基于搜索论的远程反舰导弹搜捕概率建模方法*

张建强，刘 忠，杨红梅

(1.海军工程大学 电子工程学院， 湖北 武汉 430033 ; 2.空军预警学院， 湖北 武汉 430019)

基于搜索论的远程反舰导弹搜捕概率建模方法*

张建强1，刘 忠1，杨红梅2

(1.海军工程大学 电子工程学院， 湖北 武汉 430033 ; 2.空军预警学院， 湖北 武汉 430019)

针对传统捕捉概率模型难以满足远程反舰导弹机动搜捕概率建模计算的问题，提出利用搜索论进行导弹机动搜捕概率计算的建模方法。该方法根据目标机动规律建立其分布概率密度函数，并依据末制导雷达发现目标概率的“倒四次方律”及弹目相对运动轨迹，构建其探测函数，通过求取两者之积的积分实现搜捕概率计算。计算结果显示：若远程反舰导弹不采取机动搜捕策略，目标指示误差增加1km时搜捕概率降低0.47，目标速度增加10节时搜捕概率降低0.3，末制导雷达搜索半径减小50%时搜捕概率降低0.3；若采取平行搜捕策略，上述因素对其影响大幅下降。可见，该方法综合考虑了目标机动规律、传感器探测规律、导弹搜捕策略，可实现远程反舰导弹机动搜捕概率的解算。

反舰导弹；末制导雷达；搜索论；搜捕策略；搜捕概率

(1.ElectronicsEngineeringCollege,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China;

2.AirForceEarlyWarningAcademy,Wuhan430019,China)

未来战争将主要是信息化的非接触战争，远程精确打击是信息化战争的主要作战样式，反舰导弹远程化趋势日趋明显[1]。然而，中远程反舰导弹的射击误差、目标机动范围等都随其射程的增大而显著增大[2]，但是远程反舰导弹的末制导搜索区却由于多种因素被限制在一个不大的区域内(方位搜索扇面角在±10°～±45°之间，距离在10km～30km范围内)，难以完全覆盖目标的可能散布区[3]。要解决这一难题就必须发展更先进的搜捕技术，其中采用机动搜索方式，充分利用远程反舰导弹自身机动能力，在目标散布区进行某种特定的机动是提高导弹大范围搜索捕获目标能力的有效途径[4]。因此，有必要建立远程反舰导弹机动搜捕概率模型，为其机动搜捕策略的效果评估提供理论支持。

1 传统导弹捕捉概率模型

目前，导弹捕捉概率计算方法基本采用基于导弹自控终点散布概率的传统搜捕概率模型[5]，该模型假设导弹末制导雷达搜捕范围覆盖目标即认为捕捉成功。如图1所示，当末制导雷达在Azk点开锁搜索时，只要目标处于S内即被捕捉。换言之，当目标位于Mzk点时，导弹的自控终点只要散布在矩形S′内，目标就被捕捉，称S′为导弹自控终点允许散布区，Azk点是其散布中心，散布区域矩形面积为2a×2b。

图1 导弹自控终点允许散布区Fig.1 Allowed zone of auto-control end-point dispersion

因此，传统导弹捕捉概率模型把捕捉概率计算问题转化为自控终点落在允许散布区内的概率问题[6]，其计算模型为：

可以看出这种方法存在以下不足：①简单认为导弹搜索区域覆盖目标即捕获目标，未考虑末制导雷达的探测规律；②只考虑了导弹自控终点散布概率误差对捕捉概率的影响，未考虑目标初始位置及其机动导致的目标分布概率；③因难以构建具有航路规划和机动搜索能力的远程反舰导弹不同搜捕策略下的自控终点允许散布区,难以满足此类导弹搜捕概率计算。

