不确定环境下区间数优化方法

李雁冰

（长安大学工程机械学院，陕西 西安710064）

不确定性优化的方法和理论已经得到了人们的广泛关注和研究，总结起来可以大致分为两大类：模糊规划方法和随机规划方法[1，2]。在随机规划中，是使用离散的或者连续的概率分布函数来描述不确定性变量；而在模糊规划中，把不确定性变量作为模糊数（fuzzy number），约束当作模糊集；把约束的满足程度定义成隶属度函数[3，4]。随机规划和模糊规划本质上都是基于概率建模，所以它们往往需要大量的不确定的信息。然而在实际生产中要获得大量的、足够的不确定信息会遇到很大的困难或者获取信息的成本很高，使得这两类方法在实际应用中受到的限制比较多[5]。在这种情况下就凸显了区间数优化方法的便捷和经济性，因为区间数优化只需要获得不确定变量参数的取值范围，需要的不确定性信息也会大大的减少。

1 生产计划模型

区间数优化模型是一种不确定性优化模型，该模型中的一系列不确定性参数是用区间来表示。对于生产计划的区间数优化模型，一般采用以企业总的生产成本作为优化的目标函数，辅以生产能力，劳动力及市场需求等约束条件[6，7]。基于区间数的生产计划优化模型如下：

约束条件：

上述模型中公式（1）是以企业的总生产成本为目标的目标函数，包括正常生产成本，加班成本，外包成本，库存成本以及延迟交货成本，还有各个计划期内的人工成本。公式（2）-（9）是生产计划模型的各约束条件。约束（2）是每个计划期产品能够满足市场需求；约束（3）是计划期内正常生产与加班生产的时间要小于设备所允许的最大工作时间；约束（4）、（5）是计划期内正常生产和加班生产所需要的劳动力要小于企业当前所拥有的劳动力；约束（6）是参与生产的劳动力要小于企业所能提供的最大劳动力数量；约束（7）是库存量要小于所能提供的最大库存容量。

2 区间数优化模型

在区间数优化中，优化模型中的不确定参数的可能值是利用区间来表示。在生产计划优化中，区间数优化是通过区间数序关系将生产计划优化中的不确定性问题转化为确定性问题进行求解[8]。

对于不确定参数利用区间数描述如下：

式中DR，DL分别是区间数D軒的上下限，表示区间数D軒的取值范围在DR和DL之间。

2.1 不确定目标函数的转换

区间序关系是用来比较两个区间的好或坏，通常用于线性区间数优化中不确定目标函数的处理。上述的生产计划模型中，目标函数的可能取值是一个区间数而不是确定准确的数值。因而需要比较不同变量下目标函数值的区间数的好与坏，进而获得最优的目标变量。区间数优化中可以选用的区间序关系有多种，通常选择以区间的中点和半径为偏好的区间序关系。基于以区间的中点和半径为偏好的区间序关系，式（1）目标函数的转换模型如下：

其中Zc，Zw是目标函数区间的中点和半径。基于以区间的中点和半径为偏好的区间序关系，则式（1）中的不确定目标函数可以转换成确定性的多目标函数：

2.2 不确定约束的转换

在区间数优化中，区间的不确定性约束需要满足某一可能度水平，将不确定约束转化为确定性的不等式约束。上述生产计划模型中的不确定约束（2）、（3）和（6）的转换如下：

0≤γ1，γ2≤1 是给定的可能度水平。

3 结论

为了处理生产过程中的不确定参数和变量，采用区间数优化方法即把不确定参数和变量用区间来表示，确定不确定参数和变量值的上下限，建立区间数优化模型。求解区间数优化模型的方法是把区间优化模型转换成确定性问题来解决，把不确定目标函数转换成确定的多目标函数，不确定约束转换成确定的不等式约束。区间数优化能够很好的处理现实生产环境中的不确定性问题，相比于传统的不确定优化，区间数优化能够更加经济便捷的对生产计划进行优化。

[1]Ahmed S，Sahinidis N V.An approximation scheme for stochastic integer programs arising in capacity expansion.Operations Research[J].2003，51（3）:461-471.

[2]TakritiS，Ahmed S.On robustoptimization of two-stage systems[J].MathematicalProgramming，2003，99（1）:109-126.

[3]崔 迪.随机规划若干问题的研究[D].山东科技大学，2005．

[4]冯英俊，魏权龄.多目标规划模糊解的一般形式[J].模糊数学，1982，2（2）：29-35.

[5]姜潮·基于区间的不确定性优化理论与算法[D]：湖南大学，2008.

[6]Inuiguchi M，Ramik J.Possibilistic linear programming：a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portfolio selection problem[J].Fuzzy Sets and Systems，2000，111（1）：3-28.

[7]张 健.不确定信息环境下集约生产计划方法研究与应用[D].华中科技大学，2011.

[8]马龙华.不确定系统的鲁棒优化方法及应用研究[D].浙江大学，2002.