变中激趣，趣中促效——中职数学多元表征的变式教学实践探究

申海滨 (浙江省杭州市闲林职业高级中学 311122）

变中激趣，趣中促效
——中职数学多元表征的变式教学实践探究

申海滨 (浙江省杭州市闲林职业高级中学 311122）

本文以系统论、学习论、认知论为理论依托，阐述了中职数学多元表征的变式教学的基本功能、实践操作的要领和注意事项，并在实践的基础上对如何搞好中职数学多元表征的变式教学进行了反思与思考。目的是通过变式与多元表征相互作用来激发学生的学习热情，发挥教师主导、学生主体地位的作用，真正实现“以学定教”的核心思想。

中职数学 以学定教 多元表征变式教学

中职生源质量逐年降低，学生的数学基础较差，在长期数学学习中不能完成预期学习，经常体验失败的挫折感，以至于在情感、动机、行为上表现出一种消极心理状态，丧失了自信心，质疑自己的智力水平和数学学习能力。具体表现为，在课堂上不能主动积极地参与课堂，抬头的学生闷声不响不发表意见，低头的学生各管各的事情，表现出事不关己高高挂起的冷漠状态。为了改变这一状况，我提出了进行多元表征的变式教学。数学多元表征是指同一数学知识的不同表现形式，可以形象地凸显一个数学对象的多元属性，把握数学学习对象的本质属性和非本质属性。多元表征学习能丰富学生多角度的知识理解，帮助学生形成科学的知识体系。变式教学是传统的中国数学教学方法，在“四基”方面有着独特的功能，它能激发学生的学习兴趣，培养学生的思维品质，培育学生的创新精神。由此来看，可以说数学多元表征学习与变式教学的本质是一样的。本文利用变式问题促进学生多元表征，以多种表达手段为支撑，多元表征来变式，以学定教，以期达到“变中激趣、变中促效”的目的。

一、多元表征的变式教学概述

(一)多元表征的变式教学核心思想

多元表征的变式教学核心思想是“以学论教”。一方面，教师要为学生搭建合理的学习平台，通过不同的表征观察、思考学习，把学生推到解决问题的前台，凸显出学生的主体作用；另一方面，教师应立足学生，围绕同一知识点，坚持低起点、慢步调、小难度来设置多元表征问题变式，促进学生学习，使他们形成知识体系。

(二)多元表征的变式教学特点

1.系统性

多元表征与变式教学是一个有序、反馈、整合的教学系统，它能呈现数学概念、原理、思想方法内在的联系，使学生在学习中通过观察、区分、比较、图示，梳理出知识之间的内在联系，从而有选择、有规律地建构成知识整体。

2.层次性

多元表征的变式教学就是从多个角度、多层次突显出概念的内涵，逐步揭示概念的本质属性。运用此方法教学，能使不同认知水平的学生在学习相同的数学概念、思想方法时，建构和完善知识结构，建立新旧知识的有机联系。

3.渐变性

多元表征的变式教学利用同一数学教学主题的不同表现形式，不断变更问题的情境或改变学生思维的角度，在保持数学主题的本质特征不变的情况下，深刻地揭示问题的实质，易让学生理解。

(三)多元表征与变式教学的理论依据

1.从系统论看基于多元表征的变式教学

系统论是科学的世界观和方法论。①多元表征的变式教学系统符合系统论的三条原理：反馈原理、有序原理、整体原理。

2.从学习论看基于多元表征的变式教学

奥苏贝尔认为有意义学习是新知识和已有知识某些特许方面建立学习者新旧知识的合理和实质性的联系。一方面，多元表征的变式教学可以使学生多角度地理解数学知识的本质属性，使得学生获得知识的本质联系；另一方面，通过知识点的多元表征转化，学生可以获得数学知识形成、问题解决的经验，建立新旧知识的有机联系。

3.从认知论看基于多元表征的变式教学

从知识认知论看，不同类别的知识是互补的，在一定条件下可以相互转化，多元表征的变式教学，符合两类知识转化理论，从发展认知论看，学生认知的基础是经验，经验有各种形式、概念及理论结构。多元表征的学习，就是经验与直觉的重现，能发展学生的思维。

