虚拟手术软组织形变建模方法分析研究

【作者】王秀娟，杜长江，马 华，宋吾力

1 泰山医学院信息工程学院，泰安市，271016

2 泰安市中心医院心血管外科，泰安市，271000

虚拟手术软组织形变建模方法分析研究

【作者】王秀娟1，杜长江2，马 华1，宋吾力1

1 泰山医学院信息工程学院，泰安市，271016

2 泰安市中心医院心血管外科，泰安市，271000

软组织形变是虚拟手术的重要研究方向之一。质点-弹簧模型和有限元模型是当前软组织建模的两种最重要的建模方法。该文对这两种建模方法的主要思想、影响因素以及建模路线，进行分析和概括，做一个比较全面的综述，对当前的软组织形变建模具有重要的参考价值。

虚拟手术；软组织；形变；质点-弹簧；有限元

0 引言

软组织形变是虚拟手术的重要研究方向之一。现今流行的物理模型在早期几何模型的基础上中引入了软组织的质量、受力、弹性模量等物理学参数，充分体现了软组织的生物力学特性和材料特性。而质点弹簧模型和有限元模型则是当前最重要的两种物理模型。因此，在研究现有公开发表的文献基础上，总结这两种模型的主要思想、分析其影响因素和技术实施路线，对当前的软组织形变建模工作具有非常重要的参考价值。

1 质点—弹簧模型

质点弹簧模型是最早提出的物理模型，也是较为经典的一种形变模型，由于其计算简单，建模速度较快而被广泛的应用于虚拟手术软组织仿真研究中。

1.1 主要思想[1]

质点弹簧模型将软组织离散化为相互作用的质点，质点之间用可伸缩弹簧连接起来，弹簧的类型根据其发挥作用的不同可分为：维持软组织面结构的结构弹簧；防止软组织过度弯曲的弯曲弹簧；模拟软组织剪切性能的剪切弹簧；体现软组织黏弹性的虚拟弹簧[2]。软组织的形变则是由这些离散化的、由弹簧连接起来的质点的运动而引起的。

每个质点受到内力和外力的共同作用。内力包括质点运动而产生的阻尼力f阻、弹簧形变而产生的弹簧力f弹。外力指施加在质点上的外界强迫力f外。每个质点在以上力的合力F作用下做有阻尼强迫振动，受力分析如下：

假定每个离散质点的质量为m，在某一时刻的位移为x，质点之间弹簧的弹性系数为k，质点所受阻力的阻尼系数为c，则利用胡克定律f弹= kx、牛顿第二定律F合= ma和阻力速度f阻= cv关系，得出每个质点的受力方程：

可见，方程(4)为典型的二阶常系数非齐次微分方程。若将软组织离散成了n个质点，可得出对应该n个质点运动的n个微分方程，通过求解该微分方程组，就可得到在不同时刻的不同质点的位移解，即软组织在外力作用的应变，或称形变。

1.2 分析讨论

(1) 在质点弹簧模型中，如何得到微分方程尽可能的精确解是影响形变效果的一个重要因素。目前大多采用显式欧拉法，文献[3]对显示欧拉法的误差进行了讨论。

(2) 由于各个软组织的弹性系数采用由实验模拟得出近似的结果，所以上述微分方程的解还受到软组织的弹性系数的取值影响，而这也将影响到具体的形变效果。

(3) 弹簧的布局结构是否合理是影响形变效果的一个重要因素。改进质点之间的弹簧的拓扑结构是提高形变效果的重要途径。为此，很多学者在这方面进行了深入研究。例如文献[4]通过将三角形网格结构和四边形网格结构进行对比分析，提出了一种改进的正六边形拓扑结构，此种方法在形变的稳定性、计算精度、计算效率和形变效果上有一定的优势。文献[5]鲍春波等提出了虚拟体弹簧的概念，使软组织模型达到一个比较逼真的含有体信息的仿真效果。

