平面向量综合卷

一、填空题

1.若向量a=（1，1），b=（-1，1），c=（4，2），则c=（用a，b表示）.

2.某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a+b表示.

3.设a、b是两个不共线向量，AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为.

4.已知|a|=2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两相等实根，则向量a与b的夹角是.

5.已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，则实数k=.

6.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（DB+DC-2DA）·（AB-AC）=0，则△ABC的形状是 三角形.

7.已知a=（-12，32），b=（1，3），则|a+tb|（t∈R）的最小值等于.

8.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（填序号）.

①（a·b）c-（c·a）b=0；

②|a|-|b|<|a-b|；

③（b·c）a-（a·c）b不与c垂直；

④（3a+4b）·（3a-4b）=9|a|2-16|b|2.

9.在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB=3，BD=1，则AB·AD=.

10.在平行四边行ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，

点P在CD上运动（包括端点），则AP·DM的取值范围是 .

11.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|=1，|b|=2，|c|=3，则向量a+b+c与向量a的夹角是.

12.设e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM=e1，ON=e2，OP=x·OM+y·ON（x，y为实数）.若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x-y取值的集合为 .

13.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）滑动，则OB·OC的最大值是.

14.在△ABC中，AB=1，AC=2，O为△ABC外接圆的圆心，则AO·BC=.

二、解答题

15.已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C.

（1）设BC·CA=CA·AB，求证：△ABC是等腰三角形；

（2）设向量s=（2sinC，-3），t=（cos2C，2cos2C2-1），且s∥t，若sinA=13，求sin（π3-B）的值.

16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）.

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

（2）设实数t满足（AB-tOC）·OC=0，求t的值.

17.设向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.

（1）若a与b-2c垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|b+c|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求证：a∥b.

18.已知平面上三点A、B、C，向量BC=（2-k，3），AC=（2，4）.

（1）若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；

（2）若△ABC为直角三角形，求k的值.

19.已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，23cosωx），设函数f（x）=a·b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈（12，1）.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y=f（x）的图象经过点（π4，0），求函数f（x）在区间[0，3π5]上的取值范围.

20.已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数.

（1）若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；

（2）若θ=π6，求|xa-b|的最小值及对应的x的值，并指出向量a与xa-b的位置关系；

（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围.

参考答案

1. 3a-b

2. 向东北走32km

3. -1

4. 2π3

5. 54

6. 等腰

7. 32

8. ②④

9. 152

10. [-12，12]

11. 150°

12. {1}

13. 2

14. 32

15.（1）因为BC·CA=CA·AB，所以CA·（BC-AB）=0，

又AB+BC+CA=0，所以CA=-（AB+BC），所以-（AB+BC）·（BC-AB）=0，所以AB2-BC2=0，

所以|AB|2=|BC|2，即|AB|=|BC|，故△ABC为等腰三角形.

（2）∵s∥t，∴2sinC（2cos2C2-1）=-3cos2C，

∴sin2C=-3cos2C，即tan2C=-3，

∵C为锐角，∴2C∈（π2，π），∴2C=2π3，

∴C=π3.

∴A=2π3-B，∴sin（π3-B）=sin[（2π3-B）-π3]=sin（A-π3），

又sinA=13，且A为锐角，∴cosA=223，

∴sin（π3-B）=sin（A-π3）

=sinAcosπ3-cosAsinπ3=1-266.

16.（1）由题设知AB=（3，5），AC=（-1，1），

则AB+AC=（2，6），AB-AC=（4，4）.

所以|AB+AC|=210，|AB-AC|=42.

故所求的两条对角线长分别为42，210.

（2）由题设知OC=（-2，-1），AB-tOC=（3+2t，5+t）.由（AB-tOC）·OC=0，

得（3+2t，5+t）·（-2，-1）=0，

从而5t=-11，所以t=-115.

17.（1）b-2c=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

∵a与b-2c垂直，

∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，

∴sin（α+β）=2cos（α+β），即tan（α+β）=2.

（2）b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），

|b+c|=（sinβ+cosβ）2+16（cosβ-sinβ）2

=17-15sin2β≤17+15=42，

则|b+c|的最大值为42.

（3）证明：由tanαtanβ=16

得sinαsinβ=16cosαcosβ，

即4cosα4cosβ-sinαsinβ=0，所以a∥b.

18.（1）由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一条直线上，即向量BC与AC平行，∵BC∥AC，∴4（2-k）-2×3=0，解得k=12.

（2）∵BC=（2-k，3），∴CB=（k-2，-3），

∴AB=AC+CB=（k，1）∵△ABC为直角三角形，

则当∠BAC是直角时，AB⊥AC，即AB·AC=0，

∴2k+4=0，解得k=-2；

当∠ABC是直角时，AB⊥BC，即AB·BC=0，

∴k2-2k-3=0，解得k=3或k=-1；

当∠ACB是直角时，AC⊥BC，即AC·BC=0，

∴16-2k=0，解得k=8.

综上得k∈{-2，-1，3，8}.

19.（1）f（x）=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+3sin2ωx+λ

=2sin（2ωx-π6）+λ.

由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得sin（2ωπ-π6）=±1，

所以2ωπ-π6=kπ+π2（k∈Z），即ω=k2+13（k∈Z）.又ω∈（12，1），k∈Z，

所以k=1，故ω=56，所以f（x）的最小正周期是6π5.

（2）由（1）知f（x）=2sin（53x-π6）+λ.

由y=f（x）的图象过点（π4，0），得f（π4）=0，

即λ=-2sin（56×π2-π6）=-2sinπ4=-2，即λ=-2，

故f（x）=2sin（53x-π6）-2.

由0≤x≤3π5有-π6≤53x-π6≤5π6，

所以-12≤sin（53x-π6）≤1，

得-1-2≤2sin（53x-π6）-2≤2-2，

故函数f（x）在[0，3π5]上的取值范围为[-1-2，2-2].

20.解：（1）由题意得，（a+2b）（a-4b）=0，即a2-2a·b-8b2=0，

得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=16，

又θ∈（0，π），故θ∈（0，π2），

因此，sinθ=1-cos2θ=1-（16）2=356，

tanθ=sinθcosθ=35.

（2）|xa-b|=（xa-b）2

=x2a2-2xa·b+b2

=9x2-2x×3×1×cosπ6+1

=9（x-36）2+14，

故当x=36时，|xa-b|取得最小值为12，

此时，a·（xa-b）=xa2-a·b=36×9-3×1×cosπ6=0，

故向量a与xa-b垂直.

（3）对方程|xa-b|=|ma|两边平方整理，

得9x2-（6cosθ）x+1-9m2=0，①

设方程①的两个不同正实数解为x1，x2，

则由题意得，

Δ=（6cosθ）2-4×9×（1-9m2）>0，x1+x2=6cosθ9>0，x1x2=1-9m29>0.

解之得，13sinθ

若x=m，则方程①可以化为-（6cosθ）x+1=0，

则x=16cosθ，即m=16cosθ.

而x≠m，故得m≠16cosθ.

令13sinθ<16cosθ<13，

得sin2θ<1，cosθ>12，得0°<θ<60°，且θ≠45°，

当0°<θ<60°，且θ≠45°时，

m的取值范围为{m|13sinθ

当60°≤θ<90°，或θ=45°时，

m的取值范围为{m|13sinθ

（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）