高等代数课程要素教学与大学生的角色转换

郭亚梅

(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000)

高等代数课程要素教学与大学生的角色转换

郭亚梅

(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000)

本文通过几种行之有效的方法，讨论了如何在高等代数教学中使大一新同学尽快适应大学，完成由中学到大学的角色转换。

高等代数；角色转换；教学方法；中学数学

高等代数是数学专业大一新生的第一门专业基础课之一，如何在一点一滴的教学中巧妙地帮助学生完成由中学到大学的角色转换尤为重要。由于该课程的内容、思想的抽象性，传统的教学模式很难使大一的学生入门，也很难培养学生对高等代数的兴趣。许多学者从不同方面就课程教学与大学生的角色转换问题进行了行之有效的有益尝试。王玉行(2007)指出中小学的数学中学生初步地学习了演绎推理，在高等代数中大量存在性、唯一性和结构与表述复杂的命题、法则的登场，使探索发现过程的合情推理及论证过程的演绎推理复杂化。探索切实培养大学生的数学素质，提高教学质量的途径就显得格外重要。梁登峰、刘福林(2013)建议与解析几何、数学软件、数学建模等的教学结合起来，将教学内容的先后顺序做适当的调整，这样使其内容具体化、生动化，更易适应大一新生的学习方式。刘小川、何美为消除学生在思维方式、学习方法上的诸多不适应提出了几个需要注意的方面，包括针对基本概念设计适当问题、通过举反例加深对基本理论的认识、补典型例题提倡一题多解、加强代数思想方法的渗透与培养、充分利用高等代数的特点，培养学生的数学能力等。蒋华、刘兴燕(2013)认为在关注“教”的同时更要关注学生的“学”。培养学生的问题意识、注重知识的来源与应用、注重创新思维的培养等都要在课程教学中找到合适的定位。教学评价注重方法多元化、过程与结果、定性与定量评价相结合，全而描述学生的学习过程。耿俊，邓勇(2012)给出了高等代数教学中3个问题的创新示范，说明改革传统教学方式及体现核心知识价值在高等代数教学中有着重大意义。叶立军、斯海霞(2011)对课堂上教师的评价行为的重要性给予了高度重视，他们通过高等代数教学录像课的量化分析及对教师在课堂教学中各类评价行为的统计分析表明，占近1/5课堂时间的教师课堂评价行为主要关注学生知识、技能的掌握，较少涉及学生情感、态度等，正确的评价行为能激励学生产生内在的学习动力，激发学生的潜能。

完成角色转换首先需要解决两个大的问题，一是学习者的学养转变，这是学生学习自适力的转变，反映到专业课程学习上是学习思想的转变、学习能力的转变与学习方法的转变等。一是教师教学内容的安排、教学方式的选择及教学思想的渗透等。我们拟在前人研究的基础上从教师合理地运用教学评价行为入手与学生的课程学习兴趣及自适力培养有机结合起来，对角色转换为课程教学提出的教学环节问题进行一些初步的尝试。其中的一些具体的做法源于我们多年的教学实践，且已证明取得了一些令人满意的效果。

1 大学入门先做好课程入门

高等代数分为多项式和线性代数两部分。同学们对多项式会觉得很亲切。而多项式的整除、互素、因式分解等就是中学数学的推广。在这一章，同学们会见到如x3+x2+1的形式，在中学，x叫未知数，一般取实数，而高等代数中它叫未知元，未知数是未知元的特殊情况。我们还会发现2可以整除3、2与4互素的现象。而下面的结果到底哪个对？

x4-4=(x2-2)(x2+2)

在线性代数部分，线性代数从中文的角度看由两个词构成，分别是“线性”和“代数”，“线性”修饰“代数”。比如函数y=x，它的图像是一条直线，被形象地称为线性函数。 那具体什么叫线性呢？其实线性就是量与量之间成一次关系，也就是说量与量之间只有“加”、“减”和“数乘”的关系，不能有变量之间的乘法运算。 又如：x+y=1，是线性方程。而方程x2+y=1，就是非线性方程。中学的二元一次方程组，也叫线性方程组。

代数则是一门非常古老的数学学科，起源可以追溯到古巴比伦的时代。 从字面上看，就是用字母代替数。例：如何表示3加上什么数等于5？很容易可以得到“2”。

历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为线性代数的主要部分。

在中学我们知道二元一次方程组的解有三种情况，即无解、无穷多解和唯一解。而在高等代数中我们要将此结论推广为n元线性方程组。

2 探索适合大一学生的教学方法

大一新生是一个特殊的群体。他们还沉浸在中学的教学环境中。他们还沿用的是中学的学习方法。他们对大学各方面还不了解、不太适应，而高等代数又具有抽象、繁琐、定义多、定理多、难度大等特点，在教学上急需寻找适合这一阶段学生的教学方法。

2.1 增强趣味性降低难度

趣味是最好的老师。在枯燥的数学教学中，适当的增加一些形象的语言、生动的例子，会使课堂不那么死气沉沉，会让学生积极地学习。

又如在用伴随矩阵法求逆矩阵时，同学们总是丢三落四，三句口诀很合适：带上符号(代数余子式的符号)，找准位置(伴随矩阵中个代数余子式的位置)，不忘除|A|(矩阵的行列式)。

而用化上三角形的方法求行列式时，此法可以称为化归法。应用时，方法也是较灵活的。我们的原则是“有1用1，没有1找1，找不到造1”.其中用1，就是直接化，而找就是换行或换列，造1，是指利用一个数乘以某行或某列加到另一行或一列上(可以称为倍法化零)的性质先造成第一个元素是1，下面就好操作了。这里的1也不一定是1，只要能整除所在列下面的元素即可。