(4) 由于施加在模型上的外力并非每次都准确落在质点上，因此，当外力作用点非模型质点时，必须对形变受力点进行预处理，将受力点转移到相应的质点上。如何快速、准确的找到外力作用点的最近邻质点成为影响形变的又一个重要因素。传统的基于穷举法的搜索算法，耗费时间较长。文献[3]提出了一种基于随机点的搜索算法和基于三角面积匹配的搜索算法，效果较好。

最后，由于在质点弹簧模型中，预先假设质点之间是由理想的可伸缩弹簧连接，弹簧的形变幅度应该保持在胡克定律范畴之内，对于超出该范畴的大形变容易产生失真。文献[6]针对布料仿真提出了通过给每个弹簧的长度设置一个预设的阈值来避免出现弹簧过度伸长的现象，可以借鉴到软组织形变仿真中。另外，质点弹簧模型是线弹性模型，形变过程忽略了时间因素的影响，所以无法表示软组织的黏弹性。文献[7]基于黏弹性力学模型Kelvin模型提出了无网格伽辽金（EFG）与质点弹簧（MS）耦合的软组织形变仿真方法，有效的提高了形变的仿真精度。

1.3 建模技术过程

目前软组织形变建模案例大多采用OpenGL或者VTK等（三维建模）和Visual C++（编写动态形变程序）相结合的技术路线。软组织形变建模技术路线图见图1[3,8-10]。

图1 基于质点弹簧模型的软组织形变建模技术路线图Fig.1 The technology graph of Soft-tissue deformation modeling based on Mass-sping model

OpenGL是一个开放的三维图形软件包，提供了丰富的图形函数，以它为基础开发的应用程序可以十分方便地在各种平台间移植；而三维可视化工具箱VTK通过对各种三维、二维图像的显示算法的有效封装，使编程门槛大大低于OpenGL，缩短了建模的周期。

2 有限元模型

有限单元法是求解复杂微分方程近似解的有效工具，是工程设计和分析的可靠工具。因其建模精度较高，稳定性较好，模型参数易于调节的优势，逐渐被应用到软组织建模中。下面以线弹性问题的静力学分析为例，介绍有限元分析的基本思想和建模路线。

2.1 有限元分析的基本思想[11]

有限元分析最常用的方法是基于位移（试）函数的间接数值求解方法。此种方法的关键是如何构造出适合所求问题的，满足边界条件的位移（试）函数。该方法的求解步骤如下：

(1) 建立坐标系，对连续体结构进行离散，对离散后的单元和节点进行编号，确定节点坐标。人体软组织作为一种连续体，它的表现形式有两种：一种是厚度可忽略的皮肤或粘膜；一种是人体组织器官。前者可以看成是二维平面问题，后者可以看成是三维空间问题。由于在软组织内部没有自然的连接点，必须完全通过人工的方法进行离散。

(2) 针对离散后的每个单元，求解各个单元的刚度方程，最后组装成该连续体的整体刚度方程。求解各个单元刚度方程的步骤如下：

① 将所有节点上的位移组成一个列阵qe，将所有节点上的各个力也组成一个列阵pe，若单元承受分布外载，可以将其等效到节点上。

② 假定一个插值函数，即位移(试)函数，比如

u(x, y) = ao+a1x+ a2y（平面问题的位移函数示例）

u(x, y, z) = ao+a1x+ a3y+ a4z(空间问题的位移函数示例)

其中，a0，a1，a3，a4为待定系数。

③ 根据节点已知条件（节点在固定位置的节点坐标）求解插值函数中的待定系数，然后把待定系数代入位移函数，得到如下方程：

u = Nqe，其中N为该单元的形状函数矩阵。

④ 由弹性力学问题的几何方程（矩阵形式），得到单元应变的表达：

ε = Bqe，其中B为几何矩阵.

