三角重点知识解析

三角是高考必考内容之一，江苏高考中解答题以基本题为主，填空题以中档题为主.本文就三角的重点知识作一梳理，以期对同学们复习有所帮助.

一、三角函数的图象及性质

高考中三角函数的图象及性质主要考查三角函数的周期性、单调性、对称性、有界性、奇偶性；函数的解析式；图象之间的变换关系.题型以填空题为主，难度以容易、中档题为主，在对三角函数其他知识的考查中，直接或间接考查本节的基本方法与技能.

例1 如果函数f（x）=2sinωx（ω>0）在区间[-π3，π3]上是增函数，那么实数ω的取值范围是.

分析：由图象对称性我们可以将单调性与三角函数的周期结合在一起，T2≥2π3，求出ω的取值范围.

另外我们也可以用整体思想，先求出-ωπ3≤ωx≤ωx3，由图象可知ωπ3≤π2.

解：∵x∈[-π3，π3]，ω>0，

得-ωπ3≤ωx≤ωx3，结合正弦函数图象和单调区间，我们可得0<ωπ3≤π2，

从而0<ω3≤32.

变式①：如果函数f（x）=2sinωx（ω>0）在区间[-π4，π3]上是增函数，那么实数ω的取值范围是.

分析：与原题的区别在于给定区间不是关于原点对称的，有同学用周期容易产生错误，T2≥7π12.所以我们还是选择整体思想较好，结果与原题一致.

解：∵x∈[-π4，π3]，ω>0，

得-ωπ4≤ωx≤ωπ3，结合正弦函数图象和单调区间，我们可得0<ωπ3≤π2且-π2≤-ωπ4<0，

得0<ω≤32且0<ω≤2，

从而0<ω≤32.

变式②：如果函数f（x）=2sinωx（ω>0）在[-π4，π3]上的最小值是-2，那么ω的最小值是.

解：∵x∈[-π4，π3]，ω>0，

得-ωπ4≤ωx≤ωπ3，结合正弦函数图象，我们可得-ωπ4≤-π2，

从而ω≥2.

变式③：如果函数f（x）=2sinωx在区间[-π4，π3]上是单调减函数，那么实数ω的取值范围是.

解：∵f（x）=2sinωx经过坐标原点，且在区间[-π4，π3]上是单调减函数，

∴ω<0，

得ωπ3≤ωx≤-ωπ4，结合正弦函数图象和单调区间，我们可得-π2≤ωπ3<0且0<-ωπ4≤π2，

∴-32≤ω<0且-2≤ω<0，故-32≤ω<0.

二、三角函数求值

三角函数的求值问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性.三角函数的命题趋于稳定，但近年考查得似乎有些简单，三角函数的化简和求值是常考题型.它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中考查了简单的三角恒等变换和三角函数的性质的综合运用.着重考查三角函数的基础知识、基本方法和基本技能.

例2 已知tan（α+β）=25，tanβ=13，则tan（α+π4）的值为.

分析：寻找角与角的关系，可以先求出tanα，再利用两角和的正切公式求tan（α+π4）.

解题步骤如下：

① 寻找角与角之间的关系

（α+β）-β=α

② 求出对应的三角函数值

tanα=tan[（α+β）-β]=tan（α+β）-tanβ1+tan（α+β）tanβ

=25-131+25·13=117，

故tan（α+π4）=tanα+11-tanα=117+11-117=98.

例3 设α为锐角，若cos（α+π6）=45，则sin（2α+π12）的值为.

分析：本题正确率不太高，主要是配角较为困难，没有关注角的范围的限制，所以在解题中要注意方法的合理选择.接下来我们比较这两种方法的解题过程.

解一（配凑法）：①寻找角与角之间的关系

2α+π12=2（α+π6）-π4

②求出对应的三角函数值

∵α为锐角，即0<α<π2，

∴π6<α+π6<π2+π6=2π3.

∵cos（α+π6）=45，∴sin（α+π6）=35.

∴sin（2α+π3）=2sin（α+π6）cos（α+π6）

=2·35·45=2425.

∴cos（2α+π3）=725.

∴sin（2α+π12）=sin（2α+π3-π4）

=sin（2α+π3）cosπ4-cos（2α+π3）sinπ4

=2425·22-725·22=17502.

