳、演绎综合、假说等逻辑推理方法及能力将贯穿其以后科学活动的全过程［8］．问题解决的过程主要涉及以下5个步骤:理解问题、描述问题、制订解决问题方案、执行问题解决方案、效果评估或反馈．上述这5个步骤高度概括了问题解决的基本过程，基本回答了“问题在哪?什么问题?怎么解决问题?问题解决得怎样?”4个关键性问题［9］．

在数学专业本科阶段的教学过程中，数学实验［10］是一个重要的课程，但由于课时和师资力量等方面的原因，造成很多研究生在数学实验中的编程能力几乎为0．尽管有各种层次的研究生建模比赛，但很多高校进行的是“精英式”培养，即只有参加比赛的人员才能有进一步的学习机会．因此在研究生教育阶段需要加强学生计算机编程能力［11］的培养．

信息和文献收集以及对文献的驾驭能力［12］是从事科研活动的一个重要方面．很多学生开题后，不知道该如何收集与其题目相关的文献和信息，其所能阅读和参考的仅是老师给的几篇文献，所掌握的文献量很少．因此在研究生科研能力培养过程中，应结合研究生所学的知识和科研方向，培养和提高研究生对文献信息资源的熟悉程度和对文献利用的力度．

这些能力的培养是一个综合的过程．只有在教育教学过程中，将上述能力的培养融入平时的教学过程中，丰富基础知识教学内容和方式，拓展教学空间和方式，才能使教学有活力，才能逐步提高学生的科研能力．

3 教学方法的探索与实践

以《脉冲微分方程及其应用》课程教学为例，介绍将上述研究生能力的培养融入课程教学中的探索．

在介绍脉冲微分方程理论知识之前，需要告知学生脉冲微分方程的发展过程、实际背景意义以及学习脉冲微分方程的必要性．对于从事微分方程及其应用研究的研究生，在接触到脉冲微分方程之前，其所学的知识主要是建立在连续系统(或离散系统)之上的．这些连续系统(或离散系统)描述的是研究对象的连续(或离散)变化过程．但许多生态、生命现象的发生以及人们对生态生命现象的管理和控制，并非是一个简单的连续或离散过程，不能单纯地用连续微分方程或差分方程来描述，用脉冲微分方程来描述更为合适．例如，药物动力学研究药物在人体中的分布，口服、注射药物常常是以脉冲形式进入人体的，因此描述药物在人体(包括血液、脏器、肌肉等)中浓度变化情况，应用周期脉冲微分方程更为合理［13］．另外，脉冲微分方程也被广泛地应用在可再生资源的开发、害虫治理、环境的综合治理等领域并取得了许多好的结果．

介绍这些知识的时候，几乎所有的同学都很感兴趣．有部分同学能够举出一些现实农业生产中与脉冲有关的例子，如每年夏季棉花害虫的防治等．随后给同学提出问题，河南是农业大省，害虫危害农业作物，需要进行喷洒农药．但什么时候喷洒农药?其方式有哪些?同学们的回答就多样了，有的说每隔一段时间就打一次农药，有的说要看害虫的多少．同学们所提到的控制方式都是其身边甚至是其亲身经历的．接下来，如何制订控制措施，使得喷洒次数最少?如何去描述和评估控制措施能否有效控制害虫?同时，如果作为一个管理者，其最关心的问题是什么?这些问题的提出激发了学生的学习兴趣，学生们想要知道如何建立这类模型，以及如何通过数学问题的研究来描述和回答上述实际问题．

关于建模，不同的研究方向有不同的建模思想和方法．这就要告诉学生，对于同一个问题，可以用不同的方法进行研究，如统计方法、概率方法等，这些方法的侧重点不同，其所用的数学语言和方法也是不同的［14］．笔者的研究方向是微分方程，主要利用微分方程所建的数学模型及其研究方法来讨论数学理论及其应用，例如考虑上述实际问题．首先，通过几个简单的例子让同学们对脉冲模型有初步的理解，如具有脉冲收获的Logistic单种群模型，指出脉冲模型与连续模型的区别之处．

