组合数学与中学数学的关联

刘会玲+刘东旭+南华

摘要：本文依据《普通高中数学新课程标准》，主要针对普通高中结合学生的认知水平和对教师的专业素质要求，通过分析案例等方法，探讨组合数学在中学教学中的地位，阐明了组合数学不仅在高等数学中起重要作用，而且在中学数学教学中也具有极其重要的地位。

关键词：新课程标准;组合数学;数学文化

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）19-0256-02

一、引言

人类文化离不开数学，它是其中极其重要的组成部分。数学素养是人类的一种基本素养，在现代社会，每个公民更应具备这种素养。因为这种重要性，数学教育成为了教育必不可少的组成部分。在当代社会，数学教育以是终身发展必不可少的一个方面，是每个公民更进一步学习和发展的需要，是（终身）教育发展不可缺少的基础。为了使学生学会如何能够数学地思维，数学地表达，就要求各级各类学校向学生提供数学的基础知识、基本思想和技能，进而培养、提高学生自身的数学素养。伴随计算机技术和网络信息的迅猛发展，作为数学的一个分支的组合数学得到了迅速发展，也越来越受到重视。组合数学研究的主要内容包含离散对象满足一定条件的方案的存在性，以及这种方案的构造、枚举计数及最优化问题等内容。它在密码学、编码和计算机科学、生物学等学科中有着重要应用。可以这样认为：近代的工业革命的基础是微积分学的发展，而现代计算机革命的基础就是组合数学的发展。如今，普通高中数学课程中也包含计数问题组合计数这部分内容。当然除了计数问题，组合数学还包含组合原理、组合设计、组合优化等内容。本文从中学课程内容特点、数学竞赛试题、数学教师专业素质、数学文化的渗透、解题方法等不同角度研究组合数学与中学数学的联系与影响。

二、数学知识方面的联系

1.计数问题是组合数学中的重要组成部分，是中学数学课堂教学内容之一。组合数学中研究和应用最多的是计数问题，加法计数原理和乘法计数原理是其中最基本、最重要的两个基本原理。普通高中数学课程中含有计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用这些组合数学的内容，要求学生掌握这些基本知识，同时了解计数与实际生活的联系，会处理实际应用中的计数问题。组合计数、组合思想除在组合恒等式的证明和应用之外，在接下来的高中数学课程如统计与概率等中有着重要应用，排列组合掌握的好与坏常常影响古典概型的求解。

例题1（古典概型问题）：3件产品中包含2件正品a，b和1件次品c，每次从中任意选取一件，连续选取两次。在下列不同条件下，分别计算选出的两件产品中恰好有1件为次品的概率。（1）每次选出后不放回;（2）每次选出后放回。注：这里的摸球后放回、不放回是概率问题中常见的条件，也是计数问题中常考虑的限制条件。无论哪一种情况下计算概率都要应用到排列组合知识点。

2.组合数学是数学建模中的重要工具。《普通高中数学新课程标准》中提出：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。据统计，组合优化在历年的数学建模比赛所占比例比较重，几乎占百分之四十左右。配对问题模型、摸球问题模型、分配问题模型、组合优化模型等都是组合数学在建模中的应用。

例题2：自动售货机内装有“可乐”、“雪碧”、“健力宝”3种听装饮料，投币后随机自动滚出一听，今有5个人若要喝同一品种的饮料，他们至多要投币几次？解：把饮料的品种看做“鸽笼”，饮料罐看做“鸽子”。根据抽屉原理，为了使5个人能喝上同一品种的饮料，至少有一个“笼子”内要有5只“鸽子”。从最不利的情形考虑，投币12次滚出3个品种各4=5-1听，共12听，所以这5个人需要至多投币13次。这就是利用中学数学抽屉原理法建模，当然这类题难度可以再加深。

3.组合数学是数学竞赛的重要内容。中小学数学竞赛中常考的知识点——抽屉原理和容斥原理是组合计数和组合分析常用的技巧和方法，不仅如此组合计数和组合分析中还有递推（归）原理、容斥原理、染色方法等常用方法。这些内容看似简单，但其中包含极强的技巧性，从小学到高中的数学竞赛中常见这类问题。数学竞赛题有一定的难度，往往不会轻易解决，对于这类问题一般通过构造的方法建立简单的数学模型，继而借助数学原理求解。

