Abel环的一些刻画（Ⅱ）

周 颖，李 敏，魏俊潮

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

Abel环的一些刻画（Ⅱ）

周 颖，李 敏，魏俊潮*

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

给出Abel环的几个新刻画：1）R为Abel环当且仅当对任意e，g∈E（R），当eg=0时必有ge=0；2）R为Abel环当且仅当对任意e，g∈E（R），有|e∨g|≤3；3）R为Abel环当且仅当对任意e∈E（R），a∈N（R），当ae=0时必有ea=0；4）R为Abel环当且仅当对任意e，g，f∈E（R），当e=gf时必有e=fg.

Abel环；左min-Abel环；可交换的正则环；可交换的强正则环；强正则环

0　引言

本文中R表示有单位元的结合环.E（R），N（R）分别表示R的幂等元集合和幂零元集合.若R的每个幂等元是中心元，则称R 是Abel环.显然，交换环是Abel环.屈寅春等［1］通过多项式恒等式给出了一个环成为Abel环的条件.本文将从幂等元、幂零元及其势的角度给出Abel环的一些新刻画，并将其推广到相应的左min-Abel环上，同时给出强正则环的一个新刻画.

设a∈R，若Ra为R 的极小左理想，则称a为R的左极小元［2-4］.设e∈R，若e2=e为左极小元，则称e为R 的左极小幂等元，R的全体左极小幂等元构成的集合记作MEl（R）.若R的每个左极小幂等元f都是R的左半中心元，即对任意a∈R，有af=faf，则称R是左min-Abel环.若R的每个左极小幂等元f 都是R 的中心元，则称R 是强左min-Abel环［5］.若对任意a∈R，存在b∈R，使得a=aba，则称R 为von Neumann正则环［6］.若对任意a∈R，存在b∈R，使得a=a2b，则称R 为强正则环［7-9］.显然，R 为强正则环当且仅当R为Abel的正则环.若对任意x，y∈R，存在a∈R，使得xy=y xay x，则称R 为可交换的正则环［10］.若对任意x，y∈R，存在a∈R，使得xy=（yx）2a（yx）2，则称R 为可交换的强正则环［11］.显然，可交换的正则环是正则环，可交换的强正则环是强正则环.本文将证明可交换的正则环、可交换的强正则环和强正则环三者属于同一概念.

1　主要结果

易证一个环R为Abel环当且仅当对任意e∈E（R），有（1-e）Re=0当且仅当对任意e∈E（R），a∈R，有ae=eae.

定理1 R为Abel环当且仅当对任意e，g∈E（R），当eg=0时必有ge=0.

证明 ⇒：显然.

⇐：设e∈E（R），a∈R.记g=e+（1-e）ae，则eg=e，ge=g，g2=geg=ge=g∈E（R）.由于g（1-e）=0且g，1-e∈E（R），根据假设（1-e）g=0，有g=eg=e，从而ae=eae，因此R为Abel环.

类似于定理1，可给出左min-Abel环的一个刻画.

定理2 R为左min-Abel环当且仅当对任意e∈MEl（R），g∈MEl（R），当eg=0时必有ge=0.

证明 ⇒：设R为左min-Abel环且e∈MEl（R），则e是左半中心元，故ge=ege=0.

⇐：设e∈MEl（R），任取a∈R，记g=e+（1-e）ae，则eg=e，ge=g，g2=g∈MEl（R），故e（1-g）=0.由题设知（1-g）e=0，即g=ge=e，故ae=eae，由此可见e为左半中心元，R 为左min-Abel环.

若对任意e，g∈MEl（R），当eg=0时必有ge=0，那么R是否为左min-Abel环？

设R为一个环，a，b∈R，记a∨b=｛a2，ab，ba，b2｝，用|a∨b|表示集合a∨b的势.通过势的性质，定理3给出了Abel环的一个新刻画.

定理3 R为Abel环当且仅当对任意e，g∈E（R），有|e∨g|≤3.

证明 ⇒：设R为Abel环，则E（R）⊆Z（R），故对任意e，g∈E（R），有eg=ge，于是|e∨g|=|｛e，ge，eg，g｝|≤3.

