基于物理特性参数的可靠性评估

盖京波，孔耀

（哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨150001）

基于物理特性参数的可靠性评估

盖京波，孔耀

（哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨150001）

在运用科学的评估方法进行装备任务可靠性评估时，针对大型机械装备在有限的试验时间内难以得到足够的失效数据，甚至没有失效数据的问题，基于物理特性参数进行任务可靠性评估成为行之有效的途径。简述了基于物理特性参数任务可靠性评估的基本流程，探讨了基于Kendall相关系数的系统非线性相关性分析方法和基于核回归的输入输出变量回归关系建模方法，并给出了基于核回归的输出参数条件概率分布理论和装置任务可靠性评估方法。以某大型复杂机械液压装置为例，通过监测装备的性能参数变化，使用可靠度的计算方法，实现了装置任务可靠性水平评估的目的。

数理统计学；可靠性评估；物理特性参数；Kendall相关性分析；核回归建模

0 引言

机械装置，特别是一些国防装备，在国民经济发展中发挥重要的作用，对国防力量的建设始终担负着重要的角色。机械装置的发展水平直接影响经济建设的发展水平以及国家现代化建设的安全。而机械装置发展水平高低的一个重要指标是装置的任务可靠性水平。在国防装备的复杂机械液压系统中，可将系统的各种性能监测参数分为输入参数和输出参数。由于复杂机械液压装置的运行过程涉及到各种机械传动和液压传动方式，因而输入变量与输出变量之间也呈现出复杂的相关性。大型复杂机械液压高可靠性装备任务可靠性评估过程往往伴随着物理特性监测参数的变化。因此，基于物理特性参数进行任务可靠性评估成为行之有效的途径。

目前，可靠性评估主要有两种方法:一是传统的基于数理统计的可靠性评估方法［1］，其评估的基础是试验或使用的时间（次数）与发生故障之间的关系。这就要求对系统或设备进行大样本的统计试验，导致试验周期长、费用高；另一种是近几年开始逐步应用的基于物理特性或基于性能退化的可靠性评估方法［2-7］，其评估的基础是装备性能或物理特性参数变化的失效机理。对于高可靠性长寿命的产品而言，即使经过相当长的试验时间仍然可能出现无失效数据的情况，利用物理特性监测参数进行任务可靠性评估不仅可以节省高昂的试验费用，而且有利于系统维修计划的优化。

基于物理特性分析的可靠性评估方法主要是通过对装备的主要物理特性的试验数据进行详细研究，系统分析这些测试数据的变化规律，以达到装置可靠性评估的目的。为此，本文提出的基于物理特性参数的装置可靠性评估流程，如图1所示。

图1 基于物理特性参数装置可靠性评估流程Fig.1 Reliability assessment process based on the physical parameters

1 基础理论

1.1 基于Kendall系数的相关性分析

分析变量之间的线性相关性常用矩相关系数，而机械液压系统涉及复杂的动力学结构，使得输入变量与输出变量之间具有复杂的非线性相关性，此时，需要利用Kendall-τ相关系数来描述输入变量X与输出变量Y之间的非线性相关关系［8］。Kendall-τ相关系数描述的是一般意义的相关性，即若X增加时，Y有增加的趋势，此时称X与Y为正相关。若当X增加时，Y有减少的趋势，则称X与Y负相关。

Kendall-τ相关系数的定义为:假设（X，Y）的一个容量为n的样本（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn），成对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），为其样本的观测值，统计值

称为Kendall-τ相关系数，其中sgn（·）为符号函数。

令

总体参数

式中:P1为M＞0的概率；P2为M＜0的概率。

τ是θ无偏估计。令

显然-n（n-1）/2≤q≤n（n-1）/2，即-1≤τ≤1.