在举例过程中，可以告知学生基本的建模思想以及所要研究的内容，其一般过程为:针对某个生态或生命现象，首先分析其主要因素之间的数量及其变化规律，建立相应连续模型，然后根据外界干扰的特点，建立脉冲条件项，给出描述状态变量突变的脉冲函数．通过数学分析和研究得出周期解的存在性和稳定性等数学结果，然后利用数学结果解释或说明实际问题，同时指出，在研究过程可能会出现新的数学问题．通过这些介绍，让同学明白其所要学习的脉冲微分方程的概况，以及脉冲微分方程作为一种工具在其以后研究工作中的作用．

在脉冲微分方程数学基础知识的讲解上，规范性教学是按照文献［15］上的理论体系进行，按照顺序介绍脉冲微分系统简介、脉冲现象、解的局部存在性与解的延拓、解的局部存在性、解的延拓;线性脉冲微分系统(齐次和非齐次)、脉冲微分不等式和脉冲积分不等式、解的全局存在性和唯一性、解对初值的连续依赖性和可微性;脉冲时滞微分系统;脉冲半动力系统等［13，15］．结果发现，刚开始同学还有兴趣听讲，介绍到解的存在性和唯一性等知识以后，明显感觉到学生的厌学情绪，且学习效果也不好．在其开题后进行研究的过程中，发现这些知识忘得差不多了，特别是对那些本来数学基础较差的学生更是如此．另外，这些基础知识介绍完，课时也基本用完，其在生命科学中的运用也没有时间讲了，造成了虎头蛇尾的情况．

近两年将课程章节的教学顺序进行了调整，将脉冲微分方程在生物数学中的应用融入到平时的课程教学中，压缩基础理论的教学课时，加大应用部分的课时，并且理论、应用和学生讨论交叉进行，指出脉冲微分系统简介、脉冲现象是基础性知识;解的局部存在性与解的延拓、解的局部存在性和延拓，全局存在性和唯一性、解对初值的连续依赖性和可微性等是理论基础;线性脉冲微分系统(齐次和非齐次)、脉冲时滞微分系统、脉冲半动力系统等是应用重点．通过两届学生的教学，发现效果很好．

下面举一个例子．在介绍脉冲微分系统简介、脉冲现象这些定义及基础性知识时，让学生了解到，对于一个非常简单的连续系统，如果加上脉冲条件和脉冲函数，其解的性质就会变得非常复杂．在生物数学领域，具有Multhus或Logistic增长率的单种群模型是最简单的，也是最基础的模型．按照脉冲微分方程的分类，让学生建立三类脉冲模型，学生很快就能完成．在解释他们所建模型的生物学意义时，对于定时脉冲和状态脉冲模型时，都能明白其生物学意义．但对于脉冲时间依赖某类函数的模型时，却出现了分歧．另外，对脉冲函数的描述也存在疑问，到底该用何种函数形式．这时，需要引导学生自己去理解:需要考虑所研究问题的生物学意义，如果是采取投放行为，一般是采用常数的形式;如果是采取收获行为，有常数收获和成比例收获两种情况．如果考虑的是纯数学问题，不考虑生物学意义，可以设为任意函数形式．通过这些过程，让同学们了解并初步掌握利用脉冲微分方程进行建模的简单过程．

模型建立起来了，下一个问题是如何进行讨论和研究，其依据是什么?这就是理论依据．首先从学科理论基础的角度出发，介绍解的局部存在性与解的延拓等知识定理和已有结果，对于一般的脉冲问题，首先要考虑其解的存在性问题．对于前期学生所建立的三类脉冲模型，选取其中两类:具有常数投放的Multhus模型和具有成比例收获的Logistic模型，让同学们计算讨论在一个脉冲周期内解的存在性等．实际上，这两个模型都是可求解的，利用本科所学的知识就能解决．有些同学很快就能写出在一个脉冲周期内解的形式，但部分同学对Logistic模型的求解就显得吃力．课堂上，让两个学生在黑板上同时进行演算，根据两个学生的演算结果进行讨论，最终获得正确的计算步骤和计算结果．接着，让同学们计算两个脉冲周期内解的形式．刚开始同学们有些不敢下手，通过回顾定义等概念，说明在第二个脉冲周期，求解的方法与第一个脉冲周期是一样的，只不过是初值不同，而第二个脉冲区间的初值与前一个脉冲周期的终点及脉冲函数有关．经过解释，同学们很快就将两个周期内解的形式写出来了．然后再提问题，对于三个或更多脉冲周期内，能否写得出来?同学们表示都能写得出来．那么当时间趋于无穷时，解的性质是什么?同学们感到迷茫．随后给出一些文献，让学生们去寻找，然后阅读，并在习题和讨论课上进行讨论，讨论周期解的存在性及稳定性等．

