小学数学教师要学点逻辑知识

冯回祥

小学数学教师为什么要学点逻辑知识？因为数学教学就是数学思维教学，其关键就是让学生掌握概念、判断和推理的方法，提高学生的思维能力。作为教师，对数学知识、数学问题不仅要知其然，还要知其所以然，这也是对教师的专业要求。同时，学习逻辑是信息时代的需要，面对各种各样的信息，需要人们正确地进行判断和推理，作出决策。最后，良好的逻辑思维是形成批判性思维的核心基础。如果一个人的逻辑思维较差，要他具备批判性思维那是不现实的。因此，要培养学生的批判性思维，教师自己必须具备批判性思维的素养，那么掌握一定的逻辑知识就成为了必然。

普通逻辑学涉及到的内容和方法较为广泛，需要系统的学习。根据小学数学教学的实际需要，笔者认为，在以下几个方面要重点学习。比如了解什么是逻辑学，什么是思维。其中比较重要的是了解思维最基本的三种形式：概念、批判和推理。

第一，了解什么是概念。概念是反映事物本质属性的思维形式。

属性，分本质属性和非本质属性。本质属性是指能与其他事物相区别的属性；非本质属性不是事物独有的属性。例如，“有一个公共端点的两条射线组成的图形”是“角”这个事物独有的属性，即“角”的本质属性。由这个属性可以把“角”和其他图形区别开。但“位置的不同”却不是“角”所独有的，是“角”的非本质属性。

概念的内涵与外延。内涵是指一个概念所概括的思维对象本质属性的总和。外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围，它是一些具体的事物。例如：“商品”这一概念的内涵是，为了交换而生产的劳动产品。而这个概念的外延是市场上的汽车、房子、食品等等。又如：“质数”的概念的内涵是，“只有1和它本身两个因数”，它的外延是2，3，5，7等一切具体的质数。概念的内涵与外延是概念质和量的两个方面。了解概念的内涵与外延，对于人们正确地理解概念、准确地运用概念，具有重要意义。若我们掌握了某一概念的内涵与外延，则这个概念就是明确的；反之，就是对这一概念没有掌握或没有完全掌握。因此，掌握一个概念的内涵与外延的程度是衡量我们对概念明确到什么程度的标准。由于概念的种类较多，概念间也存在着许多关系，需要我们慢慢去了解。

怎样给概念下定义，下定义时必须遵守哪些规则？

一是定义的内涵。定义是通过简明的陈述以揭示概念内涵或外延的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映事物的本质属性来明确概念的逻辑方法。

例如：（1）一个数中每一个数字所占的位置叫做数位。

（2）“≥”叫做大于或等于号。

定义由被定义项、定义项和定义的联项三部分组成。

被定义项，是需要加以说明的概念。如上例中“数位”和“≥”。

定义项，是用来明确被定义项的概念。如上例中“一个数中每一个数字所占的位置”和“大于和等于的符号”。

定义联项，是用来联合被定义项和定义项的语词。如上例中的“叫做”。

二是定义的方法。定义的方法有多种，与小学数学相关的有：

属加种差法。在给一些具有属种关系的种概念下定义时，首先指出被定义的概念最邻近的属概念是什么，再确定在这个属里它与其他种概念的差别（简称“种差”），从而对概念下定义，通常把这种定义方法叫属加种差法。其结构是：邻近的属概念+种差=被定义概念。例如：两组对边分别平行（种差）的四边形（属）叫做平行四边形（被定义概念）。

属加种差法所下的定义一般不是唯一的，在同一数学体系中一般只能采用一个定义，其他可以由所给的定义推出，作为性质定理处理。

外延定义法。在给一个已知各个种概念下定义时，通常列出这些种概念给这个属概念下定义，这种定义方法称为外延定义。

例如：（1）有理数和无理数统称为实数。

（2）整数和分数统称为有理数。

约定式定义法。根据数学上某种特殊需要，通过约定的方式来下定义。例如：为了实际计算的需要，规定a×1=a，a×0=0，0/a=0（a≠0），a/1=a。约定式定义所作的规定，都不是凭主观臆造的，而是以符合客观规律为基础的。

三是定义的规则。给概念下定义有严格规则，否则就会犯逻辑错误。

规则一，定义应当是相称的。这就是说定义项的外延与被定义项的外延应当全同，违反这一规则就犯了“定义过宽”或“定义过窄”的逻辑错误。例如：（1）无限小数是循环小数（定义过宽——定义项的外延大于被定义项的外延）；（2）四边和四角皆相等的四边形叫做矩形（定义过窄——定义项的外延小于被定义项的外延）。