例题3（第6届国际数学奥林匹克试题）：有17位科学家，其中每一个人和其他所有人通信，他们的通信中只讨论3个题目。求证：至少有3个科学家相互之间讨论同一个题目。注：用平面上任意三点不共线的17个点v■，v■，…，v■分别表示17位科学家。设a，b，c为他们讨论的3个题目。两位科学家讨论a，则用黄线连接;讨论b用红线连接;讨论z则用蓝线连接，那么“以这17个点为顶点的三角形中必有一同色三角形”就是要证的结论。此题属于组合学中Ramsey问题，其根本思想还是构造抽屉。将几何图形与染色问题相结合，再对已知边按颜色进行分类（分抽屉），最后对几个或某个抽屉进行分析，就可以解决问题。

三、渗透数学文化方面的联系

数学文化的内涵狭义上的理解就是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展;广义上的理解是除这些内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等。“体现数学的文化价值”这是《普通高中数学新课程标准》基本理念之一，并且对数学文化有教学要求。中学期间，数学文化不会限定学时，不会专门设置几堂课进行数学文化教学，而是将数学文化贯穿于整个高中数学课程中，渗透在每个模块或专题中，也是一部分重要内容。

1.通过学习组合数学可以激发学生学习数学的兴趣，体会数学的内在美。组合数学源于数学游戏，许多问题看似简单，却蕴含很深数学原理。比如“柯克曼女生问题”、“幻方”等，这些数学游戏丰富了组合数学的研究方法与内容。游戏往往比抽象的理论更有吸引力和挑战性，通过数学游戏、趣味问题激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学不仅是一种重要的“工具”也是一种思维模式，从而促进学生的数学学习以及数学观的发展。endprint

2.经典历史名题，让学生领略数学文化。古老的数学游戏和经典的数学名题是重要的数学史料，数学史料又是数学文化中的一个重要的组成部分，而历史名题又是数学史料的一种很好的载体。教学中结合数学史的文化背景进行讲解，可以使学生在感受趣味性同时，体会其中的文化性和思想性，领略数学文化。例如著名的Fibonacci兔子问题：把一对小兔子（雌、雄各一只）在某年的开始放到围栏中，一个月后长成大兔子。之后每个月这对兔子都生出一对新兔子，其中雌、雄各一只。一个月后，每对新兔子每个月也生出一对新兔子，也是雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔子？第n个月的兔子的对数用F■来表示，则它满足带初值的二阶递推关系式。法国的数学家Binet求出了数列{F■}■■的通项。而且由斐波那契数列中前一项与后一项的比值组成的分数列以■≈0.618为极限，这正是“黄金比”，由它产生的优选法“0.618法”是运用离散的手段来处理最优化问题。通过赏析名题，能够使学生感受到数学不仅仅是一门科学，更是一种文化。

四、提高数学教师的专业素质方面的联系

1.组合数学能够提高数学老师的数学修养，进而提高教学质量。我们知道教师要上好一堂课，只了解和解决课本和参考书上的知识和问题是远远不够的。教授必须具有与这堂课相关的许多直接或间接相关的知识，这就是对教师数学素养的要求。组合数学里包含的历史典故及蕴含的组合思想，会让数学教师了解和掌握更丰富的数学知识，从而提高数学教师的数学素质，提高解决问题的能力。因为组合数学问题在高中数学课程的各个模块都有不同程度的应用，而且在数学竞赛中出现频率较高，更加需要数学教师掌握一定的组合数学知识和组合思想。

2.掌握组合数学中的解题思想、解题方法，提高数学教师的业务水平和能力。组合问题求解方法层出不穷、千变万化，通过解决组合问题可以发现、归结出许多有用的解题方法：（1）从组合学基本概念、基本原理出发的解题方法：①利用容斥原理、递推关系、母函数方法——解计数问题。②利用抽屉原理——解决存在性问题。（2）从组合思想出发的解题方法：如组合对应法（一一对应）、分类法、组合分析法、放球模型法等。（3）在解决组合数学问题时还经常会用到数论方法：应用奇偶性、整除性等数论性质解决存在性问题。以及反证法和数学归纳法等。

组合数学的解题方法技巧性很强，教师通过学习组合数学更进一步学会数学思维，理解和掌握不同的解题方法，也可以积累丰富的解题技巧、思想，有助于拓展分析问题的思路进而提高教师的解题能力，提升专业素质。

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