⇐：设e，g∈E（R）且eg=0，下证ge=0.由于1-e，1-g∈E（R），故|｛（1-e）∨（1-g）｝|=|｛1-e，1-g，1-e-g，1-e-g+ge｝|≤3.现分下列6种情况进行讨论：

1）若1-e=1-g，则e=g，于是e=ee=eg=0，故ge=0；

2）若1-e=1-g-e，则g=0，故ge=0；

3）若1-e=1-e-g+ge，则g=ge，于是g=gg=geg=0，故ge=0；

4）若1-g=1-g-e，则e=0，故ge=0；

5）若1-g=1-g-e+ge，则e=ge，于是e=ee=（ge）（ge）=0，故ge=0；

6）若1-e-g=1-e-g+ge，则ge=0.

综上，有ge=0，故由定理1知R为Abel环.

类似地，将定理3推广到左min-Abel环上，得到定理4.

定理4 R为左min-Abel环当且仅当对任意e，g∈MEl（R），有|e∨g|≤3.

证明 ⇒：设e，g∈MEl（R），则e∨g=｛e，g，eg，ge｝.由于R 为左min-Abel环，故e是左半中心元.若eg=0，则ge=ege=0，故|e∨g|≤3；若eg≠0，则Reg=Rg，于是存在a∈R使得g=aeg，从而g=aeg=eaeg=eg，故|e∨g|≤3.综上，对于任意e，g∈MEl（R），有|e∨g|≤3.

⇐：设e∈MEl（R），a∈R，记h=（1-e）ae，则eh=0，he=h，h2=0.若h≠0，则Rh=Re.记e=ch，g=hc，则eg=0，h=he=gh，g2=g∈MEl（R）.记f=e+h，则ef=e，fg=eg+hg=0，gf=ge+ gh=ge+h，f2=f∈MEl（R）.由于|g∨f|≤3，故|｛g，f，ge+h，0｝|≤3.由于f，g都不为0且g≠f，故有g=ge+h，或f=ge+h，或ge+h=0.若g=ge+h，则h=gh=geh+h2=0，矛盾.若f=ge+h，则e=ef=ege+eh=0，矛盾，故ge+h=0.取m=e+2h，则me=m，em=e，m2=mm=mem=me=m∈MEl（R）.由于mg=eg+2hg=0，故g≠gm.又由g≠f，知m≠gm，否则e+2h=m=ge+2gh=ge+2h，于是e=ge=ege=0，矛盾，故m≠gm.由于|g∨m|=|｛g，m，gm，mg｝|≤3，所以gm=mg=0，从而g（e+2h）=0，即ge+2h=0.由于ge+h=0，因此h=0，矛盾，故对每个a∈R，有（1-e）ae=0，从而R为左min-Abel环.

定理5 R为Abel环当且仅当对任意e∈E（R），a∈N（R），当ae=0时必有ea=0.

证明 ⇒：显然.

⇐：设e，g∈E（R），eg=0.记h=ge，则h2=0，即h∈N（R）且hg=geg=0，故由题设知gh=0.又因gh=gge=ge=h，故h=0，即ge=0.由定理1可知，R为Abel环.

定理6 R为Abel环当且仅当对任意e∈E（R），a∈N（R），当ea=0时必有ae=0.

定理7 R为左min-Abel环当且仅当对任意e∈MEl（R），a∈N（R），当ea=0时必有ae=0.

证明 ⇒：设R为左min-Abel环，则对e∈MEl（R），e为左半中心元，故ae=eae=0.

⇐：记h=ae-eae，其中e∈MEl（R），a∈R，则he=h，eh=0，h2=0，即h∈N（R）.由题设知he=0，于是h=0，即ae=eae，故R为左min-Abel环.

将定理7的证明推广至强左min-Abel环，得到定理8.

定理8 R为强左min-Abel环当且仅当对任意e∈MEl（R），a∈N（R），当ae=0时必有ea=0.

定理9 R为Abel环当且仅当对任意e，g，f∈E（R），当e=gf时必有e=fg.

证明 ⇒：显然.

⇐：记g=ea-eae+e，其中e∈E（R），a∈R，则g2=g，eg=g，ge=e.由题设知e=ge=eg=g，从而ea=eae，故R为Abel环.

推论10 R为强左min-Abel环当且仅当对任意f∈MEl（R），e，g∈E（R），当e=gf时必有e=fg.

证明 ⇒：由于R为强左min-Abel环，故f是中心元.