实际上，上述θ值的正负与大小说明了Y随X的增加而相应增加或减少的关系。因为，若θ值大于0，则表明M＞0的概率大于M＜0的概率，即X与Y同步增加或同步减少的可能性更大；反之，若θ值小于0，则表明M＞0的概率小于M＜0的概率，反映了X增加而Y减少，或X减少而Y增加这种关系的可能性更大。θ值越接近1，说明X与Y同步增加或同步减少的关系越强烈；θ值越接近-1，则反映了X增加而Y减少，或X减少而Y增加的相关关系越强烈。显然，θ值越接近0，则说明X与Y的相关关系越弱。一般说来，对于相关系数［3］，若|τ|＜0.3，关系极弱，认为不相关；0.3≤|τ|＜0.5，低度相关；0.5≤|τ|＜0.8，中度相关；0.8≤|τ|＜0.95，高度相关；|τ|≥0.95，存在显著相关性。

初步确定相关程度后，需要进行显著性水平检验。在大样本条件下，当两变量之间独立时，Kendall-τ相关系数渐进服从正态分布，可利用正态分布的性质对其进行显著性检验，小样本条件下的Kendall-τ相关系数的分布是不确定的，可以通过C++或Eviews进行算法设计，得到Kendall-τ相关系数准确的显著性水平［8］。所以，可以从n对实际观测数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中任取两对构成符号函数，取法总数为N=C2n，而且符号函数给出了M＞0的个数与M＜0的个数之差，故根据用频率估计概率的原理，用Kendall-τ相关系数作为θ的估计，能够很好地描述X与Y之间的相关关系。

1.2 基于核回归的变量回归关系建模

回归模型是描述系统输入与输出参数之间因果关系的常用模型［9-12］。在传统的回归模型中，

往往假定m（x）有某种特定的数学形式，如线性型m（x）=b0+b1x，并假定误差y-m（x）=ε的分布为正态分布，如常见的线性回归模型:

式中:b0、b1、σ2未知，且与x无关。

对于复杂的机械装置而言，其系统复杂的动力学特性与试验、使用工况的复杂性，导致输入输出变量之间往往不满足线性关系，即回归函数非线性。此时，采用基于线性回归模型和最小二乘法得出的估计不一定好用。因此，考虑采用基于核函数的非线性回归技术，该方法无需假设数据的参数模型，没有隐含的约束，大大减少了计算量，解决了复杂机械装置输入输出变量之间的因果关系建模问题。

考虑回归函数m（x）的估计问题，若在样本值（xi，yi），i=1，2，…，n中有k个xi恰好等于指定的x0，则将这些挑出来，记为xi1，xi2，…，xik，这时回归函数m（x）的一个自然估计便是对应于xis的那些yis，s=1，2，…，k值的算术平均值，即

实际上，一般不会有太多的恰好等于指定的x0，有时甚至一个都没有。如此，找一个充分小的数hn＞0，考虑x1，x2，…，xn恰好落在［x0-hn，x0+hn］中的那些xi1，xi2，…，xik，从而用yi1，yi2，…，yik的平均值作m（x）的估计。

若令

则

注意到Wng与x及x1，x2，…，xn有关，故Wng可称为yi的权，更确切的说是在整个样本值中相对于x点的权，它反映了在估计m（x）时，样本值（xi，yi）作用的大小。将其一般化，设

是选定的n个依赖于x0和x1，x2，…，xn的函数，则（7）式称为回归函数m（x）的权函数估计，｛Wng｝称为权函数。如何选取权函数以解决回归建模，目前使用较多的方法是核函数法。即先选定一维实函数K（y），一般地，为概率密度函数，且窗宽hn＞0，然后令

在核函数窗宽的选取中，窗宽hn的选择影响核回归的精度，窗宽hn取的太小会增加随机的影响，使核密度曲线产生很多突出点。反之，窗宽hn取的太大，核密度函数将会过度平均化。因此，需要选取合适的窗宽找到这个合适的“契合点”。

