三次B样条在隧道断面拟合中的应用研究

李 涛,漆泰岳,王 睿,朱 鑫

(西南交通大学交通隧道教育部重点实验室,成都 610031)

三次B样条在隧道断面拟合中的应用研究

李 涛,漆泰岳,王 睿,朱 鑫

(西南交通大学交通隧道教育部重点实验室,成都 610031)

在研究已有隧道断面拟合方法不足的基础上,鉴于三次B样条灵活的独特优势,对圆弧型隧道和直墙型隧道断面分别采用三次样条和三次B样条进行拟合,并通过求取拟合曲线上点到标准断面曲线的距离对拟合效果进行评价。在Matlab7.0平台上编程实现上述过程,对样条拟合效果进行评价,结果表明,对于直墙型存在突变点类型的曲线,三次B样条曲线相对于三次样条曲线拟合效果更好。

隧道断面； 三次样条；三次B样条；拟合误差评价

1 概述

随着国家高速铁路的快速发展，隧道建成后的病害检测以及维修工作大大增加，而隧道断面的变形监测是各项检测中的重点，断面发生大变形会直接影响到隧道的安全。近年来的隧道断面检测方法可以分为两大类：一是摄影测量。包括近景摄影测量技术以及利用辅助光进行摄影测量；二是激光技术。包括二维激光扫描(隧道断面测量仪及二维激光扫描仪)和三维激光扫描。本文提出的断面检测系统正是在已有的断面检测技术的基础上提出了环向不等距安装激光测距传感器检测隧道断面的检测方案，该方案既避免了车载激光扫描仪在行进过程中产生的螺旋形，同时相对于三维激光扫描技术[1]既经济、又方便，还能满足一定的精度要求。系统的安装示意如图1所示。本文提出的隧道断面拟合新方法正是对该检测系统采集的断面数据的后处理。

图1 断面测量方案布置示意

已有的隧道断面轮廓拟合方法主要有椭圆拟合法[2]和三次样条插值法[3]，椭圆拟合法只针对圆形隧道，导致其使用范围有限。而三次样条插值对于圆弧型隧道(圆形、三心圆或者五心圆隧道)均使用。所以三次样条曲线已被大量地运用到工程领域中，文献[3]将三次样条运用到隧道变形轮廓拟合，得到比较好的拟合效果，并计算出了拟合之后断面的超挖量或欠挖量，但是对拟合的断面没有做出误差评价，王国辉[4]也将自然边界条件下的三次样条运用到断面轮廓拟合，并将拟合后的断面与标准断面进行比较，利用直接积分法对拟合后的断面计算断面面积，从而计算出超欠挖量，但都是针对圆弧型隧道，没有对直墙型隧道做出探讨。对于拟合断面的误差没有做出评价，只是利用积分法求出了两断面之间的面积。

基于上述原因，由于三次B样条灵活的特性，本文提出针对圆弧形隧道和直墙型隧道分别利用三次样条和三次B样条曲线进行断面拟合，然后对拟合后的断面与原标准断面进行比较，通过求拟合断面固定点与标准断面的最短距离作为参考标准评价拟合效果。

2 三次样条与三次B样条曲线

2.1 三次样条曲线

(1)

式(1)中，只要给定端点约束条件，就可得到{mk}，从而可以得到样条系数

(2)

对于实际隧道断面测量，端点约束条件直接影响拟合结果。实验通过验证采用压紧的三次样条效果更好，即通过调整两端点的一阶导数值确定三次样条曲线的形状。

2.2 B样条曲线概念

由于Bezier曲线在应用中的不足，为了克服Bezier曲线的问题，Gordon等人拓展了Bezier曲线，于是用B样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，就构成了B样条曲线[5-6]。其数学表达式

(3)

其中0≤t≤1，i=0,1,2,…，m。可以看出，B样条是分段的。给定m+n+1个顶点，则可定义m+1段n次参数曲线。式(3)中Fk,n(t)为B样条基函数，表达式为

(4)

三次B样条曲线由相邻4个顶点来定义，有n个顶点的三次B样条曲线，实质是由n-3个三次函数组成，并在连接处达到二阶连续。B样条曲线运用时非常灵活，曲线形状受相应顶点控制很直观，一个角点的修改只影响角点所在位置前后三段曲线的形状。同时B样条还具有其他样条不具有的特性，比如：三点共线制造拐点；四点共线制造直线；三点重合制造尖点等。这些特性使其能够表示各种图元。

2.3 B样条控制点反求

三次B样条对曲线进行拟合的时候，往往不能通过给定的数据点，系统采集到的数据点是型值点，拟合后曲线需要经过型值点，所以利用三次B样条进行拟合的时候需要进行控制顶点反算[7]。即已知三次B样条曲线上数据点P1,P2，…，Pn，反求n+2个控制点b1,b2,…，bn,bn+1,bn+2。根据三次B样条的性质，可以求出控制点满足的方程组为

(5)

由于控制点多两个点，需要添加两个边界条件。实验中采用的是b1=P2,bn+2=Pn，写成矩阵形式如下

(6)