二、多元表征的变式教学实践

（一）落实目标，关注学生

课堂教学核心就是落实知识与技能。在一节课或一个知识板块的学习中应始终以本节课的教学目标为限度。多元表征的变式教学十分重视学生的主体作用。不同的学生头脑中信息表征的方式千差万别，在认知活动中，我们应关注学生的个体差异，重视学生在学习活动中的真实思维。

案例1 数列的通项公式

步骤1：剪纸。将一张长为16厘米的正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去，剪六次一共剪出多少个小的正方形？

设计意图：学生利用课前准备好的正方形纸片、剪刀，动手操作，教师做适当的指导，有个别学生不理解怎样剪时，教师可恰当给出示范。通过动手实践，激发学生的兴趣，让学生参与到课堂学习中去。

步骤2：填表。把每一次剪得的正方形数填在下面的表格。

剪的次数（n） 1 2 3 4 5 6 ．．．．．．4 7 10 13 16 19 ．．．．．．正方形个数（na）

当学生把表格填好后，进一步提出以下问题：

（1）如果能剪99次，共剪出多少个正方形？根据表格里的数据分析，你发现什么规律？

（2）所剪的正方形个数an与所剪的次数n有什么关系？用数学表达式表示。

设计意图：填表的过程是一个难度较低动手实践的过程，每一个学生都可以参与到教学活动来。在活动中，学生经历了动手实验，已对知识获得有了感性认识，再经历对以上两问题的思考、猜想，然后就能总结出数列的通项公式：an=3n+1(n为自然数)。

步骤3：应用。

（1）计算要剪出28个正方形，共要剪多少次？

（2）能不能将原来的正方形剪成2001个小正方形呢？为什么？

设计意图：这两个问题的提出，让学生在经历思考之后认识到了归纳出的公式的重要性，而后一个问题是把 an=2001代入公式 13+=nan，得方程 200113=+n，转化为判断此方程是否有自然数解的问题。因为关于n的一元一次方程没有自然数解，所以不能将原方程剪成个小正方形。这样，学生通过符号表征就能理解项与项数的关系。

步骤4：还原图形、观察变化。将剪完的所有正方形拼成原来的正方形，并画出平面图形（图略），通过观察这个图形你发现了什么规律？

（1）每次剪得的正方形的边长都是前一次剪得的小正方形边长的一半。

（2）每次剪出的小正方形面积都是前一个正方形面积的四分之一。

设计意图：通过图形的还原，借助直觉形象表征，能将学生的抽象思维具体化。另外，给学生准备一种与实际经验相联系的情境，可以让学生直接参与，充分发表自己的观点。通过这样的学习情境，学生的探究活动成为可能，极大地调动了学生思维的积极性，使每个学生都获得了成功的喜悦，思维处于高度活跃状态。

步骤5：如果有一个边长为1的正方形，那么第n次剪得的正方形边长是多少？或设na表示第n次所剪得的正方形边长，试用含有n的代数式表示na。

设有一个正方形的边长为1，剪n次后，每次剪得的小正方形边长之和与原正方形边长有什么关系？

学生有畏难情绪时，教师可引导学生认真观察，鼓励学生积极思考，建立数与形之间的联系，启发学生把这个问题转化为比较 a1+a2+a3+…… ＋an与1的大小关系，从中发现规律：

……

由此运用不完全归纳法，得出结论：

可见，多元表征的目的就是让学生从多个角度理解数学知识，从不同角度有序推进数学教学，帮助学生寻找解决不同问题的办法。因此，在课堂中，我们要以形取意，落实教学目标。在课堂教学中，教师可利用数学知识表现形式的多样性，为学生提供图、表、文字、符号等各种表示，创设一种变化多样的教学情境，并为学生创造探索数学规律的机会，这样教学活动才能开展得更加生动活泼而富有成效。

（二）激发兴趣，诱导参与

利用多元表征形式的教学内容，创设多样的学习情境，激发学生兴趣。所谓“多元表征”是指同一事物的不同表现形式。同一数学知识可能拥有不同表示形式，现代信息技术由于具有具体形象、动静结合、声色兼备的“多元表征”的表现力，可以便利地呈现丰富的教学内容，我们可借助它创设生动、形象的学习情境，激发学生的学习兴趣。