2 搜索论模型

搜索论主要研究利用探测手段机动搜索指定目标优化方案的理论和方法，已广泛应用于卫星监视、资源勘探、海空失事救援以及制导武器搜捕目标等各个领域[7]。文献[8]引入搜索论分析了导弹探测系统对弹道导弹的搜索过程，建立了不同目标指示条件下弹道导弹发现概率模型；文献[9]利用搜索论建立了对地观测卫星对海洋未知目标的搜索模型，实现卫星在有限的观测时间内最大概率发现目标；文献[10]针对传统捕捉概率计算方法存在的不足，提出了基于搜索论的捕捉概率计算方法，实现了常见目标分布条件下的现在点射击捕捉概率计算模型，但是该模型没有进一步考虑反舰导弹末制导雷达探测规律(探测能力与目标距离关系)对其搜捕概率的影响，没有考虑远程反舰导弹不同搜索模式下其搜捕概率建模计算问题。为此，李建强等综合考虑弹目相对运动规律[11]、雷达探测规律、导弹搜捕策略，建立基于搜索论的远程反舰导弹捕捉概率模型，实现远程反舰导弹不同搜捕策略下搜捕概率的建模计算，为具备智能机动搜索能力的远程反舰导弹目标搜捕概率提供一种有效的建模计算方法。搜索论模型由目标分布概率密度函数、探测函数、发现潜能及搜索概率四个要素构成。

2.1 目标分布概率密度函数

“搜索”这一概念意味着，被搜索目标的运动要素(t时刻的位置、方位、航向、航速等)不能准确给出，但存在一定统计规律。在搜索论中，这种规律由某一形式的目标分布概率密度函数描述。假设目标位置空间Vn是空间Rn的一个子集，这里n=1,2,3，…。当时间t=0时，目标位置用向量X(0)=( X1(0),…, Xn(0))表示，则目标概率密度函数p(X)定义为[12]：

(1)

其中，当dVn→0时o(dVn)→0，并且满足： ∫Vnp(X)n=1,p(X)≥0。

2.2 探测函数

探测函数是以搜索资源为自变量的探测概率，定义于空间Vn的探测函数为：

b ∶Vn×[0,)→[0,1]

(2)

由此，b(Vn, z)表示目标位于空间Vn中时，把z量的搜索资源施加于Vn而探测到目标的条件概率，是一个正则函数[13]。搜索资源可以是搜索轨迹路程、搜索扫描面积、搜索时间等。特别地，当搜索资源为时间t时，b(X,t)即为[0,t]内在X处发现目标的累积概率，则b(X,t)具有以下性质：

1-b(X,t+Δt)=[1-b(X,t)][1-γ(t)Δt]

(3)

其中，γ(t)为t时刻的瞬时发现率[14]，在此定义它为：搜索过程执行到时刻t尚未发现目标，而在t时刻以后的下一个单位时间内发现目标的概率。式(3)在初始条件为b(X,0)=0时的解为：

(4)

2.3 发现潜能

当搜索者和目标各自相对运动时，它们之间相对位置的变化会影响瞬时发现率γ(t)，也就是说γ依赖于它们之间的相对位置。假设C为其相对运动轨迹，t时刻目标相对位置为x=x(t),y=y(t)，那么γ(t)=γ(x(t),y(t))。根据探测函数的定义(4)可得：

b(X,t)=1-e-∫Cγ(x(t),y(t))dt=1-e-F[C]

(5)

其中，F(C)称为发现潜能，具有可列可加性[15]。

2.4 搜索概率

若采用探测函数b(Vn, z)对空间Vn中概率分布密度函数为p(X)的目标进行搜索，则成功发现目标的总概率可表示为：

P(z)=∫Vnp(X)b[X,z(X)]dVn

(6)

3 基于搜索论的反舰导弹搜捕概率模型

反舰导弹虽然发射平台可能不同(空射、舰射、岸射、潜射)，射程有所不同(远程、中程、近程)，但其使用方式却有许多共同点。通常首先由搜索兵力搜索并发现目标，并进行目标指示；然后，根据目标指示对导弹进行目标参数装定，发射导弹；导弹发射后，在末制导系统工作前进行自控或程序飞行；导弹飞行至自控终点Azk时，末制导雷达即开始工作。末制导雷达依靠距离波门和波束的左右转动形成扇形搜索区，以便捕捉目标。如果在搜索区内出现目标，则雷达有可能捕捉目标。当捕获目标后，末制导雷达进入跟踪状态，控制导弹自动导向目标。反舰导弹搜捕目标原理图，如图2所示。

