一类具有n阶转向点的大参数奇摄动方程的特征值问题



一类具有n阶转向点的大参数奇摄动方程的特征值问题

史娟荣1,2

(1.安徽师范大学数学与计算机学院，安徽芜湖241003；2.安徽机电职业技术学院,安徽芜湖241002)

摘要：讨论一类具有n阶转向点的大参数奇摄动方程的特征值问题。首先，利用一个特殊的变换将原具有n阶转向点的大参数问题转化为便于讨论的问题；其次，求得了用特殊函数表示的渐近解，并研究所得到解的性态，指出了该解为具有n阶转向点的大参数奇摄动问题渐近解的一致有效性；再次，利用所给的边界条件求出了原问题的特征函数和特征值；最后,用定理形式论述相应的大参数问题的结果，并指出当n=1时与前人讨论的结果一致。

关键词：转向点；Langer变换；Airy函数；特征值

奇摄动问题一直是国内外学术界十分关注的研究对象。继Nayfeh和de Jager等综述了奇摄动方法和理论[1-2]，许多学者从不同的角度研究了各种类型的奇摄动问题，诸如Bartiert讨论了一类反应扩散方程的整体解[3]，Guarguaglini等研究了一类偏微分方程的长期性态[4]，Mo等讨论了一类边值问题的奇摄动[5]，Chen等研究了一类椭圆型方程的奇摄动[6]，Mo等讨论了各种情况下的奇摄动问题的激波解[7-14]，莫嘉琪研究了一类大参数奇摄动问题[15]，刘树德等讨论了各种奇摄动边界层和内部层现象[16]，汪维刚等研究了一类非局部奇摄动问题[17]，周倩等讨论了几类非线性奇摄动问题[18-19]，王莉婕等研究了一类退化特征值的奇摄动问题[20-21]。本文在文献[21]的基础上利用变量变换理论，研究如下一类具有n阶转向点的大参数奇摄动方程的特征值问题：

其中：λ>>1为无量纲参数；n为正整数。

1　问题讨论

为简便起见，记q(x)=(1-x3)n，并对方程(1)作如下自变量和因变量的变换

其中φ(x),ψ(x)为待定函数。将式(2)代入式(1)

令

则式(4)可表示成

因为当x>1时，q(x)=1-x3<0，可令

为使得当x>1时，都有z>0，对于式(8)取正号，则

即

且通过Langer变换后，取δ=0时式(6)变为

方程(12)的通解可以用Airy函数来表示，其结果是其中：Ai(z)为Airy函数，Bi(z)为其相关函数；c1,c2为任意常数。综合式(9)，(11)和(13)可得，方程(1)的渐近解为

其中d1,d2为任意常数。

2　特征函数和特征值

因为当x→∞时，z→∞，故

当x→∞时y→0，则式(14)和(15)中的d2=0，有

由式（16）和边界条件(1b)中的y(0)=0，有，则

而由式(9)可知

由式(17)可知，当λ→∞时，z(0)→-∞，且

综合式(17)~(19)可得

即

由此可求得

3　主要结果

定理方程(1)具有形如式(14)的一致有效的渐近解，其特征函数由式(16)给出，特征值由式(20)表示。

参考文献：

[1] Nayfeh AH. Introduction to Perturbation Techniques[M]. New York: John Wiley & Sons, 1981.

[2] de Jager E M , Jiang F R. The Theory of Singular Perturbation[M].Amsterdam: North Holland Publ, 1996.

[3] Bartier J P. Global behavior of solutions of a reaction-diffusion equation with gradient bsorption in unbounded domains[J]. Asymptotic Anal, 2006, 46(3/4):325-347.

[4] Guarguaglini F R, Natalini R. Fast reaction limit and large time behavior of solutions to a nonlinear model of sulphation phenomena[J]. Commun Partial Differ Equations, 2007, 32(2):63-189.

[5] Mo J Q, Chen S L. The singularly perturbed nonlinear boundary value problem[J]. Journal of mathematical research and exposition, 2000, 34(1):57-61.

