m-拟-⋆-A（k）算子的谱

王红卫

（新乡广播电视大学基础教研室， 河南新乡 453003）

m-拟-⋆-A（k）算子的谱

王红卫

（新乡广播电视大学基础教研室， 河南新乡 453003）

设k＞0，m为正整数，若T满足T⋆m（T⋆|T|2kT）1/k+1Tm≥T⋆m|T⋆|2Tm，则T是m-拟-⋆-A（k）算子。本文给出m-拟-⋆-A算子的一些例子，并证明若T是m-拟-⋆-A算子，则σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

m-拟-⋆-A（k）算子；点谱；近似点谱

设H为无穷维的可分的Hilbert空间，B（H）为H上有界线性算子代数的全体。若T满足T*T≥TT*，则称T为亚正规算子。近年来算子理论的一个研究热点是对亚正规算子的自然扩展。在文献［1］中，T.Furuta等定义A类算子为|T2|≥|T|2，其中|T|=（T*T）1/2，且亚正规算子是A类算子，在文献［2］中，定义A（k）类算子为（T*|T|2kT）1/k+1≥|T|2，作为A（k）类算子的变型，杨长森等在文献［3］中引入了*-A（k）类算子，满足条件（T*|T|2kT）1/k+1≥|T*|2.作为*-A（k）类算子的扩展，作者在［4］中引入了m-拟-*-A（k）算子如下：

定义1设k＞0，m为正整数，若T满足

T*m（T*|T|2kT）1/k+1 Tm≥T*m|T*|2Tm，

则称T是m-拟-*-A（k）类算子。

显然*-A（k）类算子是m-拟-*-A（k）算子

记σ（T），σa（T），σja（T），σp（T）和σjp（T）分别为T的谱，近似点谱，联合近似点谱，点谱和联合点谱。若存在一个非零x∈H，。使得（T-λ）x=0，则称λ为T的点谱；进一步，若（T*-λ-）x=0，则称λ为T的联合点谱。类似的，若存在一列单位向量｛xn｝，使得（T-λ）xn→0，则称λ为T的近似点谱；进一步，若（T*-λ-）xn→0，则称λ为T的联合近似点谱。有定义知σja（T）σa（T），一般σja（T）≠σa（T）.近来，已证明一些非正规的算子T满足σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝［5-9］.本文将此结论推广到m-拟-*-A算子。

第二部分，给出了m-拟-*-A算子的一些例子，证明了若T是m-拟-*-A算子，则σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

主要结果

通关简单的计算，我们可以得到以下引理。

引理1.1设K=Hn.其中Hn≌H，A，B是H上的正算子，在K上定义算子TA，B如下：

则下列结论成立：

（i）TA，B是*-A（k）类算子当且仅当（AB2kA）1/k+1≥A2且B2≥A2.

（ii）TA，B是2-拟-*-A（k）类算子当且仅当A2B2A2≥A6.

下面的例子说明2-拟-*-A（k）算子不一定是*-A（k）算子.

例1.2一个不是？-A（k）而是2-拟-？-A（k）算子的例子

令A和B如下

因此，TA，B不是*-A（k）算子.

另一方面，由于

因此TA，B是2-拟-*-A（k）算子.

考虑无限维Hilbert空间上的单侧加权移位算子.给出有界正数序列α：α1，α2，α3，…（称作加权），把H=l2空间上与序列α有关的单侧加权移位算子Wα定义为Wαen=αnen+1.通过计算，得Wα为m-拟-*-A（k）算子的充要条件是

其中

（αi+mαi+m+1k）1/k+1≥αi+m-1（i=1，2，3，...）.

下面的例子说明m+1-拟-*-A（2）算子不一定是m-拟-*-A（2）算子.

例1.3一个不是m-拟-*-A（2）算子，但却是m+1-拟-*-A（2）的算子.