规则二，定义不应当是循环的。这是说在给概念下定义时，不能用被定义项来说明自己。违反这一规则就犯了“循环定义”的逻辑错误。例如：乘法是几个数相乘的方法。

规则三，定义应当简单明确。这就是说定义项应当明白、确切，不应含糊不清，也不能用比喻。违反这一规则就犯了“定义不清”或“以比喻代定义”的逻辑错误。例如：（1）正方形是有规则的四边形。（2）像足球那样的几何体叫球。

规则四，定义一般不采取否定式。这条规则的要求是除了给否定概念下定义以外，定义项一般不用否定概念，也不用否定判断下定义。违反这条规则就犯了“定义否定”的逻辑错误。例如：梯形是非两组对边平行的四边形。

第二，什么是判断。人们建立了许多概念以后，就可以应用这些概念去判定客观事物的情况。对客观事物有所判定的思维形式叫做判断。判定事物具有某种属性，是肯定；判断事物不具有某种属性，是否定。例如：正方形是特殊的长方形为肯定；梯形不是平形四边形是否定。判断可分为简单判断和复合判断两种。

1.简单判断，是指不包含其他判断的判断。这种判断又分为两种：（1）性质判断，是判定事物具有或不具有某种性质的判断。例如：“3是奇数”，“有些自然数不是偶数”，“所有分数都能化成小数”，这都是性质判定。（2）关系判断，是指判定事物间关系的判断。例如：有的角大于直角；[2]大于1 。

2.复合判断，是包含其他判断的判断。这种判断包含几种情况：（1）联言判断，是判定几种事物情况共存的判断。例如：1既不是质数，又不是合数。（2）选言判断，是判定可能有的几种事物情况的判断。例如，这个数被4除余数是0，或是1，或是2，或是3；一个自然数要么是偶数，要么是奇数，（3）假言判断，是判定一种事物情况为另一种事物情况的条件的判断。如，如果a×b=1，那么a和b成反比例；只有x≠0时，才能使1/x有意义。（4）多重复合判断，是由复合判断组成的判断。如，7248的末尾数8能被2整除，而不能被5整除，所以7248是2的倍数而不是5的倍数。

第三，什么是推理。即由一个或几个已知的判断（命题），推出一个新的判断（命题）的思维形式。例如：

（1）∵长方形的面积=长×宽，长方形的长是5厘米，宽是3厘米。

∴长方形的面积是5×3=15（平方厘米）。

（2）由3×4=12

33×34=1122

333×334=111222

……

推出一般结果：

推理包含前提和结论两个部分。前提是已知的判断，是推理的出发点和根据。结论是由前提而推出新的判断，是推理的结果。由于结论是由前提推断出来的新判断，因此，在推理中有“推出关系”，没有推出关系的一些判断的堆积，不是推理。例如：（1）偶数2是质数，所以有的偶数是质数；（2）5是自然数，7是自然数；（3）所有自然数是整数，2+5>6，3是质数。其中例（1）有推理关系，可以组成推理（当然是个错误的推理），例（2）不具有推理关系，例（3）几个判断之间没有逻辑关系，所以他们不能组成推理。

判断具有真假性，因此由已知判断推出的新判断（即推理）也有真假性。一般来说，“如果前提为真，推理正确，结论也必然为真；如果前提为真，推理错误，结论就可真可假；如果前提为假，推理正确，结论也可真可假”。从一个前提出发，经过某种推理，得出一个假的判断，那么可以判断前提为假，或者推理错误。例如：

（1）∵有些奇数是9的倍数，有些质数是奇数

∴有些质数是9的倍数

（2）∵130÷50=13÷5 13÷5=2……3

∴ 130÷50=2……3

例（1）（2）尽管前提都是真实的，但由于推理不合乎逻辑规则和逻辑规律，因此得到的结论是错误的。

推理这种思维形式有重要的作用，它是我们获取新知识（间接地）以及说明和论证问题的重要手段。

首先，推理是人们根据已知推未知，扩充知识的重要方法。小学数学中的很多规律、性质和法则等都是通过推理的思维形式得到的。例如：如图，比较[34]、[68]、[912]的大小。

从图中可以看出：[34]=[68]=[912]

再运用这个判断进行推理，可得：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

其次，推理是解答、论证问题的重要手段。

综上不难看出：概念是组成判断的要素，判断则是概念的继续和展开，是对概念的说明。判断是组成推理的成份，没有判断，就不会有推理，就不会对事物有所判定，也就谈不上认识客观世界。

学习逻辑知识，掌握逻辑方法，提升自身的综合素养，是时代对我们的要求。高素质的教师，是培养和发展学生的思维能力和创新意识的重要基础，也是提高教育质量的基本保障。

（作者单位：华中科技大学附属小学）

责任编辑 严 芳