新课标高考理科卷中概率与统计的探究

李龙飞

摘 要 概率与统计是每年高考必考内容之一，是一个常考的知识点也是一个热点，历年在全国各地的高考题中所占的分量都较大，不但有大题出现，还有一部分小题，具体考查内容，考察的形式也多样化，解题的方法也有很多，本文就对云南省的高考数学所考的新课标理科试卷中概率与统计解答题作些简单分析与探究.

关键词 高考 新课标 概率与统计 函数 分类讨论

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）21-0010-02

概率与统计是每年高考必考内容之一，是一个常考的知识点也是一个热点，历年在全国各地的高考题中所占的分量都较大，具体考查内容、考察的形式也多样化，解题的方法也有很多。近几年云南省高考中的概率与统计解答题的特点是密切联系教材，试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识的重新组合、拓广，从而成为立意高、情境新、设问巧，并赋予生活气息、贴近学生实际的问题。以学生的学习生活为情景，贴近生活实际，这也充分显示了数学来源于生活又服务于生活。高考对概率与统计的考查的力度一直都很大，通常是一个大题和一个小题，分数共计17分。其中解答题不仅题型在变化，而且问题的新颖度和广度也在不断加大，难度与深度基本保持不变。这几年新课标卷考查的知识点包括：函数、概率、统计、分布列、数学期望。本文就对我们云南省的高考数学所考的新课标理科试卷中概率与统计解答题作些简单分析与探究。

例1 （2012高考真题新课标理第18题）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

分析：本题考查函数、概率、统计、分布列、数学期望的综合应用。

解：（1）当n≥16时，y=16€祝？0-5）=80

当n≤15时，y=5n-5（16-n）=10n-80

∴y=（n∈N）

（2）（i）X可取60，70，80

P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P=（X=80）=0.7

X的分布列为

EX=60€？.1+70€？.2+80€？.7=76

DX=162€？.1+62€？.2+42€？.7=44

（ii）购进17枝时，当天的利润为

y=（14€？-3€？）€？.1+（15€？-2€？）€？.2+（16€？-1€？）0.16+17€？€？.54=76.4

又76.4>76所以，应购进17枝。

点评：以花店购进玫瑰花为情境，贴近生活实际；第（1）问简单的分段函数的应用，也就是通过分类讨论求出分段函数利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：枝，n∈N）的函数解析式.同时问题（1）的解决为问题（2）的求解做好了铺垫，第（2）的（i）是考查分布列、数学期望，结合频数分布表及古典概型公式：P（A）=（包括等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式等等）求得 取值的对应概率，从而得到 分布列、数学期望；第（ii）是考查数学期望的理解，当天的利润也就是当天的利润的数学期望，数学期望大的利润就大。因此，购进16枝或17枝玫瑰花，只需要求出它们的数学期望问题就得以解决。

例2 （2013年新课标理科卷Ⅱ第19题）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 t该产品获利润500元，未售出的产品，每 t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以 （单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内销商该农产品的利润。

（Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X∈[100，110]，则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110]的概率），求利润 的数学期望。

分析：本题考查函数、概率、统计、分布列，数学期望的综合应用。本题应用分类讨论的思想将问题（Ⅰ）中T表示为X的函数.同时问题（Ⅰ）的解决为问题（Ⅱ），（Ⅲ）的求解做好了铺垫，再结合频率分布直方图求解。

解：（Ⅰ）当100≤X<130时

T=500X-300（130-X）=800X-39000

当130≤X≤150时

T=500€？30=65000

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知利润T不少于57000元当且仅当

120≤X≤150

由直方图需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7。

（Ⅲ）依题意可得T的分布列为：

∴E（T）=45000€？.1+53000€？.2+61000€？.3+65000€？

0.4=594000

点评：以经销商经销某种农产品为背景，贴近生活实际；第（Ⅰ）问简单的分段函数的应用，也就是通过应用分类讨论的思想将问题（Ⅰ）中T表示为X的函数。同时问题（Ⅰ）的解决为问题（Ⅱ）， （Ⅲ）的求解做好了铺垫， 再结合频率分布直方图及公式：频率=€鬃榫啵侍？Ⅱ）用频率近视作为概率，从而得到相应的概率的估计值；问题 （Ⅲ）求出利润T取值的对应概率，从而得到T分布列、数学期望。

从上面的例题，我们可以看出，近几年云南省高考中的概率与统计解答题的特点是密切联系教材，试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识的重新组合、拓广，从而成为立意高、情境新、设问巧、并赋予生活气息、贴近学生实际的问题。以学生的学习生活为情景，贴近生活实际，这也充分显示了数学来源于生活又服务于生活。高考对概率与统计的考查的力度一直都很大，通常是一个大题和一个小题，分数共计17分。其中解答题不仅题型在变化，而且问题的新颖度和广度也在不断加大，难度与深度基本保持不变。这几年新课标卷考查的知识点包括：函数、概率、统计、分布列、数学期望。通过对高考命题的回顾现总结如下：

1.在复习中，概率与统计这部分的内容不能忽视，从新课标理科卷中的试卷看到每年均有一个概率的选择题或填空题；都有一个概率解答题，概率经常与统计相结合考查。例如概率与统计中的抽样、频率分布直方图、茎叶图、回归方程、独立性检验等等相结合考查。所以在复习中应引起足够的重视，新课标理科卷中都没有出现几何概型，以后有可能出现也不能忽视。

2.在复习中，应充分研究大纲、考纲，使学生掌握：

（1）古典概型：P（A）=（包括：①了解随机事件的统计规律性；随机事件，等可能事件，互斥事件等等的概率；②会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率等）。

（2）几何概型：

P（A）=

（3） ①条件概率：P（B|A）=（P（A）>0）

②二项分布：a.若X～B（n，p） 则P=（X=k）=CknPk（1-P）n-k（k=0，1，2，…，n）；

b.若X～B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

③正态分布：若X～N（ ， 2），则E（X）= ，D（X）= 2等等。

3.在复习中，应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。

4.在复习中，应要求学生平时多关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，并加强对学生进行偶然性与必然性的对立统一观点的教育。

（责任编辑 全 玲）