再如，行列式的按行按列展开原理应用时，口诀是“不见兔子不撒鹰，没有兔子造兔子，同时不要忘记符号、不要忘记元素”。当然，兔子就是有一行或一列只有一个数非零其余全为零。而这里的符号就是代数余子式的符号，元素是原行列式中的元素。

适当的换用教师的语言会使沉闷的课堂活跃起来。

2.2 增加与中学的联系提高亲和性

在中学，有很多知识我们只知其然并不知其所以然，到大学我们就是要寻找其所以然。例如，中学只知道多项式的因式分解到某一步老师就说可以了，结束了，而在因式分解这一节中，通过学习不可约多项式就可以回答为什么，怎样就叫结束。因式分解定理的证明回答了，因式分解可以有很多方法但分解的最终结果是标准分解式。不考虑顺序时分解式唯一。其实，中学讨论因式分解的方法，高等代数讨论分解的结果。

多项式这一章是和中学联系比较多的，同学们会有很自然的感觉，但无论在内容还是讲解方式上都与中学截然不同，在联系中学内容的同时还要时常提醒这里的多项式与中学的不同。特别是在整除这一节中，对多项式的整除，同学们总是想成整数的整除。

2.3 通过举实例变抽象为具体

高等代数中有很多问题都是抽象的，这是与中学数学最大的区别。也是学习高等代数的难点所在。变抽象为具体，深入浅出是教学的关键。

例如，一元多项式的定义anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0式中的x是未知元，不能用数来代入，否则就特殊化了。如3x4+x-1是一个4次多项式，中学所学多项式是它在x取实数时的特殊情况。

又如，第二章行列式在讲到排列的性质定理，对换改变排列的奇偶性时，举一个特殊例子214536来讲解相邻对换和不相邻对换的情况，对证明问题很有帮助。

在遇到较难想象的n级行列式的计算时，最好先举一个低级如四级的特殊情况，找出规律再想象n级行列式的计算方法。

由特殊情况猜想一般是学好高等数学特别是高等代数的技巧。

2.4 课后提出问题迫使同学思考

由于大学每一节课内容较多，每学期教学任务繁重，不可能对所有问题都讲得很全面很透彻，开快车是常有的事。因此很多问题就需要同学们下课消化并深入思考，但是，同学们还停留在中学被动地听老师讲解的方法中，而不能也不会积极思考。几乎每一节课针对本节内容都可以提出或多或少的问题。如带余除法定理课后，提问整数有没有相应的定理？怎么描述？讲完极大线性无关组后，提问有没有极大线性相关组？二三级行列式了解之后，一级行列式怎么表达？这些问题起到的只是抛砖引玉的作用，以此来教会同学们如何找问题，如何提问题。

3 利用课间与同学们谈心了解同学情况

上中学时，老师要每天看自习，看着大家学习，同学们有什么思想问题和学习问题都能够及时解决。而到了大学，老师不可能每天都跟学生在一起，特别是任课老师。所以，利用课间休息时间与同学们聊天是一个不错的方法。做老师的可以主动跟同学聊，了解同学的同时对自己的教学也是大有帮助的。课间师生的聊天可以是生活中的问题，可以是思想问题，当然更重要的是鼓励同学们提学习上的问题，这些问题的提出对我们的教学也是很有益处的，也就是利用下课时间很随意的与同学们讨论问题。例如，有一节课快下课时，我提出问题：既然整除的定义是：对多项式f(x),g(x)，如果存在同一个数域上的多项式h(x)，使得：f(x)=g(x)g(x)，那么，g(x)整除f(x)。那么0是不是整除0？请同学们思考。同学们讨论的非常热列，有人认为，0不能做分母，因此不能整除。我请同学认真看定义，只要满足等式f(x)=g(x)h(x)，就整除f(x)，那么等式0=0·h(x)不成立吗？这样0整除0自然就成立了。通过这些看似随意的提问与讨论，逐渐地培养了同学们积极、向上、勤奋、好学的学习氛围，同学们在不知不觉中喜欢上老师的课，喜欢上自己的专业。

大一新生的专业课老师不仅要教书育人，同时担负着还未成熟，又渴望成熟，还在成长又渴望指点的同学们的重任，帮助同学们尽快由中学到大学的角色转换是一件长期而艰巨的任务。

[1]王玉行.高等代数教学对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略[J].数学教育学报,2007，(3).

[2]梁登峰,刘福林.关于高等代数课程教学改革和教学实践的几点体会[J].大学数学,2013，(5).

[3]刘小川,何美.高等代数教学方法的探讨[J].大学数学，2013，(1).

[4]蒋华，刘兴燕.师范院校《高等代数》教学改革的思考与实践[J].宜宾学院学报，2013，(6).

[5]叶立军,斯海霞.代数课堂教学中教师的评价行为研究[J].教育理论与实践，2011，(3).

[6]耿俊,邓勇.高等代数课程教学要义探析[J].高师理科学刊，2012，(3).

[7]北京大学数学系前代数小组.高等代数·第四版[M].北京；高等教育出版社，2013.

[8]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.

[9]王萼芳.高等代数[M].北京；高等教育出版社，2009.

[10]黎克麟，宋乾坤，郭发明.高等代数教学分析与研究[M].成都：四川大学出版社，2004.

[责任编辑：Z]

2015-07-10

郭亚梅(1963-)，女，副教授，主要从事基础数学方面的教学研究。

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1671-5330(2015)05-0138-03