概率论中对“条件概率”的一点认识

俞霜

摘要：条件概率属于概率论范畴中一个重要的概念，本文主要从条件概率的定义，对其的认识，以及对现有的概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的新的理解方面进行了分析与阐述。只要对所已知的概率事件进行认真分析，就可不考虑其他公式约束，而利用“条件概率”对其进行计算和分析。

关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；样本空间

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）39-0186-02

一、概率论中“条件概率”

很多概率问题往往不是简单直白的，而是附加了一些条件，在此基础上来求解事件的概率。例如，在某事件A发生的前提下，求解B事件的条件概率，则可简记为P（B|A）。

“条件概率”的基本概念：设A和B是两个不同的事件，且P（A）≠0，那么称P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，P（B|A）≠P（B），且它满足以下三个条件：（1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。

二、利用“条件概率”计算

通过对现有的概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的一点新的理解，读者可以不用去考虑课本给出的全概率公式和贝叶斯公式，只要对所给出的概率事件能够有足够的分析，利用“条件概率”就可以进行计算。

1.关于条件概率的判定。上述对于如何区分条件概率事件进行了讨论，那么对于主要标志是P（AB）还是P（A|B）取决于A、B两个事件在所述问题中是否是地位平等的，也就是探索是否事件A、B存在一个必然事件和一个随机事件。如果事件A、B均为随机事件，那么两者就是平等地位。实际在分析问题时，不用探索其是否是平等事件，因为条件概率P（A|B）中，事件A、B均为随机事件。对于具体的问题，附加的条件若为事件B已经发生，那么很明确其为条件概率事件，因此，附加条件是判断是否为条件概率的关键。举例分析：投掷一枚硬币，第一次为正面时，第二次也为正面的概率为条件概率；第一次第二次都为正面，则不是条件概率。因此表述不当，可能会造成分析的错误。正确判断是否为条件概率事件是十分重要的。

2.条件概率的解题思路。所研究的事件A是在事件B已经发生的前提下产生，那么可以将事件A发生的概率按照条件概率进行分析。对于简单的条件概率，这里主要论述两个基本的思路：一是根据条件概率的定义进行计算，在其原来的样本空间中分析P（A）及P（AB），再利用公式P（B|A），求解出P（B|A）。二是在缩减的样本空间SA中计算B出现的概率。

三、概率公式的理解

在概率论学习中，全概率公式、贝叶斯公式以及乘法公式，是《概率统计》这门学科学习的重中之重，也是研究生考试的一个重要常考点。倘若学习这门课程时，按照课本的内容和顺序，直接熟记其公式，并仅仅学习如何套用公式解题的话，对学生而言，只是记住了公式的形式，而在实际应用时，并不能明白其实际的意义。其实，应用这三个公式最重要的是准确找到其样本空间。这里着重讲解这三个公式的意义，并研究如何确定其样本空间。

不妨举例进一步解释全概率公式的含义。假设某个年级共有5个班级，每个班共有40人，男、女生各占一半，如果选择其中1名学生当社联的主席，那么这个职务为女生的可能性是多少？应该很快就能得出结果。设选中女生为事件A，那么（这个年级共有200人，而女生共100人，则所求即为0.5）。事实上，我们应该是以0.2的可能性在1班进行选取，然后以0.5的可能性会选中女生；同样以0.2的可能性在2班进行选取，再以0.5的可能性选中女生。依次可知，以0.2的可能性在3班选取，再以0.5的可能性选取到女生；以0.2的可能性在4班选取，再以0.5的可能性选取到女生；以0.2的可能性在5班选取，再以0.5的可能性选取到女生。这样的进行选择，实际就是运用了全概率公式。此外，完备事件组不一定唯一，根据不同的思路，就可以找出不同的完备事件组，但是无论哪个完备事件组，都可以解决问题。

贝叶斯公式的应用范围很广，对于很多的实际问题的解决也发挥了很大的作用。举例分析，某一工厂生产某种产品，有三种备选方案：小批量生产、中批量生产、大批量生产。该产品生产的决定性因素是市场对其的需求量，根据资料分析可知，大需求量的概率是30%，假如市场有大的需求，则分别选择小批量、中批量、大批量生产，工厂可获利分别为10万、20万、30万；假如市场的需求量较小，而分别选择小批量、中批量、大批量生产，那么工厂获利分别为5万、2万、6万。为了更好地获益，该工厂进行市场调研，调研经费为3万，从获取的资料可知，市场的需求量较大的准确率为80%，而市场需求量小的准确率为90%，该怎样选取最佳方案呢？分析可知决策人拥有全部的信息，那么就可以以最佳的方案获得最大的利益。然而实际情况存在很多不可预知的因素，那么要想通过更多的信息来做出最合理的决策，需要市场调研提供信息，以便调整事件的先验概率，使得经调整的后验概率更加接近实际。故需要进行研究分析，根据上述的计算可知，当工厂进行市场调研时，工厂就可达到11.4288万的期望获益，相比于比那些不市场调研的工厂，要高于它们的6.4万元，差值为5.0288万元。当市场调研价低于5.0288万时，工厂就要进行市场调研工作，因为进行市场调研费用为3万元。因此案例，我们得到了后验风险决策的论断：（1）要进行市场调研工作；（2）依据调研结果进行工作安排。这个例子的结论就是，当市场的需求量大时，就进行大批量生产，当需求量小时，就进行小批量生产。通过运用贝叶斯条件概率，可以得到先验概率和被修正的后验概率，进而选择最佳方案，降低风险

四、结语

通过以上对条件概率以及概率公式的理解和分析，可以知道，条件概率在《概率论》这门学科中显现出的重要性。条件概率作为概率论的一个相当重要的概念，当然，它也是概率统计学中一个重要的难点，在概率论的整个知识体系中起着上下连贯的作用。通过本文对条件概率的研究分析，介绍了其相关的概念和公式，以及对其的一些新的解读，读者若能够熟练的掌握并理解条件概率的定义和其相关知识，对于他们之后进一步学习概率论的更深层次的问题是十分有帮助的。

参考文献：

[1]丁万鼎，等.概率论与数理统计[M].上海科学技术出版社，1999.

[2]张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报，2008，（3）.

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