提高思维含量 深化数学思考

刘发昌 张冬兰

摘要：“数学思考”是数学课程四大目标之一。教师要引领学生经历“数学思考”的探索活动，就得提高“问题”、“材料”、“操作”、“习题”的思维含量，使学生学会数学思考，养成数学思考的习惯。

关键词：思维含量；数学思考

中图分类号：G623.5 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2015）05-0235-02

现代教育理念把“数学思考”列入数学课程四大目标之一。《数学课程标准》总目标中指出：“学生能运用数学的思维方式进行思考”。在专项目标中对“数学思考”作了具体阐述：建立数感、符号意识和空间观念……学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。用著名学者郑毓信教授的话来讲，数学教学就是通过数学学习，引导学生学会数学思维，引导学生学会数学思考。作为教师，应透过“热闹”的表面对课堂进行理性分析，努力提高课堂教学的思维含量，深化学生的数学思考。

一、提高“问题”思维含量，引发数学思考

问题是数学的“心脏”，是课堂教学的“课眼”，也是课堂教学的主线。有效的问题具有引领、导向的作用。而问题的有效性很大程度就是看它含有多少数学思考的内涵，能否引发不同层次学生的数学思考。例如，教学“三角形三边关系”时，我将导入问题情境稍作改编：

两个问题情境都直接指向数学知识的本质：不同走法的路线围成三角形，不同走法的路程分别是三角形的一条长边和另两条短边之和，这样的情境有利于引导学生将“路程问题”抽象成“三角形三边关系”问题，启发学生对“三角形三边长度关系”的思考。

进一步分析对比，我们发现改编后的问题情境思维含量更高。第一，外延大。两个核心问题：走哪条路最近？走哪条路最远？迫使学生进行两次比较：第一次是大三角形的长边与两条短边之和作比较；第二次是小三角形的长边与两条短边之和作比较。通过一大一小两个三角形的呈现，学生必然思考：是不是所有三角形三边之间都存在这样关系呢？渗透从具体到一般的数学思想方法。第二，问域宽。照顾到不同层次学生差异发展。思维水平较低的学生会思考“走哪条路最近”的问题，而思维水平较高的学生还能思考“走哪条路最远”问题，通过汇报交流产生思维碰撞，使不同层次学生都能得到不同的发展。第三，挑战性强。原情境中的问题，学生凭生活经验或视觉直觉（直路最近）就能即问即答。而改编后的问题，学生必须通过独立思考或同伴互助才能做出相应的回答。

可见，“问题”思维含量的高低，决定学生数学思考的广度和深度。提高“问题”思维含量，应抓住数学的本质，使问题直接指向教学中的主要矛盾，可以从知识的连接点、教学的重难点、学生疑惑点、数学思想的聚焦点等方面设问，丰富问题内涵，拓宽问题的外延，实现以“问”引思，激发不同层次的学生进行独立思考。

二、提高“材料”思维含量，促进数学思考

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学知识具有高度抽象性和概括性，而小学生以形象思维为主，其认知活动需要直观材料作支撑。合理开发、精心制作学具材料要以思维含量的高低为衡量标准。例如，“三角形的三边关系”这课，书中展示的学具材料是三组不同长度的“纸条”。仔细分析，用“纸条”围三角形，探索三边关系有一定的局限性。请看我自制的学具材料：

①黑线段：

②红线段：

制作方法：分别用红黑句号笔在有刻度的透明软垫板沿边画线段，根据需要的长度剪成长条形。

并引导学生对“材料”进行如下剪拼：

1.剪一剪：

①拿出两条黑线段，引导思考：围成三角形要3条线段，只有2条怎么办？（生：剪其中一条）

②为了研究方便，只剪整厘米数，记住自己剪的是长线段还是短线段？

2.围一围：注意端点相连，围在展板上，用磁扣扣好，看是否围成了三角形？

3.再剪围：拿出红线段剪，要求：如果刚才剪长（短）线段，这次剪短（长）线段。

4.展一展： ……

不管是纸条还是线段，其目的都是为了生成“围成”与“围不成”素材，为进一步观察、探究提供物质基础。但自制的学具材料具有独特、丰富的数学内涵。第一，动态化。原材料的数据是给定的、固定的，而自制的材料通过学生动手剪，动态生成不同的数据，因此也比原材料更加开放。第二，精细化。原材料是纸条，改编后是线段。在实际操作中，因纸条有一定的宽度，当它们的长为5、7、12这种情况时，很难用眼睛看出“围不成”的现象，而线段精确、细小，减小了误差，避免了视觉上的错觉。第三，隐含数形结合思想。自制的线段是画在有刻度的软垫板上，数形结合，学生很容易从数据上去分析“围成”与“围不成”的原因。

