曹群林
题目 函数f(x)= + 的值域是 .
(2013年全国高中数学联赛江西省预赛第6题)
解法1 三角换元
因为f(x)= · + ,x∈[2,3],xmax= + =2,
所以x-2∈[0,1],3-x∈[0,1].
又因为(x-2)+(3-x)=1,
所以不妨设x-2=sin2α,3-x=cos2α,α∈[0, ].
则f(x)= sinα+cosα=2sin(α+ ),
因为α∈[0, ],所以α+ ∈[ , ],
所以sin(α+ )∈[ ,1],即2sin(α+ )∈[1,2].
故f(x)的值域是[1,2].
解法2 代数换元
依题意,不妨设 =u, =v,则u∈[0,1],v∈[0,1],易知 +v2=1.
这就转化成了约束条件为 +v2=10≤u≤10≤v≤1,目标函数为z=u+v的线性规划问题.
其可行域为椭圆 +v2=在u轴上方且满足u∈[0,1]的部分,沿初始直线u+v=0往上平移,z的值越来越大.易知平移直线首先与可行域相交于点(0,1),所以zmin=0+1=1;
当直线平移至最后与可行域相切时,易求得切点坐标为( , ),所以zmax= + =2.
故f(x)的值域是[1,2].
解法3 求导
因为f(x)=(3x-6) +(3-x) ,x∈[2,3],ymax=2
所以f ′(x)= (3x-6) - (3-x) = ,
令f ′(x)=0,即3 - =0,解得x= .
当x∈(2, )时,f ′(x)>0;当x∈( ,3)时,f ′(x)<0.
所以f(x)在区间(2, )上递增,在区间( ,3)上递减,
所以f(x)在x= 处取得唯一的极大值,同时也取得最大值,
则f(x)max=f( )= + =2,
又因为f(2)=1,f(3)= ,所以f(x)min=f(2)=1.
故f(x)的值域是[1,2].
解法4 构造概率分布列
已知y= + ,x∈[2,3],a= ,b= ,则y=3a+b.
由题意可构造随机变量ξ的概率分布列为:P(ξ=a)= ,P(ξ=b)= ,
则Eξ=a· +b· = ,Eξ2=a2· +b2· = = .
因为Dξ=Eξ2-(Eξ)2≥0,
所以Dξ= -( )2= - = .
又因为a-b= - 在[2,3]上单调递增,
所以-1≤a-b≤ ,则(a-b)2≤1,
从而0≤Dξ= -( )2≤ ,即1≤y2≤4.
又因为y= + ≥0,所以1≤y≤2.
当x=1时,ymin=1;当x= 时,ymax=2.
故f(x)的值域是[1,2].
编辑 韩 晓