甘淑清
在三类圆锥曲线当中,双曲线的问题是最复杂,也是变化最灵活的。双曲线的问题,要求我们在解题时,密切注意双曲线的一些易错点。就可化难为简,以下几个问题,就是双曲线问题中需要时刻注意的。
一、求双曲线方程的步骤:先定型,再定位,后定量
其实,在求任何一类圆锥曲线方程的时候,我们都要遵循以上方法,先定型就是要求我们根据圆锥曲线的定义,判断出曲线类型是椭圆还是双曲线,或者是抛物线,特别在双曲线的定义中,平面内到两定点F1,F2距离之差的绝对值为常数2a,即PF1-PF2=2a(2a
例1.已知⊙A∶x2+(y-2)2=4,动圆N恒过定点B(0,-2)且恒与⊙A相外切,求动圆心N的轨迹方程。
解:根据题意,可知,圆心距=R+r
即NA=2+r=2+NB,得到NA-NB=2 N轨迹为以A、B为焦点的双曲线的下支,设双曲线方程为 - =1 有定义得到2a=2,2c=4故b2=3 双曲线方程为y2- =1(y≤1) (注:本题初学者在解题时容易犯两个错误,一为判断焦点位置,不少同学总是习惯于设出焦点在x轴的双曲线,导致方程形式的错误,二为需要注意本题得到的并不是整条双曲线,而只是它的一支,需画出草图,以便正确地取舍。) 二、双曲线的第二定义的准确理解 双曲线的第二定义为:平面内到定点F距离与到定直线l的距离之比为常数e-(e>1)的点的轨迹为双曲线。关于第二定义,教材并未特别强调顶点F不在定直线l上的限制,其实这个限制相当有必要,否则其轨迹为两条直线(除定点F)。 如上图:当F在直线l上时,定点P轨迹为两条直线,它们与直线l的夹角θ满足sin θ= ,可知,P在这两条直线上移动的时候,满足定义,关于第二定义,经常在选择题中考查类似这样的问题。 例2.平面直角坐标系中,点P(x,y)满足 =x-y-2,则P的轨迹为( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.两条直线 解:方程可变形为 = · ,即P点到定点F(1,-1)的距离与它到直线l∶x-y-2=0的距离之比为定值 >1,但需要注意F在直线l上,故不可选择双曲线,应为两条直线。 三、最短焦点弦问题 我们知道,椭圆中最短的焦点弦为经过焦点且垂直于长轴的弦(即通径,长度为 ,证明略),但是双曲线中,求最短的焦点弦长时,需要比较通径与实轴,当直线与双曲线交于两支时,最短的焦点弦为实轴。当直线与双曲线交于同一支时,最短的焦点弦为 通径。 例3.双曲线x2- =1右焦点为F,过F且弦长为7的直线有几条? 解:如上图实轴长AB=2a=2,通径长为CD= =6,由对称的关系,可知弦长为7的直线有4条,其中两条交于双曲线右支,另外两条交于两侧,我们还能总结出以下结论:若焦点弦长d 四、焦半径公式的使用 和椭圆一样,双曲线焦半径公式也是由第二定义推倒得出的,但双曲线的焦半径公式有较多的情况分类,因此,运用焦半径公式之前,一定要分清直线与双曲线是交于左支还是右支,或者两支各有一个交点,正确地使用焦半径公式最为重要。 例4.双曲线x2- =1焦点分别是F1,F2,过左焦点F1斜率 为直线l与双曲线交于A、B两点,求△ABF2周长。 解:(本题不少同学未考虑直线与双曲线的位置关系,误以为直线与双曲线两个交点均在左支,在求AB弦长时就会错误地用焦半径表达,最终无法得到正确答案。) 由于渐近线y=± x,比较斜率易知直线l与曲线交于两支,故周长C=AB+BF2+AF2 =AF1-BF1+BF2+AF2 =(a+exA)-(-a-exB)+(a-exB)+(exA-a) =2a+e(xA+xB)+e(xA-xB)=2+2(xA+xB)+2(xA-xB) x2- =1y= (x+2)联立得到8x2-4x-13=0, 得到xA+xB= ,xA-xB= 代入可知周长为3+3 。 双曲线问题虽然形式多样,变化灵活,要准确地把握其知识内容,还是要从基本定义入手,理解定义,做到“咬文嚼字”,另外结合图形特点,遇到直线与其交点的问题,一定要根据与渐近线进行斜率比较,以确定交点位置。很多看似疑难的易错问题就可以迎刃而解。 编辑 谢尾合