通过矩阵求逆即可求出控制点坐标，再对控制点进行三次B样条拟合。

3 点到曲线最小距离算法

为了评价三次样条或者三次B样条拟合后曲线的误差，需要对拟合后的曲线和标准轮廓断面进行比较，这就是平面轮廓度误差评价[8-9]。设标准轮廓线为L，曲线上的点为Qi，拟合后的曲线为L′，曲线上点为Pi，曲线拟合的时候，用到了6个型值点，在型值点处，两曲线重合。为了拟合曲线与标准曲线的差别，采用点到曲线最短距离作为判别标准。

4 实验结果

为了验证三次样条和三次B样条对隧道轮廓的拟合效果，根据《隧道工程设计要点集》[12]，采用双线铁路隧道标准断面(三心圆)作为圆弧型隧道拟合的测试数据，单线铁路隧道典型的标准断面(直墙型)作为直墙型隧道拟合的测试数据进行了实验。应用三次样条曲线对三心圆轮廓进行拟合时，采用的是三次紧压样条(实验中验证了自然样条，结果表明与原曲线差别明显)，实际拟合过程中，不断调整端点斜率，以达到整体光滑的效果。拟合效果如图2所示，图3为拟合曲线和标准断面的比较图，其中红色线条为拟合曲线，蓝色线条为标准断面曲线。同理，采用三次B样条对三心圆轮廓进行拟合，拟合曲线与标准断面的比较效果如图4所示，可以直观地看出三次样条曲线和三次B样条曲线对三心圆拟合效果均比较好。然后通过求取点到曲线距离来定量分析拟合曲线的误差，点到曲线距离算法利用Matlab7.0优化函数编程实现。由于型值点有6个，将拟合曲线分为5段，对每一段求取点到标准断面距离的最大值。对图3与图4进行分段求取，图3按纵坐标增加的方向分段求取的结果分别为0.35，1.16，2.14，2.20，2.57mm，图4按纵坐标增加的方向分段求取的结果分别为0.50，1.40，2.35，2.45，2.86mm。比较结果可以得出三次样条与三次B样条对圆弧型隧道断面的拟合误差相差不大，想比较而言，三次样条由于在拟合时需不断调整端点斜率，人为影响因素较大，所以采用三次B样条对圆弧型隧道进行拟合。

图2 三次样条拟合三心圆效果图

图3 三次样条拟合三心圆与标准断面对比

图4 三次B样条拟合三心圆与标准断面对比

同理，分别用三次样条与三次B样条对直墙型隧道断面进行拟合。图5为三次样条对直墙型隧道断面拟合与标准断面的对比图，在直墙型的尖点处三次样条以平滑的曲线过渡，造成了此处的误差较大，同时对拱肩和拱顶的拟合误差也较大。由于三次B样条具有制造尖点的特点，采用三次B样条拟合直墙型隧道，为了显示对尖点的构造效果，需预先给定尖点的坐标，对三次B样条进行编程，并通过控制点反求，得到的三次B样条的拟合结果如图6所示，可以直观地看出对于直墙型断面而言，三次B样条比三次样条拟合效果更好，这是由于三次B样条自身灵活的特性决定的。同理通过求取点到曲线距离来评价三次样条和三次B样条对直墙型隧道的拟合效果。图5得出的结果纵坐标增加的方向分别为0.78，1.23，3.28，2.67，3.82 mm，图6得出的结果为0.15，0.21，2.14，1.85，3.25 mm。比较结果可以得出，拟合直墙型隧道断面三次B样条较于三次样条误差更小，拟合效果更好。

图5 三次样条拟合直墙型与标准断面图对比

图6 三次B样条拟合直墙型与标准断面对比

5 结论

提出了针对圆弧型隧道和直墙型隧道分别利用三次样条与三次B样条进行拟合的方法，并通过在Matlab7.0平台上对算法进行编程，采用标准隧道断面进行实验，然后通过求取点到曲线距离定量评价三次样条和三次B样条对断面的拟合效果，结果表明三次样条与三次B样条对于圆弧型隧道的拟合误差差别不大，而对于直墙型隧道，三次B样条的拟合效果更好，考虑三次样条在拟合过程中存在人为因素的影响，故对于圆弧型隧道与直墙型隧道均采用三次B样条对隧道断面进行拟合，从而也证明了对于直墙型存在突变点类型的曲线，三次B样条较三次样条能够更好地拟合。

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Application of Cubic B-spline in Fitting Tunnel Section

LI Tao, QI Tai-yue, WANG Rui, ZHU Xin

(MOE Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering, Southwest Jiaotong University Chengdu 610031, China)

Based on the study of the inadequateness of existing methods for fitting tunnel section, in view of the unique advantages of flexibility for cubic B-spline, this paper presents respectively cubic spline and cubic B-spline according to arc tunnel and straight wall type section. And the fitting effect is evaluated with the distance between the point on the fitting curve and the standard cross-section curve. The above process is programmed on MATLAB7.0 platform to evaluate the effects of spline fitting, and the results show that cubic B-spline achieves better fitting for those curves with mutation points (cusps) of straight wall tunnel section.

Tunnel section; Cubic spline; Cubic B-spline; Fitting error evaluation

2014-10-08；

2014-11-10

国家自然科学基金项目(51278423)；中央高校基本科研业务费专项资金项目(WSJTU11ZT33)；教育部创新团队发展计划资助

李 涛(1988—)，男，硕士研究生，E-mail：loadringrain@hotmain.com。

1004-2954(2015)08-0127-04

U452

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2015.08.027