一类特殊的二阶常系数非线性微分方程的解法

殷久利

摘要：本文给出一类特殊二阶常系数非线性微分方程的定性解法。通过对零点分布的分析，证明了该类方程具有周期解，衰减解以及扭结解。本文的研究对高等数学的教材也是一种有益补充。

关键词：零点分布;周期解;衰减解;扭结解

中图分类号：O13     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）35-0167-02

常微分方程求解是高等数学教学过程中一项重要的任务。在许多实际的生产工作中，往往不能直接找到所需要的函数关系，而是根据不同的实际问题可以列出相对应的微分方程[1-3]。由于实际问题的差异，列出的微分方程也有很大差别，因此研究不同类型方程解的问题就研究尤为重要了。在高等数学的教材中，没有出现下列形式的微分方程

=ay +by +cy？摇 （1）

其中a，b，c是任意常数。显然，对于该类方程的显式解是很难研究的，因此本文研究目的是通过定性分析研究该类方程的解问题。

方程（1）两边乘以y′后积分得到：

y′ = y + y +cy +c （2）

整理后得到：

y′ = y （y + y+ c）+c （3）

为了进一步分析方程（3），我们要借助于一些对微分方y  =F（x）已有的结果[4]：

（a）若F（x）在y=m处有一个简单零点，即F（m）=0，F′ （m）≠0，则解在x→x 时有y（x）=m+ （x-x ） F （m）+O（（x-x ） ），？摇其中y在x=x 处取极值m。

（b）若F（y）在y=m处有一个二重零点，即F（m）=0，F′ （m）=0，F″ （m）≠0，则解在x→∞时有y（x）-m=ηexp（-x ），且当x→∞时y→m。

利用上述结果，我们很容易得到以下结论：

若满足F（y）>0和y

（1）如果函数F（y）具有两个简单零点y 和y ，那么微分方程具有周期解。

（2）如果函数F（y）具有一个简单零点y 和一个二重零点y ，那么微分方程具有一个衰减解。

（3）如果函数F（y）具有一个二重零点y 和一个二重零点y ，那么微分方程具有一个扭结解。

下面研究P（y）= y （y + y+ ）的零点分布，本文只讨论a>0的情况。利用韦达定理以及根与系数的关系，可以得到函数P（y）= y （y + y+ ）的9种图形以及相应的参数条件。

注意到P（y）= y （y + y+ ）的图像的向上或者向下平移能够得F（y）= y （y + y+ ）+c 的图像。因此我们可以得到微分方程y′ =F（y）= y （y + y+ ）+c 的解具有以下几种情况：

1.若c>0，则微分方程的解为：（i）当b>0时，方程有负周期解（c <0）;方程有负衰减的解（c =0）;方程除了常数解没有其他形式解（c >0）。（ii）当b=0时，方程除了常数解外无解。（iii）当b<0时，方程有正周期解（c <0）;方程有正衰减的解（c =0）;方程除了常数解没有其他形式解（c >0）。

2.若c=0，则方程除了常数解没有其他形式解。

3.若c<0，则方程y′ =F（y）的解为（i）当b>0時，方程除了常数解外没有其他形式解（c ≤0）;方程有周期解，正衰减解和负衰减解（c >0）;（ii）当b=0时，方程除了常数解没有其他形式解（c ≤0）;方程有周期解和扭结解（c >0）;（iii）当b<0时，方程除了常数解没有其他形式解（c ≤0）;方程有负周期解和负衰减解（c >0）。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]罗梭M.常微分方程[M].叶彦谦，译.上海：上海科学技术出版社，1981.

[3]时宝，张德纯，盖明久.微分方程理论及其应用[M].北京：国防工业出版社，2005.

[4]J. Lenells，Travelling wave solutions of the Camassa–Holm equation，J. Differential Equations[J].2005，（217）：393-430.