基于积分均方误差的最优化窗宽［13］为

窗宽的表达式依赖于f（x），但f（x）的表达式未知，一般将其作假设N（μ，σ2），得到窗宽的表达式为

在实际的工程计算中，一般是根据工程经验结合核函数的相关数学理论确定窗宽，拟合图像后再进一步调整。

1.3 输出变量条件概率分布理论

设输入变量为X，输出变量为Y，X与Y之间的核回归模型为

式中:ε～N（0，σ2）.则当取定X=X0时，Y为正态分布随机变量，且Y的条件均值E（Y|X0）和条件方差D（Y|X0）分别为

当Y的设计要求值为YU时，由变量Y所决定的单次成功条件概率（X=X0）为

2 任务可靠性评估方法

基于物理特性参数任务可靠性评估的具体流程为:

1）根据历次系统试验记录的性能数据，采用非线性相关性分析方法——Kendall相关系数法，辨识出输入变量与输出变量之间的相关性程度。

2）对存在较强相关性的输入输出变量进行回归分析，采用非参数回归分析方法——核回归建模方法，确定输入输出变量之间的因果关系定量模型。

3）在核回归模型的基础上，以参数的设计要求为输入参数，确定输出参数的条件概率分布。

4）在输出变量条件概率分布的基础上，根据各输出变量相应的设计要求值，评估复杂机械液压装置的任务可靠性。

装置的任务可靠度是指在给定的输入边界条件，完成其规定任务的概率［14］。考虑到复杂机械液压装置实际使用中工况的复杂性，一般将输入变量分为若干等级，在各等级下分别评估装置的任务可靠度。在输入变量没有达到装置的使用极限及塑性变形内，输入参数的各等级下的任务是独立的。装置由各输入变量决定的任务可靠度评估的具体步骤如下:

步骤1 将装置某输入变量等级Vi所对应的区间看作均匀分布的取值区间，从该均匀分布中随机抽样N0次，得到的输入变量样本数据记为，r= 1，2，…，N0.

步骤5 将步骤1～4重复进行n次，即可得到Vi下单次任务可靠度的l个估计值，将这l个估计值的均值作为的点估计值，将这l个估计值按小到大的顺序排列，给定置信度0.95，则排在第［（α/2）·l］为区间估计的左端点，排在第l-［（α/2）·l］的数为区间估计的右端点

步骤6 N0次任务要求下对应等级Vi的任务可靠度为

步骤7 N0次任务中出现不满足设计要求的平均次数的上限为

3 实例分析

3.1 输入变量与输出变量之间的Kendall相关性分析

在某大型装置的试验过程中，系统的输入参数包括质量、啮合速度、能量等，系统的输出参数包括最大负加速度、主液压缸压力、油温等。根据Kendall相关系数的系统非线性分析方法，该装置的输入变量与输出变量之间的Kendall相关性分析结果如表1所示。

表1 某型装置输入与输出变量相关性分析结果Tab.1 Correlation analysis results of input and output variables of a device

通过Kendall相关系数显著性检验，对于关键输出参数最大负加速度Y1而言，与之最相关的输入参数为啮合速度X1；对于关键输出参数主液压缸压力Y2而言，与之最相关的是输入参数为能量X2；对于主液压缸温差Y3而言，3个输入参数均与之没有显著的相关性。

3.2 输入与输出变量核回归模型

由核回归理论，基于所有有效的试验数据，取窗宽h1=10，得到啮合速度X1与最大负加速度Y1的回归模型为

式中:x为待预测点的速度；y1（x）为待预测点的最大负加速度；n为累积有效试验次数；｛（x1i，y1i），i= 1，2，…，n｝为试验获得的速度与加速度的数据对；h1为核函数的窗宽，这里取h1=10；核函数

基于所有有效试验数据，得到啮合速度v与最大负加速度m1（v）的回归关系，其典型值如表2所示。

表2 最大负加速度核回归结果Tab.2 Kernel regression results of maximum negative acceleration

根据观测样本数据和回归模型的预测值，得到最大负加速度的残差序列

由最大负加速度残差序列，可得到参数σ1的估计值为

同理，由核回归理论，基于所有有效的试验数据，取窗宽h2=400，得到能量X2与主液压缸压力Y2的回归模型为

式中:x为待预测点的能量；y2（x）为待预测点的主液压缸压力；n为累积有效试验次数；｛（x2i，y2i），i= 1，2，…，n｝为试验获得的能量与主液压缸压力的数据对；核函数

