高职院校常微分方程教与学

张春红

摘  要：常微分方程是高职院校理工科专业开设的高等数学课程中重要的知识内容之一。文章针对高职院校的学生特性和常微分方程知识点的特性， 分析教学内容及方法，引导学生透过现象看本质，从繁到简如何学好常微分方程相关内容。

关键词：常微分方程;教与学

常微分方程是高职院校高等数学的一个组成部分，，在高等数学中占据着重要位置，在理工科的专业课程中涉及广泛。

常微分方程不同于一般的方程，一般方程反应的是变量之间的函数关系式，而常微分方程是反应待求函数及其导数之间的关系式，在建立微分方程后，找出满足该方程的未知函数的过程，就是解微分方程。

常微分方程对解决实际问题具有重要的意义。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

高职院校在高等数学课程中讲解常微分方程，主要是为各专业课程服务，使学生在后续的专业课程学习和工作中能够理解分析并运用常微分方程，分析处理相关问题。

一、教学分析

（一）学生特性。目前，高职院校的生源都是高等本科院校录取后的生源，其来源主要有三类：一是通过普通高考招收普通高中生，二是通过对口考试招收的职业高中生，三是3+2、2+3考试招收的中专、职中生。

（二）教学内容特性。可分离变量的微分方程;一阶线性微分方程及其应用;二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。这些内容只是常微分方程领域里的冰山一角，但对于高职院校学生来说具有一定的难度。如何引导学生掌握相关的知识，并将所学内容运用到平时的工作和生活中，最终达到提高分析和解决问题能力的素质目标。是承担常微分方程内容教学面临的一个具体而现实的问题。

二、教学思路

（一）把握学科特性。数学的学习，简单说来，就是定义、公式、性质、定理等的理解与运用。常微分方程作为数学的一个分支，学习的过程中同样具有这些特性。所以我们在学习定义、公式、性质、定理等知识点的时候特别强调理解的重要性，在学习例题和做练习题时则强调能活运用的重要性。

（二）把握知识点特性。（1）微分方程的基本概念。从微分方程的定义我们可以知道，一个方程中只要含有未知函数的导数（或微分），就可判断为微分方程。所以我们在理解基本概念的时候要抓住主要特性。（2）可分离变量的微分方程。该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的函数，即f（x），g（x）分别是变量x，y的已知连续函数.可分离变量的微分方程的                        求解方法，一般有如下两步：

第一步：分离变量g（y）dy=f（x）dx，

第二步：两边积分

第三步：计算上述不定积分，得通解。因此，求解可分离变量的微分方程，只需两步：第一步，分析化简为可分离变量的微分方程;第二步，两边积分求得其通解。（3）一阶线性微分方程及其应用。1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解;

2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解（将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数）即可。3）将所设解代入非齐次线性方程，解出，并写出非齐次线性方程的通解。一阶线性微分方程的学习最后浓缩成两个公式，一是齐次线性方程通解的表达式;而是非齐次线性方程通解的表达式。一阶线性微分方程的应用实际上是这两个公式运用于实际的过程，或者说运用这两个公式解决实际问题的一个过程。（4）二阶常系数齐次线性微分方程。    首先应会判断什么是二阶常系数齐次线性微分方程，然后理解二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式。求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：

第一步，写出微分方程的特征方程;

第二步，求出特征根;

第三步，根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。两个不等实根

两个相等实根

一对共轭复根

所以，求解二阶常系数齐次线性微分方程，掌握这三种情况，直接套用公式就能游刃而解。（5）二阶常系数非齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法，由非齐次线性方程解的结构定理可知，求非齐次方程的通解，可先求出其对应的齐次方程的通解，再设法求出非齐次线性方程的某个特解，二者之和就是二阶常系数非齐次线性微分方程之通解。

三、教学结论

常微分方程这一模块，涉及到微分方程的基本概念;可分离变量的微分方程;一阶线性微分方程及其应用;二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。在具体的学习过程中，首先会判断属于那种形式的微分方程，如果是可分离变量的微分方程，直接分离变量再积分就可。如果是一阶线性微分方程，根据齐次和非齐次而套用不同的通解公式即可求出通解。如果是二阶常系数齐次线性微分方程或者二阶常系数非齐次线性微分方程则根据实际情况套用相关公式，再计算化简涉就能求得通解。所以，在解常微分方程的过程中，先看微分方程符合哪类，然后再根据具体情况运用公式求通解。求解常微分方程简单而言就是套用公式的过程。

高职院校学生在学习的过程中，只看到了常微分方程复杂的表面，实际上如果稍微深入研究就会明白，在常微分方程类型确定后，只是一个套用公式由繁化简的过程。什么类型就套用什么公式，然后计算化简求通解。

综上所述，我们在常微分方程的学习中要透过繁杂的表面看简单的本质，透过繁琐的文字说明看体现本质的核心内容。这样就能由繁到简的学好常微分方程。

参考文献：

[1] 王高雄，周之铭.常微分方程[M].2 版.北京：高等教育出版社，1983

[2] 李宏平.廖仲春.应用数学[M].湖南大学出版社，2010