基于应变模态的直接损伤定位法＊

范 涛，曾春平，马 琨

(昆明理工大学 理学院，云南 昆明 650500)

桥梁等结构在正常工作过程中，会受到各种自然灾害、环境腐蚀、超荷载以及材料疲劳效应的影响，出现裂缝或损伤。判断损伤结构是否有损伤以及损伤的位置的确定，可以帮助人们发现损伤的危害，及时修复，降低损伤的累计程度，减少经济损失。

模态分析是损伤检测分析的重要手段之一，而相对与位移类的模态参数，应力应变参数对损伤的出现、位置和损伤程度要敏感得多［1］。英国学者Hillary 研究了力—应变的传递函数，最早提出了应变模态的概念，引起国内外学者的关注;李德葆1991 年导出了应变响应公式及应变频响函数的矩阵，得到了结构模态实验的基本方法;周先雁1997年首先通过实验，实现了在应变模态的方法下对损伤结构位置识别;顾培英2006 年利用模型试验、理论推导、数值仿真三种识别方法，对不同大小简支梁桥的损伤分析试验，更全面的研究了不同损伤位置应变模态的变化规律，提出了直接指标法［2，3］。

1 基础理论

1.1 应变模态的基本理论

应变是位移的导数，每一阶应变必有与其相对应的固有位移模态分布状态，这种与位移模态相对应应变分布状态称之为应变模态，他们是同一能量平衡状态的不同表象形式，和位移模态一样应变模态反映了结构的固有特征。

以连续梁的振动方程为例:

式中:v(x，t)表示截面处在t 时刻的振动横向位移，m(x)为梁单位长度质量，EI(X)表示抗弯刚度，a1为刚度比例系数。

由结构动力学可知，结构的形变能的固有平衡状态是结构做无阻尼振动模态振型，这个平衡状态并不以其他平衡状态为依存条件。模态分析就是坐标变换的一种，原来在物理坐标系统中对应的响应向量就是“模态坐标系统”中所对应的量［1］。由于每个特征向量之间是相互正交的，模态坐标系统中的基向量和振动系统中的特征向量相对应，可用相互独立坐标来描述各个振动响应向量，而真实位移响应则为各个模态的叠加;因此，位移响应可以由各个模态之和表示，已知连续梁的各阶位移，则位移响应可以用模态叠加表示为［4］:

应变响应同样的形式可表示为:

式中:φr(x)为各阶位移模态;φ(x)为应变模态;qr(t)、q'r是位移模态坐标、应变模态对应的模态坐标;v(x)，ε(x)分别表示位移模态、应变模态在响应中所占的大小;r为模态阶数。

1.2 应变模态与曲率模态

曲率模态是结构中性面的弯曲程度的模态量，中性面不因弯曲而应变，在中面上的应变响应为零。曲率模态不仅可以表征承弯结构的变形特征，还可以推断结构的应变状态［4］。由材料力学的直梁弯曲静力关系:

式中:Mm为弯矩，1/ρm为曲率，EmIm为抗弯刚度。曲率1/ρ 由直梁弯曲的变形可以近似方程:

式中，φ为弯曲绕度，x为沿直梁长方向的坐标。写成差分方程代入(1)可得:

式中，m 是测量点，Δ 是两个测量点的间距。

简直梁的应变ε 和承弯形变对应，可表示为［5］:

式中，h为测量点到中性层的间距。

综上得到梁的应变模态、曲率模态、位移模态三者之间存在的关系。

2 损伤判断

损伤即机构在负载以及环境的作用下，结构的局部发生结构的劣化过程［6］。本文用单元弹性模量的折减来表示单元发生相应的损伤程度:

式中，Di代表损伤程度，EIsi为损伤后的弹性模量，EIi为无损伤的弹性模量。

3 简支梁损伤识别数值模拟

3.1 有限元模型建立

有限元模型如图1 所示，大小尺寸为:横截相等B× H=1.5 m×2 m，梁的长度为L=40 m;材料属性为:材料密度ρ=7800 kg/m3，泊松比为μ=0.3，弹性模量E=2.06×1011N/m2。

图1 有限元建立模型图

采用ANSYS 有限元软件的beam188 单元建模，将这支梁沿长度划分40 个单元，纵向2 单元，这样轴向有41 个节点，相邻节点的长度为1 m。

3.2 模拟工况

模拟分析的工况见表1。

表1 工况模拟分析

3.3 单位置损伤

Ansys 仿真分析得到各单元的应变值，然后使用matlab 进行绘图，得到各种损伤工况下的应变模态拟合曲线图，如图2 所示。

图2 不同损伤下的应变模态曲线图

从图2 可以看出，简支梁桥在损伤单元处应变模态值发生了突变，曲线型成尖峰;损伤程度变大，突变的突起程度也越高，其他没有损伤的单元拟合曲线相对平滑;图2(b)二阶应变模态，由于损伤在两个振型的节点处所以突起不明显;同时也可以看出模态阶越高，突变尖峰越明显，但是在实际检测中低阶的模态更容易获取，因此本文采用了前三阶弯曲模态振型进行分析。

损伤较小的情况，模态曲线的突变尖峰并不明显，而相同损伤下应变模态相对应的应变模态差的变化更为明显:

式中，Δφr表示应变模态差，φrd和φr0分别表示损伤和无损伤的应变模态。

图3 单损伤应变模态差

图3(a)、(b)、(c)、(d)分别为5%、10%、20%、30%损伤工况下简支梁的前三阶应变模态差。分析曲线:一阶到三阶曲线均出现明显的尖峰;损伤的程度越大，尖峰突起越高;模态阶数越高，尖峰突起也越高。

3.4 双位置损伤

对有两处损伤的简直梁模拟分析，得到应变模态差如图4 所示。

图4 双损伤应变模态差

由图4 可以看出，对于两处损伤的梁，损伤位置的突变也很明显，和单处损伤有相同的规律。经过大量模拟仿真结果，多处损伤，即使有相邻的两个单元损伤也有同样的结果。

4 结论

综上所述，本文阐述了模态分析的基本理论，位移模态、曲率模态和应变模态之间存在的关系。通过Ansys 软件对简支梁建模分析，得到应变模态，利用matlab 软件绘制曲线图，进一步分析得到应变模态对简支梁桥的损伤非常敏感，利用应变模态以及应变模态差能够很好的反应梁是否损伤、损伤程度、损伤位置。虽然应变模态差能更好的反应梁的损伤状况，但是应变模态差需要依赖无损伤梁的应变数据，应变模态不需要原始数据更符合实际应用。

［1］韩红飞，周邵萍.基于应变模态差的管道损伤识别仿真［J］.振动、测试与诊断，2013，33(1):2－3.

［2］Pandey A K，Biswas M，Samman M M.Damage detection from changes in curvature mode shapes［J］.Journal of sound and vibration，1991，145(2):311－323.

［3］赵才友，王平.基于应变模态变化率的钢轨损伤检测［J］.振动、测试与诊断，2012，32(5):3－4.

［4］邓焱.严普强梁及桥梁应变模态与损伤测量的新方法［J］.清华大学学报，2000，40(11):2－4.

［5］顾培英.用应变模态技术诊断梁结构的损伤［J］.地震工程与工程振动，2005，25(4):48－53.

［6］杜永峰，张冬兵.曲率模态和神经网络在损伤识别中的应用［J］.公路交通科技，2007，24(11):74－80.