⑤ 由弹性力学问题的物理方程，得到单元应力的表达：

σ = Dε = DBqe= Sqe，其中D为弹性系数矩阵，S为该单元的应力函数矩阵。

⑥ 将（u，ε，σ）代入单元势能的表达式，得到单元势能为：

其中Ke为该单元节点的刚度矩阵，其中Ue为单元的应变能，We为单元外力所做的功。

⑦ 对单元势能对节点位移列阵取一阶极值，可得到单元的刚度方程：

(3) 通过求解整体刚度方程，可得各个力学参数：位移、应力和应变。

2.2 分析讨论

(1) 插值函数的选择是影响有限元法的重要因素。一般都采用多项式函数作为插值函数，主要原因是采用多项式插值函数比较容易推导单元平衡方程，特别是易于进行微分和积分运算。随着多项式函数阶次的增加，可以提高有限元法的计算精度，但由此带来计算量大成为制约有限元法的瓶颈。

(2) 软组织力学参数的设定影响有限元法的精确度。相关参数包括弹性模量、泊松系数以及剪切弹性模量等。著名生物学家冯元桢认为人体软组织具有准不可压缩的材料性质。如果材料是不可压缩的，即泊松系数趋向于0.5时，有限元公式中弹性刚度矩阵系数就会趋向于无穷。所以，需要对应力和应变的构成关系式（即物理方程）进行重写，对有限元公式进行的修正，以体现软组织不同与弹性材料的特点[12]。文献[13]把人体软组织作为超弹性材料，对其材料参数进行了探讨，为有限元分析冲击研究中软组织显式求解的准确模拟提供了参考。

(3) 有限元网格化的离散化程度影响有限元的精确度和速度。有限元网格的类型决定了形函数的类型，单元网格的大小和形状决定了仿真的近似程度。文献[14]提出了对角点网格自动生成算法，该算法结构简单，能够生成任意形状的边界[14]。

2.3 建模技术过程

文献综述显示，目前多数软组织有限元建模案例多采用三维建模软件＋有限元分析软件（该类软件对有限元分析的求解过程进行了有效封装）相结合的技术路线。有限元建模技术路线图见图2[11,15-16]。

图2 基于有限元模型的软组织形变建模技术路线图Fig.2 The technology graph of Soft-tissue deformation modeling based on Finite-element model

文献[17]中采用了DICOM医学数字图像通讯标准+ Mimics +有限元分析软件的技术路线。CT图像直接以DICOM医学数字图像通讯标准存储，由Mimics读取DICOM3.0图像并直接建立三维模型，转换成三维有限元软件可识别的out格式。文献[18]中则采用了目前得到广泛应用的有限元分析软件ANSYS。对于复杂模型，可以采用先由3ds Max，Maya等三维建模软件建立模型后导入ANSYS中，进行网格划分和应力及应变分析的建模路线[18]。当ANSYS不能满足解决问题需求的时候，可以采用Matlab自主研发核心分析程序，再充分利用ANSYS的前后处理平台，完成任务。

3 结论

由于人体软组织的复杂特性，真正达到实时、精确、逼真的形变仿真效果还有很长的路要走。质点弹簧模型和有限元模型各有优缺点，充分的利用两者的优点，两相结合的混合模型，更有利于软组织形变精确仿真[19]。另外，如何将人体血流速度、心跳、体温等生理特征集成到软组织的动态形变过程中，是未来软组织建模需要解决的一个重要问题[20]。

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The Survey on Modeling Methods of Soft-Tissue Deformation in Virtual Surgery

【Writers】WANG Xiujuan1, DU Changjiang2, MA Hua1, SONG Wuli1

Soft-tissue deformation is one of the important research directions in virtual surgery. Mass-spring model and finiteelement model are the two most important modeling technology of the soft tissue modeling. It is very important for the current soft-tissue deformation modelling to analysize, to summarize the main idea, the influence factors and the modeling route of the two kinds of modeling methods and then to give comprehensive review.

virtual surgery, soft-tissue, deformation, mass-spring, finite-element

1 College of Information Engineering of Taishan Medical University, Tai’an, 271016
2 Department of Cardiovascular Surgery of the Central Hospital of Tai’an, Tai’an, 271000

R318.6;TP391.9

A

1671-7104(2015)01-0037-03

10.3969/j.issn.1671-7104.2015.01.010

2014-09-11

山东省高等学校科研计划项目资助（J12LN69）

王秀娟，E-mail: 1975wxj@163.com