图2 反舰导弹搜捕目标原理图Fig.2 Principle diagram of anti-ship missile search target

3.1 目标分布概率密度函数

(7)

可见，目标规避机动时间t后，与原点距离R也服从均匀分布，其范围为0～Vmaxt，又因其航向在0～2π内服从均匀分布，因此，目标规避机动时间t后均匀散布在如图1所示的虚线圆O中。

3.2 直航搜捕模式的探测函数

若远程反舰弹道未采取任何机动搜捕策略，而采取与近程反舰导弹相同的直航搜捕目标模式，采用上述基于搜索论的反舰导弹搜捕模型建模方法，建立反舰导弹直航搜捕模式探测函数。

假设：①从导弹末制导雷达开机到捕获目标这一阶段，由于导弹的速度v远大于水面舰艇的速度Vm，可以近似认为Vm≈0，也就是说，目标的规避机动发生在导弹开机之前是最有效的；②由于导引头的末制导雷达作用距离dl远大于距离选择搜索区半长a，因此从Aga到Agb的扇环形导引头扫描区域，可用图1中阴影部分的矩形区域代替；③目标舰艇初始位置为(z0,x0)。

在坐标系(Azk, X, Z)中，目标舰船相对于反舰导弹的被发现轨迹C即是从A′ga到A′gb的直线，因此，可表示为时间t的函数：

(8)

假设反舰导弹末制导雷达对目标的探测概率服从“倒四次方律”[17]，即：

(9)

其中：Y0为雷达恒虚警时的检测门限；fr为雷达脉冲重复频率；R0为信噪比为1时的雷达作用距离。

那么，反舰导弹对位于(z0,x0)舰艇的搜索发现潜能函数F[C]可以表示为时间t的函数：

(10)

令x=x0-vt，则F[t]变换为x的函数：

(11)

根据式(5)、式(11)可得直航式搜索的探测函数为：

b(z0,x0,x)=1-exp(f(x0-2a)-f(x0))

(12)

3.3 平行机动式搜索的探测函数

目前，在不能获得目标精确定位信息的前提下，反舰导弹一般采用概略定位射击[18]，此时由于远程反舰导弹飞行时间长、目标机动范围较大，导致目标大范围散布，反舰导弹搜捕概率下降明显，为充分利用远程反舰导弹具有的火力机动能力增加搜捕目标概率，其搜索目标模式一般采用平行搜索模式，如图3所示，在一个含有目标的矩形区域内，远程反舰导弹按平行轨道依次向前搜索，平行轨道间的间隔宽度为W，Z为轨道长度。

图3 平行搜索模式Fig.3 Parallel search strategy

由图3可知，平行搜索模式下反舰导弹在nW(n=0, ±1, ±2，…，±m)平行轨道上对(x0,z0)处目标进行搜索，可等价于反舰导弹对 (x0-nW,z0)处的目标进行搜索。根据搜索发现潜能的可列可加性，可知平行搜索模式下反舰导弹对位于(x0,z0)的水面舰艇的搜索发现潜能F[x]可以表示为导弹在各个轨道nW上的直航式搜索潜能之和，即：

(13)

令x=x0-vt-nW，由式(5)、式(11)、式(13)可得平行搜索模式下的探测函数为：

(14)

3.4 基于搜索论的反舰导弹搜捕概率模型

不妨令：

(15)

转化为极坐标系，联立式(5)、式(6)、式(12)或式(14)，可得反舰导弹对图1中所示圆O内均匀分布的目标的搜捕概率为：

(16)