[6] Chen S Q, Mo J Q. The singularly perturbed boundary value problems for elliptic equation with turning point[J]. Chinese Quar terly Journal of Mathematics, 2000, 25(3):12-16.

[7] Mo J Q, Wang H. The shock solution for quasilinear singularly perturbed Robin problem[J]. Progress in Natural Science, 2002, 12 (12):945-947.

[8] Mo J Q, Zhu J, Wang H. Asymptotic behavior of the shock solution for a class of nonlinear equations[J]. Progress in Natural Science, 2003, 13(10):768-770.

[9]莫嘉琪，王辉，林万涛.一类二阶非线性方程的激波解[J].工程数学学报，2005, 22(6):1109-1112.

[10]莫嘉琪，林万涛.一类奇摄动非线性方程的激波问题[J].系统科学与数学，2006, 26(6):737- 743.

[11]莫嘉琪.一类拟线性Robin问题的激波解[J] .数学物理学报，2008, 28A(5):818-822．

[12]莫嘉琪，刘树德，唐荣荣.一类奇摄动非线性方程Robin问题激波的位置[J].物理学报，2010, 50(7):4403-4408.

[13]刘树德，孙建山，谢元静.一类奇摄动拟线性边值问题的激波解[J].数学物理学报，2012, 32(2):312-319.

[14]史娟荣，刘树德.一类具有激波层现象的二次Dirichlet问题[J].安徽理工大学学报(自然科学版), 2012, 32(1):22-25．

[15]莫嘉琪.具有二阶转向点的大参数奇摄动方程[J].厦门大学学报(自然科学版)，2005, 44(6):753-755．

[16]刘树德，鲁世平，姚静荪，等.奇摄动边界层和内层理论[M].北京：科学出版社, 2012:45-65．

[17]汪维刚，史娟荣，石兰芳.高阶非线性非局部方程的奇摄动解[J].南开大学学报(自然科学版)，2014, 47(1):13-18．

[18]周倩，陈松林.一类非线性方程Robin问题的激波位置[J].安徽工业大学学报(自然科学版)，2012, 22(3):559-562.

[19]葛志新.一类含有两参数的三阶拟线性奇摄动问题的渐近解[J].安徽工业大学学报(自然科学版)，2013, 30(2):97-202.

[20]王莉婕.一类三阶奇摄动特征值问题[J].大学数学，2007, 23(6):28-31.

[21]欧阳成.一个带m阶转向点的奇摄动特征值问题[J].工程数学学报，2005, 22(3):559-562．

责任编辑：丁吉海

AClass of Singularly Perturbed Eigenvalue Problem for Large Parameter with Turning Point of n-th Order

SHI Juanrong1,2

（1.Department of Mathematics,Anhui Normal University, Wuhu 241003, China;2.Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China）

Abstract:A class of possessing n-th order turning point eigenvalue problem of singular perturbation equation for large parameter is discussed. Firstly, substituting the original possessing n-th order turning point problem for large parameter is turned into studied problem; Secondly, the asymptotic solution using the characteristic function representation is obtained; Then the behavior of the received solution is studied, and this asymptotic solution of possessing n-th order turning point eigenvalue problem for large parameter is uniformly valid; And then, the characteristic functions and characteristic values for the original problem are solved by using the boundary conditions; Finally, the conclusion of corresponding large parameter problem is discussed using the theorem, and it is pointed out that it is the same with that of previous study when n is equal to one.

Key words：turning point; Langer transform;Airy function; eigenvalue

作者简介：史娟荣(1981-),女,安徽宣城人,副教授，研究方向为应用微分方程。

基金项目：国家自然科学基金项目(11202106)；安徽高校自然科学重点研究项目(KJ2015A418)；国内访问学者项目经费资助

收稿日期：2014-09-05

文章编号：1671-7872(2015)-03-0289-04

doi：10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.017

文献标志码：A

中图分类号：O175.14