通过单种群系统的讨论，让学生们理解了脉冲系统的建模过程及初步研究过程．对于具有阶段结构的线性系统，该怎样去讨论?是否仍然按照单种群的思路去做?学生们进行了简单的尝试后，均表示有点麻烦．接着，就引入了另外一个知识点:线性脉冲微分系统(齐次和非齐次)，重点介绍其中的Floquet理论，这里的难点是利用Green函数表示解的形式．通过线性系统的学习，让学生们了解了线性系统的理论基础和研究方法．但这些也是理论上的认识，为了让学生进一步了解Floquet理论的应用，给同学几篇文献进行讨论．

在对线性系统有了初步认识后，接着提出了更一般的问题:生物数学的模型大多数是不可求解的，该如何去做?以简单的具有脉冲收获的捕食模型为例，让同学们去尝试理解模型的意义，同学们都能准确说出其意义．但如何去讨论?随后引入了脉冲微分不等式和积分不等式等概念及相关知识的介绍，并通过相关文献，让同学了解了该类非线性问题的研究方法和思路．到此，同学们对脉冲微分方程的基础知识及其在生物数学中的初步应用有了一定的认识．

但到此阶段，所有的理论问题和具体模型考虑的是脉冲条件与时间有关的脉冲微分方程，如果把脉冲条件改为仅与状态变量有关即状态脉冲，该如何讨论这类脉冲微分方程?用文献［15］的内容向同学们介绍脉冲半动力系统的相关知识，但因其数学语言味道浓厚，研究生理解起来比较费劲．近两年，笔者先介绍陈兰荪先生论文［16］上的内容，在介绍了其建模思想以及所要讨论的重点后，让同学们自己去讲解文献［15］中的脉冲半动力系统知识．结果发现，同学们无论是在理解脉冲半动力系统建模上，还是对所建模型的讨论方法上，都很快能够接受．不过中间有个难点，是关于连续系统的定性分析和矢量图分析上，是学生以前没有接触过的．例如，在画矢量图及轨线的走势时，一些同学不知该如何判别，且画轨线走势时很随意，这都是对等倾线和矢量域理解不深的缘故．尽管从代数方程上，知道如何运算，但不知如何运用到定性分析和矢量图分析上．经过训练，同学们都能掌握基本的定性分析技巧．

在学生数学实验和数值分析能力的培养上，学校没有安排专门的课时去学习．由于计算机的广泛普及，我们从理论上得到的一些数学结果，需要通过数学实验来进行验证．这就要求学生加强这方面的工作，因为研究生来自不同的学校，而每个学校的数学实验的教学情况也不同．同学们虽然都掌握一些基本的编程语言，如C语言等，但大多数学生对编程特别是针对微分方程的编程是不熟练的．这就影响了其对数学实验的学习效果．因为数学实验不是脉冲微分方程课程的教学重点，所以在课堂上，仅是建议学生使用Maple、Matlab等数学软件来进行数学实验和数值分析．

在检索文献和分析文献能力方面，由于学校购买的权威数据库(特别是外文数据库)不完整，很多文献是无法在图书馆查到的，这就需要学生们通过多种渠道进行获取．在课堂上经常要求学生查找文献，读其前言部分，根据前言中的介绍，让同学去图书馆或网上下载其后面所列文献．刚开始，同学感觉查找文献太费劲了，而且一些能够免费下载的文献也找不到．但是经过几篇文章的训练，学生很快能查到文献，完成作业．

关于文献中知识点的把握方面主要在讨论课上进行，要让学生针对讨论课上的知识点，寻找相关文献，但学生所找到的文献中不只有一个知识点．这时需要引导学生，在文献中找到所要学习和讨论的知识点，并要求学生去了解该知识点在文献中的作用等．通过几篇文献的训练，学生在快速浏览了内容后，就能明确说出在讨论课上需要讲解哪几个定理．

通过以上的教学尝试，研究生脉冲微分方程课程的学习效果明显提高，在学生论文指导过程中，明显感到学生的建模能力、数学结果的获得速度及准确度都有所提高．

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