设T是单侧加权移位算子，给出加权序列（αi），令α1=1，α2=1，α3=1，···，αm=3，αm+1=1，αm+2=8，αm+2=αm+3=αm+4=···.通过简单的计算得，T是m+1-拟-*-A（2）算子，但不是m-拟-*-A（2）算子.

引理1.4［4］设T是m-拟-*-A（k）算子，其中0＜k≤1，且λ≠0，若Tx =λx，则T*x=λ-x.

引理1.5［10］设H是一个复Hilbert空间.则存在一个Hilbert空间K使得H K，且存在一个映射φ：B（H）→B（K）满足

（i）φ是代数B（H）在K上的忠实*-表示；

（ii）φ（A）≥0，A≥0；

（iii）σa（T）=σa（φ（T））=σp（（φT）），T∈B（H）.

引理1.6［9］设φ：B（H）→B（K）是Berberian忠实*-表示，则σja（T）= σjp（φ（T））.

定理1.7设T∈B（H）是m-拟-*-A（k）算子，其中0＜k≤1，则

（i）σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝；

（ii）若（T-λ）x=0，（T-μ）y=0，且λ≠μ，则＜x，y＞=0；

（iii）σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

证明 （i）由引理1.4显然可得.

（ii）不失一般性，不妨设μ0.则由引理1.4可得（T-μ）*y=0.因此，μ

＜x，y＞=＜x，T*y＞=＜Tx，y＞=λ＜x，y＞.因为λ≠μ，从而＜x，y＞=0

（iii）设φ：B（H）→B（K）是引理1.5中的Berberian忠实*-表示。下证φ（T）也是m-拟-*-A（k）算子

事实上，T是m-拟-*-A（k）算子，由引理1.5可得

（φ（T））*m［（（φ（T））*|φ（T）|2kφ（T））1/k+1-|（φ（T））*|2］（φ（T）m=φ（T*m［（T*|T|2kT）1/k+1-|T*|2］Tm）≥0.

从而由引理1.5和引理1.6得

σa（T）｛0｝=σa（φ（T））｛0｝=σp（φ（T））｛0｝=σjp（φ（T））｛0｝=σja（T）｛0｝.

［1］Furuta T，Ito M，Yamazaki T.A subclass of paranormal operators including class of log-hyponormal and several related classes［J］.Sci Math.，1998，1:389-403.

［2］Furuta T.Invitation to Linear Operators［M］，London:Taylor& Francis，2001.

［3］Yang C S，Shen J L.Spectrum of class absolute-？-k-paranormal operators for 0≤k≤1［J］.Filomat，2013，27（4）:671-678.

［4］Wang H W.The properties of m-quasi-？-A（k）operator［J］.in press.

［5］Aluthge A，Wang D.w-hyponormal operators II［J］.Integr.Equ. Oper.Theory，2000，37（3）:324-331.

［6］Ch-o M，Yamazaki T.An operator transform from class A to the class of hyponormal operators and itsapplication［J］.Integr.Equ.Oper.Theory，2005，53（4）:497-508.

［7］Tanahashi K.On log-hyponormal operators［J］.Integr.Equ.Oper. Theory，1994，34（3）:364-372.

［8］Uchiyama A.Weyl's theorem for class A operators［J］.Math.Inequal. Appl.，2001，4（1）:143-150.

［9］Xia D.Spectral Theory of Hyponormal Operators［M］.Basel: Birkhauser Verlag，1983.

［10］Berberian S K.Approximate proper vectors［J］.Proc.Amer.Math. Soc.，1962，13:111-114.

The Spectrum of m-quasi-*-A（k）Operator

Wang Hong-wei
（Based Teaching and Research Section，XinXiang Radio and Television University，Xinxiang 453003，China）

An operator T is called m-quasi-*-A（k）operator，if T*m（T*|T|2kT）1/k+1Tm≥T*m|T*|2Tm.In this paper，we give some examples of m-quasi-？-A（k）operator，and show that if T is a m-quasi-*-A（k）operator，then σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

m-quasi-*-A（k）operator；point spectrum；approximate point spectrum.