排列、组合问题解答技巧分析

赵龙

【摘 要】解排列组合问题除了掌握两个基本原理（加法原理和乘法原理）外，没有现成的方法可用，它联系实际、生动有趣，但题型多样，解题方法灵活，有关排列组合问题是高中学生学习中棘手的问题，在考试中失分较多，因此要加强对这方面知识的归纳与总结。

【关键词】题型;解法归类;基本方法;排列组合;问题

实践证明，学习排列组合问题最有效的方法是首先必须认真审题，将题型与解法归类，识别模式，熟练应用，抓住排列组合一般原则和常用技巧，排列组合问题便会迎刃而解.一般原则是“分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合”。以下九个常用技巧是速解排列组合问题的基本方法，下面分别归类举例说明：

（一）相邻问题捆绑法。对于几个元素要求必须相邻的排列问题，可将相邻元素“捆绑”起来，看作一个大元素，与其它元素排列，然后再对大元素内部进行排列。

【例1】书架上有4本不同的数学书，5本不同的语文书，3本不同的化学书，全部坚成一排，如果不使同类书分开，一共有多少种排法？

解析：由于同类书不能分开，所以把4本数学书，5本语文书，3本化学书分别捆在一起，看作3个大元素进行排列有 A种，每捆内部分别有A种，A种和A种，由分部计数原理共有排法;A·A·A·A=103680（种）。

（二）不相邻问题“插空法”。不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，可以将其它元素排好，然后把不相邻的元素在已排好的元素之间和两端的空隙之间插入即可。

【例2】在不久举行的汽车展上，将有5个不同型号的三厢轿车和4个不同型号的二厢轿车在同一展台的9个车位上展出，要求任何两个二厢轿车不得相邻，则有（  ）种不同的排法？

解析：先将5个不同的三厢轿车排好，其不同的排法有A三种，这5种不同的三厢轿车的空隙和两端共有6个位置中再排4个不同的二厢轿车有A种排法，由分步计数原理可知共有A·A=43200种。

（三）特殊元素“优先安排法”。含有特殊元素的排列组合问题，一般应优先考虑特殊元素。

【例3】要安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值一天，其中甲、乙两人都不安排在5月1日和5月2日，不同的安排方法共有多少种？

解析：甲、乙两人先安排在5月3、4、5、6、7号这5天，有A种，余下的5人全排列有A种，由分步计数原理得不同的安排方法有A·A=2400种。

（四）定序问题缩倍法。在排列问题中限制几个元素必须保持一定顺序问题，这类问题用缩小倍数求解比较简便。

【例4】今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一排有（  ）种不同方法。（用数字作答）

解析：可将9个球进行全排列有A种排法，再将同色球的顺序抵消掉，共有A÷（A·A·A）=1260种不同的方法。

（五）总体“淘汰法”。含有否定词语的问题，可以从总体中把不含有要求的除去，此时应注意即不能多减也不能少减。

【例5】从5位男教师，4名女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任工作（每班一位班主任），要求这三位教师男女教师都有，则不同的选派法共有多少种？

解析：此题虽然没有否定词语，然而选出三名教师中男女都要有，就是说不能全是男教师，也不能全是女教师。因此先选出3人中有C种，其中都是男教师有C种不合题意，都是女教师有C种也不合题意，因此共有（C-C-C）·A=420种。

（六）多元问题分类法。元素多，取出的情况也有多种情况，可按结果要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

【例6】设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的元素大于A中最大的数，则不同选择方法共有（ ）。

A.50种 B.49种 C.48种 D.47种

解析：（1）若B={5}，则A有C+C+C+C24-1=15种选法。

（2）若B={4}，则A有C+C+C=23-1=7种选法。

（3）若B={4，5}，则A有C+C+C=23-1=7种选法。

（4）若B={3}或{3，4}或{3，5}或{3，4，5}，则A均有：C+C=3种选法，共有3×4=12种。

（5）若B={2}或{2，3}或{2，4}或{2，5}或{2，3，4}或{2，4，5}或{2，3，5}或{2，3，4，5}时，A均有一种选法;共有8种选法。

综上共有15+7+7+12+8=49种选法，应选B。

（七）选排问题“选分堆后排列”。对于排列组合混合问题，一般解法“先分堆，后排列”。须注意的是：分堆时，不讲究顺序，应除以有相同元素堆的堆数的全排列列数。给人时，只需在分堆的基础上乘以人数的全排列即可。

【例7】将6本不同的书分给甲、乙、丙三位同学，其中两人各一本，另一人四本，有多少种不同的分法？

解析：先分堆有C·C·C÷A=15种分法，再给人，故共有C·C·C÷A×A=90种不同分法。

（八）至多（或至少）问题间接法。对于有附加条件（含“至多”“不超过”）的问题，先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合，即为所求。

【例8】从6名男生和4名女生中选出三名代表，要求至少包含一名女生，则不同的分法有（ ）种？

解析：从10人中选三名代表有C种选法，全部男生有C种选法，故至少包含一名女生有C-C=100种选法。

（九）分排问题用“直排法”

【例9】某班56个同学在7排座位上，每排坐8人，则有多少种坐法？

解析：56个同学可以在7排座位上随意就座，再无其它条件，故7排可以看作一排处理，故不同的坐法有A种。

以上介绍的排列组合应用题几种解题技巧，不是彼此孤立的，而是相互为用的，解决某一问题可用上述不同技巧的多种技巧处理，或综合应用几种求解技巧.解决排列组合问题通常是：⑴先组合，后排列;⑵先分类，再分步;⑶先特殊（特殊元素，特殊位置），再一般，以简捷为原则。endprint