4 计算示例

根据文献[6]提供的反舰导弹参考数据，假设远程反舰导弹搜索区纵向搜索半径a=1km，横向搜索半径b=2km，射程为500km，自导距离dx=20km，自控飞行距离50km后末制导雷达开机搜捕目标，目标最大速度为30节。利用搜索论建立远程反舰导弹捕捉概率模型，计算分析直航式搜索模式与平行机动搜索模式下，不同射击距离条件下横向搜索半径b、目标机动速度以及目标指示误差对远程反舰导弹目标捕获概率的影响。

4.1 横向搜索半径b对捕获概率影响分析

如图4(a)所示，当横向搜索半径为2km时，射击距离超过150km后反舰导弹搜捕概率大幅下降。与之相比，当横向搜索半径扩大1倍到4km时，射击距离接近350km时反舰导弹搜捕概率才开始大幅下降，此时捕捉概率与横向搜索半径为2km时下降0.47。可以看出对于远程反舰导弹而言，随着反舰导弹射程的不断增大，横向搜索半径对远程反舰导弹捕捉概率的影响越来越大。因此，扩大末制导雷达搜索扇面区域是提高其搜捕概率，增强作战能力的有效途径之一。

同时，若远程反舰导弹采用机动搜索策略后其机动能力可大大弥补末制导雷达搜索扇面大小的影响，增强其作战能力。如图4(b)所示为横向搜索半径为2km、目标速度为30节时，目标散布半径随射击距离的增大从2.5km增加到25km时，远程反舰导弹分别采取平行式机动搜索和直航式未机动搜索两种模式，其捕捉概率随反舰导弹射程的变化趋势，可以看出当远程反舰导弹采用平行式机动搜索策略后其搜捕概率随着射程的增大变化缓慢，与之相反若未采用机动搜索策略其捕捉概率随着导弹射击距离的增大迅速减小。

(a) b为2km、4km时的搜捕概率变化对比(a) Acquisition probability change comparison when b is 2 km, 4 km

(b)机动搜索与未机动搜索捕获概率变化对比(b) Acquisition probability change comparison when taking maneuver search strategy or not图4 横向搜索半径b对捕获概率的影响Fig.4 Impact of lateral search radius b on acquisition probability

4.2 目标机动速度对捕获概率影响分析

如图5(a)所示，当横向搜索半径为2km、目标机动速度为30节时，射击距离超过60km后反舰导弹搜捕概率大幅下降。相比而言，当目标机动速度为10节时，射击距离超过160km时反舰导弹搜捕概率才开始大幅下降，此时与目标机动速度为30节时的搜捕概率下降0.29。可以看出对于远程反舰导弹而言，随着反舰导弹射程的不断增大，目标机动对于远程反舰导弹捕捉概率的影响越来越大，反舰导弹会因目标规避机动而迅速丢失目标。因此，为了提高目标规避机动情况下远程反舰导弹的捕获概率，增大反舰导弹速度缩短目标机动时间是一种有效方式。

(a)未采用机动搜索策略(a) Not taking maneuver search strategy

(b) 采用机动搜索策略(b) Taking maneuver search strategy图5 目标机动速度对捕获概率的影响Fig.5 Impact of target maneuver velocity on acquisition probability

考虑到导弹速度提高的技术复杂性，在不改变导弹速度的前提下，若远程反舰导弹采用机动搜索策略，其机动能力可大大减少目标规避机动对其搜捕概率的影响。如图5(b)所示，当横向搜索半径为2km、目标机动速度为30节时，射击距离超过300km后反舰导弹搜捕概率才开始缓慢下降，直至射程达到500km时捕捉概率仅下降了0.06。

4.3 目标指示误差对捕获概率影响分析

如图6(a)所示，目标指示误差对直航式远程反舰导弹捕捉概率影响较大。当横向搜索半径为2km、目标机动速度为20节时，目标指示误差增加1km，捕获概率大幅下降0.43。因此,在作战使用过程中，要最大程度地降低目标定位误差和时间延时误差，提高远程反舰导弹目标捕获能力。

(a)未采用机动搜索策略(a) Not taking maneuver search strategy

(b) 采用机动搜索策略(b) Taking maneuver search strategy图6 目标指示误差对捕获概率的影响Fig.6 Impact of target indication error on acquisition probability

