直线与圆考查热点

解析几何是一门经典的数学分支，当我们还在乐此不疲地谈论着学习它的重要意义的时候，西方许多国家却不开设解析几何，这引起了我国数学教育专家的关注.原来，西方国家注重让学生掌握更多的具有时代气息的数学（如概率、向量）.我国把解几内容及教学要求作了适度的调整，高考中，淡化了对双曲线、抛物线的考查，明显地，直线与圆的“地位”上升了.

直线与圆的位置关系问题的研究方法，在解析几何中具有“承上启下”的作用.如今，这部分内容在高考中经常出现.一方面，直线与圆有许多平面几何性质，在研究它们之间的位置关系的时候，如果善于借助于平面几何知识，既能开阔思路，又能简化运算；另一方面，研究直线与圆的位置关系，又可以利用直线和圆的方程联立成方程组，通过对方程（组）解情况的研究来判断它们之间的位置关系，这种方法是研究直线与圆锥曲线位置关系的一般方法.

本文对直线和圆的常见问题和考查热点做了一些归纳整理，以期对同学们复习有所帮助.

一、直线与圆的位置关系的判断

例1 已知圆C：（x-3）2+（y+5）2=r2和直线l：4x-3y-2=0.

（1）若圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围；

（2）若圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围；

（3）若圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围.

解法1：与直线l：4x-3y-2=0平行且距离为1的直线为l1：4x-3y+3=0和

l2：4x-3y-7=0，圆心C到直线l1的距离为d1=6.圆心C到直线l2的的距离为d2=4.

（1）圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1r>4且r>6，∴r>6；

（2）圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1r>4且r=6，∴r=6；

（3）圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1r>4且r<6，∴4

解法2：设圆心C到直线l的距离为d，则d=5.

（1）圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1r-d>1，∴r>6；

（2）圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1r-d=1，∴r=6；

（3）圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1-1

例2 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 .

解：画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，该圆半径为2即圆心O（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离d<1，即0<|c|13<1，∴-13

二、阿波罗尼斯圆的应用

例3 已知点A（-3，0），B（3，0），动点P满足PA=2PB.

（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值，并求此时直线l2的方程.

解：（1）设点P的坐标为（x，y），

则（x+3）2+y2=2（x-3）2+y2，

化简可得（x-5）2+y2=16即为所求.

（2）如图，曲线C是以点（5，0）为圆心，4为半径的圆，则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则△CQM必为直角三角形，

QM=CQ2-CM2=CQ2-16，

当CQ⊥l1时，CQ取最小值.

由点线距离公式得：CQ=|5+3|2=42，

此时QM的最小值为32-16=4，

此时△CQM为等腰直角三角形，故这样的直线l2有两条，

即l2的方程是x=1或y=-4.

三、直线与圆的综合应用

例4 已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H.

（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围.

解：（1）线段AB的垂直平分线方程为x=0，线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0，所以外接圆圆心为H（0，3），半径为（-1）2+32=10，

⊙H的方程为x2+（y-3）2=10.

设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以d=10-1=3.

当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x=3为所求；

当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k（x-3），则|3k+1|1+k2=3，解得k=43，直线方程为4x-3y-6=0.

综上，直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.

（2）直线BH的方程为3x+y-3=0，

设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y），

因为点M是线段PN的中点，

所以M（m+x2，n+y2），

又M，N都在半径为r的⊙C上，

所以（x-3）2+（y-2）2=r2，（m+x2-3）2+（n+y2-2）2=r2.

即（x-3）2+（y-2）2=r2，（x+m-6）2+（y+n-4）2=4r2.

因为该关于x，y的方程组有解，

即以（3，2）为圆心，

r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，

2r为半径的圆有公共点，

所以（2r-r）2≤（3-6+m）2+（2-4+n）2≤（r+2r）2，

又3m+n-3=0，

所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对m∈[0，1]成立.

而f（m）=10m2-12m+10，

在[0，1]上的值域为[325，10]，

故r2≤325且10≤9r2.

又线段BH与圆C无公共点，

所以（m-3）2+（3-3m-2）2>r2对m∈[0，1]成立，

即r2<325.

故⊙C的半径r的取值范围为[103，4105）.

例5 已知圆M：x2+（y-2）2=1.Q是x轴上的动点.QA、QB分别切圆M于A，B两点.

（1）若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；

（2）求四边形QAMB的面积的最小值；

（3）若AB=423，求直线MQ的方程.

解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，

∴|2m+1|m2+1=1m=-43或0，∴切线QA、QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1.

（2）∵MA⊥AQ，∴SMAQB=MA·QA=QA=MQ2-MA2=MQ2-1≥MO2-1=3.

（3）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，

MP=1-（223）2=13，在Rt△MBQ中，MB2=MP·MQ，即1=13MQ，∴MQ=3.

设Q（x，0），则x2+22=9，x=±5，∴Q（±5，0），

∴直线MQ的方程为2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.

同学们在解直线和圆问题时还要注意以下两点：一是求圆切线时注意斜率不存在的情况，要注意判断直线和圆的位置关系；二是某些含有根式的方程只可转化为圆的一部分，注意阿波罗尼斯圆的应用.

（作者：吉俊杰，如皋市第一中学）