案例2 平面的概念教学

步骤1：让学生触摸教室的窗户玻璃、课桌面、墙面面、黑板、事先准备好的乒乓球、圆柱型茶罐等，观察自己的手型变化，目的是通过触摸使学生对平面、曲面有初步的感觉。

步骤2：利用多媒体，具体形象展现出平面的无限延伸性，让学生利用视觉表征的特性进一步理解教学对象。

步骤3：教师介绍平面的写法、读法，并且随手画出水平放置、竖直放置的平面（不用尺，作图非常不规范），引导学生阅读相关教学内容。通过文本的阅读，掌握平面的写法、画法。

步骤4：学生点评教师所画的图，指出不合理的地方，之后教师在学生的指引下，做出图形，并与学生一起读出图形。通过纠错的形式，让学生进一步掌握平面的读法、画法。

步骤5：先让学生在草稿纸上按要求做出一个平面，然后在第一个平面上再画一个平面，将这两个平面组合成一个图，接着教师展示学生作品，让学生说说自己画的图形，最后让学生找找生活中的图形原型，将空间图形与实物图形联系起来，以帮助学生建立空间感。

步骤6：引导学生作图，引导学生观察平面与平面虚实部分、公共部分等，为平面的性质教学做铺垫。

设计意图：职高教材中，平面的概念是这样界定的——数学中平面是光滑并且可以无限延展的图形。显然平面的概念是一个描述型概念，但在教学中平面又是一个核心概念，是本章学习的基础。这一节的教学目的就是让学生了解平面的概念，会读、会画平面。通过学生触摸—教师演示—阅读文本—实践联系—展示成果，可从不同的感觉通道、不同的表征方式理解平面，让学生掌握平面的读法、画法。

其实，每一个数学知识都有不同的表示形式，教师可以利用折纸、语言、书写文本、数学公式，也可以利用图形、图表、图像等形式，来凸显同一个知识的不同表现形式，帮助学生理解。一个数学知识的多元表征的结构好比星形的冰山，中心是知识的核心概念，每一个尖端对应着一个表征形式，而完整数学知识就是整座冰山，教师应重视学生知识体系的构建。

（三）突出重点，突出难点

恰当运用“可视化”数学表征技术，能突出重点，突破难点，帮助学生理解数学，发展数学思维。数学思维过程（一般难度较大的思维）应以“可看得见的、清楚的”图形、图像、图表等表征的形式表示出来，使人们对其有一个形象、直观的认识和理解。卫星云图、医疗成像都是计算机可视化的实际应用。可视化数学表征技术通过数学专业软件（如几何画板、Mathcad 等）来实现。几何画板是一种动态的可视化数学软件，特别是它的动态功能和易操作性是其他软件所不能比拟的。另外，教师还可以运用现成的微型软件，如用flash动画软件、VB等语言做成的执行程序，实现数学可视化。可视化的特点是能使抽象的符号、复杂而零散的数据得到直观显示，帮助学生理解数学关系的本质，提升数学思维品质。

案例3 指数函数的图像与性质

步骤1：创设情境。

(1)如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？

大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？

师：51号同学需要准备大米约5克。

(2)如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？

大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？

师：51号同学需要准备的大米约1.2亿吨。

在以上两个问题中，每位同学所需要准备的米粒数用y表示，每位同学的号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？

学生易得到：

设计意图：通过实例，给出指数函数的背景，引出指数函数的概念。学生估算，并说各自估算的结果后，教师公布事先估算的数据。通过与一次函数的对比，学生能感受到指数函数的爆炸增长，激发了学习的兴趣和欲望。

x … 3-2-- 0 1 2 3 …1…………x y2= …111 1 2 4 8 824y) 2 = … 8 4 2 1 (1x ……1 1 1 4 2 8

设计意图：通过列表便利地呈现丰富的教学内容，生动、形象地创设学习情境，清晰地刻画两个变量的对应关系，这样有利于学生感受到指数函数的性质，培养学生观察分析的能力，渗透数形结合的思想。

步骤3：绘制函数图像，进一步体会指数函数的性质。[指数函数的图形（略）]

步骤4：对照图形说说指数函数的性质。

步骤5：对照图形再一次阅读教材。

步骤6：利用助学光盘中的软件，让学生做出指数函数的图像。(输入底数，点击作图即可得到指数函数的图像)

通过实例、填表、作图，说说指数函数的性质，能促成实例、图表、口语文本等不同表征的相互联系，促使学生灵活理解指数函数的本质，深化数学思维。我们应合理运用不同学生表征的各自特点，通过实物模型、图形、图表、图像描绘数学知识，以加深学生对数学知识的本质理解。