基于所有有效试验数据，得到能量e与主液压缸压力m2（e）的回归关系，其典型值如表3所示。

根据观测样本数据和回归模型的预测值，得到主液压缸压力的残差序列为

表3 主液压缸压力核回归结果Tab.3 Kernel regression results of main hydraulic cylinder pressure

由主液压缸残差序列，可得到参数的估计值为

3.3 给定输入变量下单次成功概率评估

由表2可知，当啮合速度v=60 km/h时，最大负加速度的期望值为m1（v）=1.048 6 g，其标准差为σ1=0.245 8 g.若最大负加速度的设计要求值为a≤2.5 g.

于是，由（16）式得在速度v=60 km/h时的单次成功概率为

同理可得到给定各啮合速度等级下由最大加速度决定的单次成功概率，如表4所示。

表4 单次成功概率Tab.4 Single success probability

由表3可知，当极限能量e=4 300 t·m时，主液压缸压力的期望值为m2（e）=37.93 MPa，其标准差为σ2=1.235 6 MPa.若主液压缸压力设计要求值为pp≤50 MPa，根据正态分布理论，计算下式:

可见，在正常能量下，主液压缸压力超过设计值的概率基本为0，基本不会出现主液压缸压力超标的情况。

3.4 装置任务可靠性评估

考虑到装置实际使用过程工况的复杂性，将啮合速度划分为60～70 km/h，70～80 km/h，80～90 km/h，90～95 km/h等4个等级，将能量划分为2500～3000 t·m，3 000～3 500 t·m，3 500～4 000 t·m，4 000～4 300 t·m等4个等级。

根据装置任务可靠度评估方法，可得到各速度等级及能量等级下对应的正态分布参数的估计值。分别见表5和表6.

各啮合速度等级下最大负加速度任务可靠度的点估计和区间估计（n=100），见表7.

表5 参数估计结果Tab.5 Parameter estimates

表6 参数估计结果Tab.6 Parameter estimates

表7 任务可靠度（α=0.95）Tab.7 Mission reliability（α=0.95）

同理，可计算各能量等级下的对应下主液压缸压力任务可靠度的点估计与区间估计基本为1，基本不会出现压力超标现象。

4 结论

针对大型复杂高可靠性要求的机械设备提出了一种基于物理特性参数的可靠性评估方法。该方法充分利用系统的各种性能监测参数，根据相关性分析及核回归建模方法，给出了可靠度的计算方法，实现了可靠性评估的目的，对其他相似产品的可靠性评估也有着积极的借鉴意义。

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Reliability Assessment Based on Physical Parameters

GAI Jing-bo，KONG Yao
（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

A scientific evaluation method used to evaluate mission reliability is difficult to get enough failure data in limited testing time for the large mechanical equipment，or even get no failure data.Reliability assessment based on physical parameters has become an effective way.The reliability assessment process based on physical parameters is briefly described.The system nonlinear correlation analysis method based on the Kendall correlation coefficient and the relation between input and output variables based on kernel regression modeling method are discussed.The output parameters of the conditional probability distribution theory based on kernel regression and device reliability evaluation methods are given.A large complex mechanical hydraulic equipment is evaluated，which monitors the performance parameters in order to use the reliability calculation method to achieve the mission reliability assessment.

mathematical statistics；reliability evaluation；physical parameter；Kendall correlation analysis；kernel regression modeling

TB114.3；O213.2

A

1000-1093（2015）06-1104-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.06.020

2014-07-21

中央高校基本科研业务费专项基金项目（HEUCF130208）

盖京波（1976—），男，副教授，硕士生导师。E-mail:gaijingbo@hrbeu.edu.cn