⇐：记g=ea-eae+e，其中e∈MEl（R），a∈R，则g2=g，eg=g，ge=e.由题设知e=ge=eg=g，从而ea=eae，即e是右半中心元，故R为强左min-Abel环.

命题11 可交换的正则环是Abel环.

证明 设R为可交换的正则环，e∈E（R）.任取a∈R，记h=（1-e）ae，则he=h，eh=0，h2=0.由于R是可交换的正则环，故存在x∈R，使得h=he=（eh）x（eh），从而h=0，即（1-e）ae=0，因此R 为Abel环.

由于Abel的正则环是强正则环，故有以下推论.

推论12 可交换的正则环是强正则环.

命题13 强正则环为可交换的强正则环.

证明 设R为强正则环，则对任意x，y∈R，有xy=xyaxy，x=xbx，y=ycy，其中a，b，c∈R.由于R为强正则环，故R为Abel环.假设e1=xya=axy∈E（R），e2=xb=bx∈E（R），e3=yc=cy∈E（R）.显然，y=ye3，x=e2x，从而xy=xyaxy=xye3ae2xy=e3xyaxye2=ycxyaxybx=yce2xyaxe3ybx=ye2cxyaxybe3x=y xbcxyaxybcyx=yxbcxybcy x=yxbcxe2ye3bcy x=yxycbcxybcbxyx=yxycbcxe2ye3bcbxyx=yxyxbcbcxybcbcyxyx=（yx）2bcbcxybcbc（yx）2，故R为可交换的强正则环.

由于可交换的强正则环是强正则环，故有下面的推论.

推论14 R为强正则环当且仅当R为可交换的强正则环当且仅当R为可交换的正则环.

［1］屈寅春，周颖，魏俊潮.Abel环的一些刻画 ［J］.扬州大学学报：自然科学版，2012，15（4）：5-7.

［2］WEI Junchao.The rings characterized by minimal left ideals［J］.Acta Math Sinca Engl Ser，2005，21（3）：473-482.

［3］WEI Junchao.Certain rings whose simple singular modules are nil-iniective［J］.Turk J Math，2008，32（3）：393-408.

［4］WEI Junchao.MC2 rings［J］.Kyungp Math J，2008，48（4）：651-663.

［5］WEI Junchao.On simple singular YJ-iniective modules［J］.Southeast Asian Bull Math，2007，31（4）：1009-1018.

［6］RAMAMURTHI V S.On the iniectivity and flatness of certain cyclic modules［J］.Proc Ammer Math Soc，1975，48（1）：21-25.

［7］REGE M B.On von Neumann regular rings and SF-rings［J］.Math Japan，1986，31（6）：927-936.

［8］WEI Junchao.Generalized weakly symmetric rings［J］.J Pure Appl Algebra，2014，218（7）：1594-1603.

［9］QU Yinchun，WEI Junchao.Rings whose nilpotent elements form a lie ideal［J］.Stud Sci Math Hung，2014，51（2）：271-284.

［10］SAFARI S A，FARMANI S M，KARAMI M.Strongly commuting regular rings［J］.J Basic Appl Sci Res，2013，3（1）：1078-1081.

［11］YAMIN A H，SAFARI S A.Commuting regular rings［J］.Int J Appl Math，2004，14（4）：357-364.

Some characterizations of Abelian rings（Ⅱ）

ZHOU Ying，LI Min，WEI Junchao*
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

In this paper，some new characterizations of Abelian rings are given：1）R is an Abelian ring if and only if for each e，g∈E（R），eg=0 always implies ge=0；2）R is an Abelian ring if and only if for each e，g∈E（R），|e∨g|≤3；3）R is an Abelian ring if and only if for each e∈E（R），a∈N（R），ae=0 always implies ea=0；4）R is an Abelian ring if and only if for each e，g，f∈E（R），e=gf always implies e=fg.

Abelian ring；left min-Abel ring；commuting regular ring；strongly commuting regular ring；strongly regular ring

O 153.3；O 154

A

1007-824X（2015）01-0001-03

（责任编辑 林 子）

2013-11-04.*联系人，E-mail：icweiyz@126.com.

国家自然科学基金资助项目（11471282，11171291）；江苏省高校自然科学基金资助项目（11KJB110019）.

周颖，李敏，魏俊潮.Abel环的一些刻画（Ⅱ）［J］.扬州大学学报：自然科学版，2015，18（1）：1-3，8.