解二（换元法）：①寻找角与角之间的关系——换元

令α+π6=t，则α=t-π6，

∴2α+π12=2t-π4.

②求值

∵α为锐角，即0<α<π2，∴π6<α+π6<π2+π6=2π3.

∵cost=45，∴sint=35，

∴sin2t=2sintcost=2425，cos2t=725，

∴sin（2α+π12）=sin（2t-π4）

=22（sin2t-cos2t）=17250.

三、三角恒等变换

与三角恒等变形相关的问题是高考的热点问题，通常以三角为载体考查同学们的基本运算能力，利用三角函数的定义，同角三角函数关系式，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式等三角函数公式进行运算及变形求值或求角等.

例4 已知sin2α=23，则cos2（α+π4）= .

解法一：先用降次公式化为一次三角函数再用诱导公式转化为已知角

cos2（α+π4）=12[1+cos（2α+π2）]

=12（1-sin2α）=16.

解法二：先将目标角用和差角公式展开，再利用cosx-sinx与cosx·sinx的关系，通过平方解决问题

cos（α+π4）=22cosα-22sinα，

所以cos2（α+π4）=12（cosα-sinα）2

=12（1-2sinαcosα）

=12（1-sin2α）=16.

例5 已知α，β均为锐角，且sinα=35，tan（α-β）=-13.

（1）求sin（α-β）的值；

（2）求cosβ的值.

解：（1）∵α，β∈（0，π2），

从而-π2<α-β<π2.

又∵tan（α-β）=-13<0，

∴-π2<α-β<0.

∴sin（α-β）=-1010.

（2）由（1）可得，cos（α-β）=31010.

∵α为锐角，且sinα=35，∴cosα=45.

∴cosβ=cos[α-（α-β）]

=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

=45×31010+35×（-1010）

=91050.

变式训练：在本例条件下，求sin（α-2β）的值.

解：∵sin（α-β）=-1010，cos（α-β）=31010，

cosβ=91050，sinβ=131050.

∴sin（α-2β）=sin[（α-β）-β]=sin（α-β）cosβ-cos（α-β）sinβ=-2425.

四、正、余弦定理的应用

与解三角形相关的问题是高考的热点问题，通常以三角形为载体，借助正弦定理，余弦定理及面积公式实现边角互化，解决长度与角度的求解问题.

解三角形问题实际上是附加条件的三角变换问题，因此在处理这类问题的过程中，利用正、余弦定理适时进行边角的互化，利用三角函数的定义，同角三角函数关系式，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式等三角函数公式进行有目标的运算是解决问题的关键.

例6 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=79.

（1）求a，c的值；

（2）求sin（A-B）的值.

解：（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得b2=（a+c）2-2ac（1+cosB），

又b=2，a+c=6，cosB=79，

所以ac=9，解得a=3，c=3.

（2）在△ABC中，sinB=1-cos2B=429，

由正弦定理得sinA=asinBb=223.

因为a=c，所以A为锐角.

所以cosA=1-sin2A=13.

因此sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=10227.

五、三角形中的最值问题

高考复习过程中，三角形中的范围与最值问题，是同学们学习解三角形过程中比较常见的问题，也是高考重要题型.它不仅仅需要用到三角变换、正、余弦定理，往往还需要涉及不等式、函数、数形结合等知识与方法.

例7 满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值为.

分析：方法一：函数法

设BC=x，则AC=2x，

根据面积公式得

S△ABC=12AB×BCsinB=x1-cos2B，

根据余弦定理得

cosB=AB2+BC2-AC22AB×BC=4+x2-2x24x=4-x24x，

代入上式得

S△ABC=x1-（4-x24x）2

=x2-x4-8x2+1616

=-x4+24x2-1616

由三角形三边关系有2x+x>2x+2>2x

解得22-2

故当x2=12即x=23时取得S△ABC最大值22.

方法二：数形结合法

以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设C（x，y），由题意可知A（-1，0），B（1，0）利用AC=2BC得C点的轨迹方程（x-3）2+y2=8（y≠0），画出图形，即可求出S△ABC最大值22.

（作者：祝存建，如皋市第一中学）