2015年高考导数压轴题解题探究

2015-12-07 02:22孙丽娟
新课程·中学 2015年10期
关键词:切线实数最值

孙丽娟

【考点介绍】

1.导数与函数单调性、极值、最值的直接应用.

2.交点与根的分布.

3.不等式证明:(1)作差证明不等式;(2)变形构造函数证明不等式;(3)替换构造不等式证明不等式.

4.不等式恒成立求字母范围(“两分法”):(1)恒成立之最值的直接应用;(2)恒成立之分离参数;(3)恒成立之讨论字母范围.

5.导数与函数性质的综合运用.

6.导数与三角函数结合.

【常用结论记忆】

1.sin x

2.ex>x+1,x>0.

3.x>ln(x+1),x>0.

4.ln x0.

【例题讲解】

(一)导数与函数单调性、极值、最值的直接应用

(最值间接应用)已知二次函数g(x)对?坌x∈R都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1,设函数f(x)=g(x+ )+mln x+ (m∈R,x>0).

(1)求g(x)的表达式.

(2)当m=e时,求曲线f(x)在点(e,f(x))处的切线方程及函数f(x)的单调区间.

(3)若?埚x∈R+,使f(x)<0成立,求实数m的取值范围.

(4)若x∈(0,+∞),f(x)≤0恒成立,求实数m的取值范围.

(5)设1

(6)若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

(二)交点与根的分布

(交点个数与根的分布)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.

(1)求a.

(2)求函数f(x)的单调区间.

(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.

(4)已知函数g(x)=f(x)-16ln(1+x)- x3+(m2+9)x有三个互不相同的零点0、x1、x2,且x1f(1)恒成立,求m的取值范围.

(三)不等式的证明(作差法、变形构造函数法、替换构造函

数法)

(最值、作差、变形构造函数、替换构造函数)已知函数f(x)=

ln(x+1)-x.

(1)求函数f(x)的单调递减区间.

(2)若x>-1,求证:1- ≤ln(x+1)≤x.

(3)已知函数g(x)=(a+1)f(x-1)+ax2+x,设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),g(x1)-g(x2)≥4x1-x2,求a的取值范围.

(4)证明:1+ + +…+ >ln(n+1)> + +…+ + .

(四)不等式恒成立求字母范围

1.(直接法)已知函数f(x)=x+ +b(x≠0),其中a,b∈R.

(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式.

(2)讨论函数f(x)的单调性.

(3)若对于任意的a∈[ ,2],不等式f(x)≤10在[ ,1]上恒成立,求b的取值范围.

2.(分离常数,二阶导数)已知函数f(x)=ex- -ax-1(其中a∈R,

e为自然对数的底数).

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程.

(2)当x≥1时,若关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

(3)当x≥0时,若关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

3.(分离常数)已知函数f(x)= (x>0).

(1)试判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明你的结论.

(2)若f(x)≥ 恒成立,求整数k的最大值.

(3)求证:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3.

4.(分离常数,取对数)已知函数f(x)=ln2(1+x)- .

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)若不等式(1+ )n+a≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值.

5.(分离参数,分类讨论)已知函数f(x)= + 在点(1,

f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.

(1)求a,b的值.

(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)> + ,求k的取值范围.

(五)导数与函数的综合应用

已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)= .

(1)求a,b的值.

(2)不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的范围.

(3)方程f(2x-1)+k( -3)=0有三个不同的实数解,求实数k的范围.

(六)导数与三角函数结合

已知函数f(x)=x,函数g(x)=λf(x)+sin x是区间[-1,1]上的减函数.

(1)求λ的最大值.

(2)若g(x)

(3)讨论关于x的方程 =x2-2ex+m的根的个数.

编辑 韩 晓

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