可见，运用于数学操作的材料不同于工艺材料，不追求外表华丽，而讲究“数学味”。提高“材料”的思维含量，应从知识内容特点，可操作性、数学思想、教学细节等多方面考虑，使得通过材料的操作推动学生进行分析、综合、比较、抽象、概括，深刻理解知识的本质意义。

三、提高“操作”思维含量，学会数学思考

数学课堂，要引领学生亲身经历将操作经验内化为数学经验，就得充分调动学生的手和脑，手脑并用，让外显的动作与内隐的思维紧密结合，使操作活动成为思维的动作和动作的思维。

例如，“平行四边形面积”的教学，开始学生所暴露出来的原生态思维是：底×邻边=平行四边形面积，学生很难想到将它沿高剪拼成长方形来计算的转化方法。为了突破这一难点，我引领学生进行如下操作、思考：

1.拉一拉。

①实践：捏住平行四边形模型的两个对角，往外拉一拉。

②想象：如果把每次拉动后的平行四边形拍下来，比较这几个平行四边形，什么没有发生变化？什么发生了变化？

③交流：（媒体呈示拉动后的平行四边形图形）

……

生1：周长没有变。

生2：底和邻边长度不会变。

生3：面积变小了。

师追问：既然面积变了，那你们刚才的猜想：底×邻边=平行四边形面积，还成立吗？

2.作高。

①实践：在作业纸上分别作出它们的高，观察高有什么变化？

……

②思考：面积为什么变小？面积的大小可能与平行四边形的什么有关？

生1：平行四边形面积可能与高有关。

生2：平行四边形面积可能等于底乘高。

……

3.计算。

师：想办法计算平行四边形的面积，验证你的猜想。

……

案例中，我抓住了知识的生长点，顺着学生思维开展操作活动。在操作中，通过启发想象、组织交流、点拨追问，学生很快发现自己所想的与操作结果不一样，思维产生矛盾冲突。此时学生处于“心求通而未得，口欲言而未达”的愤悱状态。再引导学生分别作出它们的高，观察拉动平行四边形过程中高的变化规律，学生自然调整猜想：平行四边形的面积可能与底和高有关系。再让学生计算平行四边形的面积时，由于学生只学过长方形的面积计算，学生想到“沿高剪拼成长方形”来计算，可谓是水到渠成了，学生不仅“知其然而且知其所以然”。

提高“操作”思维含量，教师应准确把握教学难点，加强操作前、操作中、操作后的启发、点拨、交流活动，使操作活动始终与数学思考有机结合，通过动态操作引发学生的认知冲突，实现以操作启迪思维，以思维引领操作。

四、提高“习题”思维含量，内化数学思考

习题与例题一样，既承载巩固知识、形成技能的功能，也有为学生积累基本的活动经验、明晰数学基本思想、锻炼思维的价值。但长期以来，因习题以静态的测试形式呈现，许多教师、学生仅满足“做题”的层面，使得习题功能弱化，教材意图不能凸显。

提高“习题”的思维含量，就是要透过“做题”表面，挖掘习题背后隐藏的思维内涵为学生所用，通过习题内化学生的数学思考，发展学生思维。

教学中，我不再停留在就题论题的层面上，而是通过有序呈现和巧设不完整结构，给学生提供更广阔的探索、思考空间，不仅深化乘法意义的理解，还培养学生的分析能力和估算意识。

《新课程标准》指出：“独立思考、学会思考是创新的核心”。没有数学思考，就没有真正意义的数学学习。教师要引领学生经历“数学思考”的探索活动，就得提高“问题”、“材料”、“操作”、“习题”的思维含量，使学生学会数学思考，养成数学思考的习惯。