三条路并的极值能量及一类图的能量排序

葛云鹏，火博丰，王春云，刁强强

（青海师范大学数学系，青海 西宁810008）

三条路并的极值能量及一类图的能量排序

葛云鹏，火博丰，王春云，刁强强

（青海师范大学数学系，青海 西宁810008）

拟序是图能量排序中一种有效方法，基于该方法，已经得到了大量图类的极值能量排序的结果.Gutman给出了点数和为n的两条路的并的能量排序，而三条路的并的能量排序没有一个理想的结论.本文利用拟序法给出点数和为n的三条路的并的极值能量及一类图能量的排序.

图能量；三条路的并；排序；拟序

1 引言

在化学图论中，化学分子图的能量可以反映图所对应的共轭分子化合物的热力学稳定性.图的能量越大（小），相应化合物的热力学稳定性越强（弱）.基于图能量的实际意义和理论价值，研究图的能量排序和极值能量有十分重要的意义.一些具体的结果可以参看文献［1-6］.

图能量排序中路并的排序是最重要的排序之一.Gutman在文献［7］中已经给出了点数和为的两条路的并的能量排序，利用他的这一结论，解决了大量图能量的排序，参看文献［8］.对点数和为n的三条路的并的能量排序，一直没有结论，本文利用拟序法给出点数和为n的三条路的并的极值能量及一类图能量的排序.

设G为n阶无向简单图，n阶方阵A（G）是G的邻接矩阵.G的特征多项式为：

这里I表示n阶单位矩阵.λ1，λ1，···，λn为ϕ（G，x）的特征根.文献［9］给出了G的能量定义

引理1.1［10］若n1阶图G1与n2阶图G2不相交，记G1和G2的并图为G1∪G2，则有

引理1.2［7］令n=4k，4k+1，4k+2，4k+3，则

顶点数和为n的三条路的并记为Pi∪Pj∪Pn-i-j（i≤j≤n-i-j），根据最短路Pi可将三条路的并划分为若干类Ai=｛Pi∪Pj∪Pn-i-j，i≤j≤n-i-j｝，其中1≤i≤[n/3].

注1.1为方便起见，对于顶点数为n的路Pn，如果n为偶数，则称路Pn为偶的，否则称其为奇的.

引理1.3顶点数和为n的三条路的并集Ai中：

证明 由引理1.1及引理1.2可知结论成立.

引理1.4三个相邻的集合Ai-1，Ai，Ai+1中：

a.当i为偶数时，若i≥2，有

即对于相邻的集合，以偶数为最短路的集合中的最大能量大于以奇数为最短路的集合中的最大能量.

b.当j为奇数时，若j≥3，有

若j=1，有

即相邻集合中，以奇数为最短路的集合中的最小能量小于以偶数为最短路的集合中的最小能量.

2 主要结论

定理2.1三条路的并Pi∪Pj∪Pn-i-j，i≤j≤n-j-i，1≤i≤[n/3]中，当i=j时，能量排序如下：

图2-1 三条路并Pi∪Pi∪Pn-2i的能量变化图

通过图像，可以更加直观的了解Pi∪Pi∪Pn-2i，1≤i≤[n/3]的能量变化.

上述定理可以用来比较一些树的能量，下面给出一个例子.

路Pn-i-j-k-l的一个端点分别与路Pi，Pj的悬挂点连接，另一端点与路Pk，Pl的悬挂点分别连接，称为四叉树，记为H（i，j，k，l），如图2-2.

图2-2 四叉树H（i，j，k，l）

特别地，四叉树H（i，j，k，n-i-j-k-2）为路P2的一个端点分别与路Pi，Pj的悬挂点连接，另一端点与路Pk，Pn-i-j-k-2的悬挂点分别连接（1≤i≤（n-3）/3）.如图2-3所示：

图2-3 四叉树H（i，j，k，n-i-j-k-2）

推论2.2如图2-4，在四叉树H（1，i，i，n-2i-3）中能量可排序为：

图2-4 四叉树H（1，i，i，n-2i-3）

图2-5 三条路并Pi∪Pj∪Pj的能量变化图

定理2.3顶点和为n的三条路并Pi∪Pj∪Pj中：

即当顶点总数n为奇数，j为奇数时，随着j的增大，能量相应减小；j为偶数时，随着j的增大，能量相应减小.

当顶点总数n为偶数，j为奇数时，随着j的增大，能量相应增大.j为偶数时，随着j的增大，能量相应增大.

定理2.4两个相邻的集合Ai，Ai+1中元素的排序：

综上所述，相邻两个集合类中元素，最短路为奇数的三条路并的能量均小于最短路为偶数的三条路并的能量.

定理2.5顶点数和为n的三条路的并Pi∪Pj∪Pn-i-j中，

分别具有最大，次大，第三大能量；

分别具有最小，次小，第三小能量，其中i≤j≤n-i-j，1≤i≤[n/3].

猜想1最短路为偶数的三条路并的能量大多数大于最短路为奇数的三条路并的能量，但是也会有最短路为奇数的大于偶数的，参见图2-6（a），图2-6（b）.

图2-6 三条路并的能量变化图

［1］Huo B，Li X，Shi Y，etal.Determining the conjugated trees with the third-through the six-minimal energies［J］.Match Commun.Math.Comput.Chem，2011，65：521-532.

［2］Huo B，Li X，Shi Y.Complete solution to a conjecture on the maximal energy of unicyclic graphs［J］.Eur. J.Comb，2011，32：662-673.

［3］Li H.On minimal energy ordering of acyclic conjugated molecules［J］.Math.Chem，1999，25：145-169.

［4］Guo J.On the minimal energy ordering of trees with perfect matchings［J］.Discr.Appl.Math，2008，156：2598-2605.

［5］Ou J.On ordering chemical trees by energy［J］.Match Commun.Math.Comput.Chem，2010，64：157-168.

［6］Wang W，Kang L.Ordering of the trees with a perfect matching by minimal energies［J］.Lin.Algebra Appl，2009，431：946-961.

［7］Gutman I，Polansky O E.Mathematical Concepts in Organic Chemistry［M］.Berlin：Springer-Verlag，1986.

［8］Li X，Y.Shi T，Gutman I.Graph Energy［M］.New York：springer，2012.

［9］Gutman I.The Energy of a Graph：Old and New Results，in：A.Betten，A.Kohnert，R.Laue，A.Wassermann（Eds.），Algebraic Combinatorics and Applications［M］.Berlin：Springer-Verlag，2001.

［10］Cvetkovic D，Rowlinson P，Simic S.An Introduction to the Theory of Graph Spectra：London Mathematical Society Student Texts［M］.London：Cambridge Univ Pr Cambridge University Press，2010.

The union of three paths′extreme energy and energy ordering of a class of graphs

Ge Yunpeng，Huo Bofeng，Wang Chunyun，Diao Qiangqiang
（Qinghai Normal University，Qinghai，xining 810008，China）

Quasi-order can effectively solve many problems for extreme energy.Based on this method，many results for extreme energy ordering have been determined.Gutman has given the ordering for the union of two paths′energy，but there is not a good conclusion for the union of three paths′energy ordering，this paper determined the union of three paths′extreme energy by quasi-order method and given the energy ordering of a class of graphs.

graph energy，three paths union，ordering，quasi-order

O157.5

A

1008-5513（2015）04-0387-16

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.008

2015-04-10.

国家自然科学基金（11261047）.

葛云鹏（1990-），硕士生，研究方向：模糊数学理论与计算.

2010 MSC:05C50