（四）灵活转换，深化理解

实物模型、图表、口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征具有各自的特点与功能。如实物模型、图形等表征能形象地刻画数学知识的具体特征，有益于直觉形象思维、创新思维的培养；文字、符号等表征适合于抽象逻辑思维，有助于理性思辨的培养。而表征间的转化体现逻辑思维与非逻辑思维的互补。大量研究表明，学生头脑中数学对象表征的结构性、丰富性、联系性及其相互之间的灵活转化代表着自身数学理解能力和问题解决水平的高低。教学中，教师应刻画数学知识的多种表征，发挥“多元表征”的相互联系与互补功能，促进学生对表征的灵活转化，加深他们对数学知识的本质理解，深化他们的数学思维。

（五）整合环境，倡导创新

职高学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习。教师应引导学生选用自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式，同时设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，从而让学生更好地掌握数学知识。

案例4 一元二次函数的实际应用

问题1：为了改善小区环境，某小区决定要在一块靠墙（边长25米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住。若设绿化带BC的边长为x米，绿化带的面积为y平方米。

（1）求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

教师要与学生一起分析问题，找出切入点，构建数学模型，进而建立关系式，形成求最值问题。最后，展示考试中的错解，分析原因。

问题2：眼看要毕业了，有同学建议来一次集体旅游，为我们的职业高中生活画上圆满的句号。班长王斌去旅行社打听到这样一个信息：南京两日游每人单价360元。旅行社对超过40人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低3元。现在我们班级有49人，那么需要付出多少费用呢？从旅行社考虑，当旅行团里的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

问题3：最大营业额是最大利润吗？

如果每人在整个旅行中的成本是240元，那么人数为多少时旅行社获得利润最大？为了不亏本，旅行团的人数有没有上限呢？（师生共同解决）

三、多元表征的变式教学思考

（一）教学目标明确

从学生的角度看，多元表征的变式教学目的是激发学生兴趣，发展学生思维。这就要求多元表征的变式问题不能超越学生现在的水平、脱离学生生活实际，而要有一定的启发性和挑战性，能促进学生思维发展；从教学者的角度来看，教师应利用实物模型、图表、口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征各自的特点与功能，借助变式，明确教学目标。所有的多元表征的变式问题都要有鲜明的意图，并围绕主题的目标展开，通过系列的多元表征，学生能够自主建构相关的数学概念、数学思想、方法，教师能提高课堂教学效率。

（二）多元表征的变式问题要难度适宜

在教学活动中，根据教学内容进行探讨时，教师要预见基于学生自己的经验和理解可能产生的一些不成熟表征，对学生各个维度表征进行引导。需注意的是，多元表征的变式问题不能太难，要符合学生的认知规律和身心发展规律，在学生的学习的最近发展区内，不能让学生有望而却步的感觉，但也不能太简单，让学生不动脑筋轻易就得到答案。

（三）多元表征的变式问题要层次分明

多元表征的变式问题的设计要紧扣教学目标，依据学生思维活动的特点，遵循一种由浅入深、层层递进的关系，且问题与问题之间应层次、脉络分明。

（四）设问自然

多元表征的变式问题设计要遵循自然的规律，避免生搬硬套，过于牵强附会，让人觉得不自然，琢磨不透设计的意图，搞不清楚是怎么想到这个问题的。

注释：

①査有梁.控制论、信息论、系统论与教育科学[M].成都：四川省社会科学院出版社，1986：56.

[1]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].中学数学教学参考，2011（5）.

[2]郑毓信.多元表征理论与概念教学（续）[J].中学数学教学参考，2011（6）.

[3]郑毓信.变式教学理论的必要发展[J].中学数学教学月刊，2006（1）.

[4]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

[5]万伟.对“先学后教”类教学模式推广的反思[J].中小学管理，2010（11）.

[6]游建国.变式训练在数学教学中的作用[J].时代教育：教育教学版，2008.

[7]温和群.变式训练在数学教学中的重要性[J]教育实践与研究，2008（22）.

[8]叶兴炎.变式教学——轻负担高质量教育的依托[J].中学数学研究，2006（11）.

[9]顾泠沅，郑润州.青浦实验启示[M].上海教育出版社，2000.

（责编 房晓伟）