生活中的“魔力桌布问题”探究

黄诗雅

摘 要：自然界相互联系的物体之间存在多种多样的相互作用，这些相互作用表现为作用力、反作用力、电磁力、摩擦力、空气阻力等，而物体的运动状态与所受到的力之间的关系可以用牛顿运动定律来描述。该文利用高中物理中的牛顿运动定律，对生活中发现的“魔力桌布问题”进行物理探究，分析各物体的受力情况和运动状态，特别对桌布运动状态的极限进行了相关的物理描述，推导出了让菜盘不掉下桌面的抽取桌布的极限加速度的表达式，得出了一些有趣的结论。

关键词：相互作用力 加速度 牛顿运动定律 受力分析

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）08（a）-0229-02

自然界相互联系的物体之间存在多种多样的相互作用，这些相互作用表现为作用力、反作用力、电磁力、摩擦力、空气阻力等，可以使物体在形状、运动状态以及其他肉眼不能察觉的许多方面发生变化。而牛顿运动定律告诉我们：物体的运动状态与它所受到的力有直接的關系，当物体运动速度的大小或方向发生改变时，物体的运动状态一定会发生改变。

在生活中发现这样一个问题：如何快速抽动饭桌上的桌布，能使桌布上放置的菜盘不掉下桌面，或者如何抽动桌布，能让菜盘到达桌面指定的位置。在该文中，将这个问题称为“魔力桌布问题”。

为了探究上述“魔力桌布问题”的物理本质，需要研究桌布与桌面、桌面与菜碗之间的物理性质及其受力情况。首先，将“魔力桌布问题”简化为如图1所示的模型，其中桌面为正方形，其边长为L，桌布的一边与桌面的边AB重合，记菜盘的质量为m，放置在桌面的中央，菜盘与桌布、桌面间的动摩擦系数分别为m1和m2，探究突然以恒定的、方向水平且垂直于AB边的加速度a将桌布抽离桌面，当加速度满足什么条件时，菜盘不会从桌面上掉下，或者能让菜盘在桌面上移动指定的距离。

1 三种情况的受力分析

利用图1的简化物理模型，可建立菜盘与桌布接触、菜盘与桌布分离而与桌面接触的受力模型，分别如图2（a）和图2（b）所示，其中，mg为菜盘受到的重力；N为桌面或桌布对菜盘的支撑力；f1为菜盘与桌布之间的摩擦力。f2为菜盘与桌面之间的摩擦力。以下分析探究三种情况下菜盘、桌布的运动状态。

情况1：菜盘与桌布未分离，而直接接触。

在图2（a）中，利用摩擦力的计算公式和牛顿运动定律，当菜盘与桌布未分离，且菜盘运动的加速度为a1时，菜盘与桌布之间的摩擦力f1可以表示为：f1=m1N=m1mg=m1a1，变换后为：

a1=m1g （1）

情况2：菜盘与桌布分离瞬间。

假定以加速度a2抽离桌布，当抽离桌布的时间到达 t 时刻时，恰好是菜盘与桌布分离瞬间，此刻菜盘运动的距离为d，运动速度为v1，桌布的运动速度为v2。利用牛顿定律可知：

（2）

将式（1）代入式（2），经整理后可得式（3）和式（4）：

（3）

（4）

与此同时，在菜盘与桌布的分离瞬间，分析桌布的运动状态，有：

（5）

将式（4）代入式（5）可得：

（6）

需要探究当菜盘的运动距离d小于或等于0.5L，菜盘与桌布发生分离且位于桌面上时，抽离桌布的加速度a2应该满足什么条件。

情况3：菜盘与桌布分离后，菜盘位于桌面上。

接情况2，如果抽离桌布后，菜盘与桌布分离且还位于桌面上时，菜盘的受力分析模型如图2（b）所示，假定此时菜盘的加速度为a3，运动速度为v1，运动距离为d，有：

（7）

将式（3）式（7），整理后得到：

（8）

如果要让菜盘运动距离d小于或等于0.5L，且菜盘与桌布分离后却还位于桌面上时，需要将式（8）代入情况2的分析结果式（6）中，可得抽离桌布的最小加速度值amin应满足：

（9）

如果要让菜盘位于桌面的指定位置，如运动距离为0.25L，则根据式（9）可知，此时，动摩擦系数m1与m2必须满足如下关系式：

（10）

此时，抽离桌布的加速度仍然由式（9）给定。

根据式（8），假定桌子的边长为1m，表1给出了让菜盘运动到桌面指定位置时，m1与m2的比值（m1/m2）。可见，菜盘的运动距离越小，两个动摩擦系数的比值必须越大；当菜盘恰好停留在桌子边缘时，两个动摩擦系数的值相等，即m1=m2。

2 结语

该文利用高中物理中的相关物理定律，对生活中发现的“魔力桌布问题”进行物理探究，得到如下结论：

1） 对生活中遇到的问题进行合理简化，根据研究对象的不同受力模型，合理运用所学的牛顿运动定律可对研究对象的物理特征进行分析。

2） 针对“魔力桌布问题”，要使菜盘与桌布分离后还能位于桌面的指定位置，必须要求菜盘与桌布、桌面之间的动摩擦系数m1与m2满足特定的关系，如文中表1给出的各关系，此时抽离桌布的加速度一定要大于式（9）给出的值。

参考文献

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