但是，当提供目标指示的探测平台观测精度不能满足远程反舰导弹精确射击条件，而仅给出目标概略位置信息时，远程反舰导弹若采用机动搜索策略，其机动能力可大大减少目标指示误差对其搜捕概率的影响，大大提高远程反舰导弹概略射击效果。如图6(b)所示，当远程反舰导弹采用平行机动搜索模式，目标指示误差为1km时目标搜捕概率随着射击距离的增加保持0.95基本不变，即便是增加到10km，目标搜捕概率也仅从0.935下降到0.918。

5 结论

1)基于搜索论的远程反舰导弹机动搜捕概率建模计算方法不仅考虑了目标初始位置及目标机动规律形成的目标分布概率密度，同时还构建了用于描述末制导雷达探测目标规律的探测函数，与传统导弹搜捕概率模型相比，该方法更加贴合实际，计算示例也显示了该方法的合理有效性。

2)基于搜索论的远程反舰导弹机动搜捕概率建模计算方法采用基于弹目相对运动轨迹的发展潜能函数解决了传统导弹搜捕概率模型难以实现的机动搜捕策略下的搜捕概率建模计算问题。

3)基于搜索论的远程反舰导弹机动搜捕概率计算结果显示：在未采取机动搜索策略的情况下上述因素对远程反舰导弹目标搜捕概率的影响较大；与之相反，若采取平行搜索策略，上述因素对其影响大幅下降；说明随着反舰导弹射程的不断增大，中远程反舰导弹自控飞行时间越来越长，目标指示精度、目标机动速度和末制导雷达搜索范围等因素对其搜捕概率的影响程度，都随着反舰导弹巡航时间的增长而显著增大，而采用机动搜索方式，是扩大反舰导弹搜捕范围、提高搜索捕获目标能力的有效途径。

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The target acquisition probability modeling method of long-range anti-ship missile based on search theory

ZHANG Jianqiang1, LIU Zhong1, YANG Hongmei2

Sincethetraditionalcaptureprobabilitymodelcannotsolvetheproblemoflong-rangeanti-shipmissile’stargetcapturecalculation,amodelwasputforwardtoworkoutitsmaneuveracquisitionprobabilitybyusingsearchtheory.Thetargetdistributionprobabilitydensityfunctionwasestablishedaccordingtothetargetmaneuveringrules.Accordingto"invertedfourtimessquarelaw"oftheterminalguidanceradartargetdetectionprobabilityandmissiletargetrelativemotiontrajectory,theanti-shipmissile’sdetectionfunctionwasconstructed.Thetargetacquisitionprobabilitycouldbecalculatedbytheintegraloperationoftheirmultiplication.Thecalculationresultsshowthat,iflong-rangeanti-shipmissilesdonottakemaneuversearchstrategy,acquisitionprobabilitydecreasesby0.47whentargetindicationerrorincreases1km,acquisitionprobabilitydecreasesby0.3whentargetvelocityincreases10knot,andacquisitionprobabilitydecreasesby0.3whenterminalguidanceradarsearchradiusreducedby50%.Iftheanti-shipmissiletakesparallelsearchstrategy,theimpactofabovefactorsonitsacquisitionprobabilityhasfallendramatically.Thismethodtakesthefollowingfactorsintoaccount,suchastargetmaneuverrules,sensordetectionrulesandmissileacquisitionstrategy,andthemaneuveracquisitionprobabilityoflong-rangeanti-shipmissilecanbefiguredoutaccordingly.

anti-shipmissile;terminalguidanceradar;searchtheory;searchstrategy;acquisitionprobability

2015-02-03

国家自然科学基金资助项目(61401493)；国家部委基金资助项目(9140A01060113JB11012)

张建强(1980—)，男，山东昌乐人，博士研究生，E-mail：jianqiang97176@163.com；刘忠(通信作者)，男，教授，博士，博士生导师，E-mail：liuzhong0602@163.com

10.11887/j.cn.201504030

http://journal.nudt.edu.cn

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