分段函数模型在实际中的应用『三问』

郑晨珂

分段函数作为一种特殊的函数在实际中有着广泛的应用，小少同学在解题时常因把握不准分段函数的求解方法与步骤而导致出错，下面就分段函数的实际应用问题进行举例分析。

一、如何建立分段函数模型

分段函数的建模要点是：寻找关系、分段设问，依据条件、分段建模。

例1 已知A、B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，请把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，其函数表达式为______

解：由A地到B地共用时间为150÷60=2.5（h），停留h的距离不变，由B地返回A地共用时问为150÷50=3（h），由B地返回时的距离逐渐减小。所以

评析：此题主要是分段建模，对于第三段要注意的是回程的距离。

二、如何化解分段函数

解分段函数是化解分段函数应用问题的重要部分，分段函数化解的关键是：依据条件、分段化解。

例2 在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长ι（单位：m）的乘积与车距d（单位：m）成正比，且最小车距不得少于半个车身长。假定车身长均为ι（单位：m），且当车速为50km仆时，车距恰为车身长。问交通繁忙时应规定怎样的牟速，才能使在此路段的车流量Q最大。

评析：此题若不分段求解，就容易产生错解。

三、如何避免错解

分段函数模型应用问题容易出现错解，如建模出错、化解出错、结果与事实不符等。

例3 WAP手机上网每月使用量在500min以下（包括500min），按30元计费；超过500min的部分按0.15元/min计费。假如上网时间过短（小于60min），使用量在1min以下不计费，在lmin以上（包括1min）按0.5元/min计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。

（l）写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式。

（2）小王12月份的WAP上网使用量为20h.要付多少钱？

（3）小王10月份付了90元的wAP上网费，那么他上网的时间是多少？

解：（l）上网时间为x min。由已知条件可得所付费用y关于x的函数关系式为：

（2）由x=20×60=1200，且x>500，可知应付费为y=30+0.15（1200-500）=135（元）。

（3）因为90元已超过30元，所以上网时间超过500 min。由解析式可得上网时间为900min

评析：分段函数的应用问题的解题步骤为“审题”、“建模”、“求模”、“还原”。