向量

闫晓庆

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。它既有“形”的直观，又有“数”的抽象，是数形结合与转换的纽带，并广泛应用于生产实践和科学研究中。向量的应用是一种新的思想方法，新的探索问题的途径，通过向量可以展示一种新的思维能力和创新意识。

向量作为工具研究几何问题，开创了研究几何为题的新方法，把几何的直观性与代数运算有机地结合起来，使直观的几何关系代数化，抽象的运算直观化，这样就使数与形有机地结合起来。运算是向量的灵魂，是连接数与形的纽带，它建立了代数运算与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过代数运算来研究几何问题。

下面就谈谈向量这把金钥匙在几何中的应用：

—、在解析几何中的应用

向量法在解析几何中的应用主要是通过建立直角坐标系，把几何问题坐标化、代数化，利用代数法研究曲线性质。用向量法解决解析几何问题的优越性在于将错综复杂的位置关系演化为纯粹的代数运算。

运用向量方法解决解析几何问题的一般步骤是：

（1）建立解析几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果翻译成几何关系。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积。

向量法可以使问题简单化，它为解析几何问题开辟了一条新途径，但是要对解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题的向量背景。

二、向量在立体几何中的应用

在学习平面向量的基础上，选修2-1引入了空间向量，拓展了解决立体几何问题的路子，大大降低了思维度。而用空间向量的方法解答立体几何问题，关键在于根据图形建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，再根据题目要求，通过向量的运算，判定或证明空间元素的位置关系。

例：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。

由此可见，向量法处理立体几何问题，思路明确，易于下手，避免了復杂的空间想象，降低了解题的难度，增强了可操作性，消除了学生的畏惧心理。

因此，向量确实是解决几何问题强有力的工具。所以，在整个高中的数学学习中，如能学会用向量方法处理数学问题，这不仅可使相应问题的解法简洁，而且反复地应用能帮助学生深入理解向量概念，熟练掌握向量的运算，更能学到数形结合、转化变形等重要的数学思想，能明显减轻学生和教师的负担，同时为学生进入高校进一步学习高等数学打下良好的基础。

因此，向量是解决几何问题的一把金钥匙。

编辑 王团兰