关于几类分式函数迭代问题的研究*

向静婧，金渝光

(重庆师范大学数学学院，重庆401331)

现有的求函数迭代的方法有定义法、不动点法和共轭相似法.迭代运算比一般的代数运算复杂得多，尤其是非线性的迭代.迭代普遍存在于自然界，因此，人们自然关心次迭代fn(x)的计算与估计.文献［1，2］给出一些可迭代的函数，但远远不够的.在此基础上，运用共轭相似法和数学归纳法对某些分式函数求出它们的迭代式，同时，用序列方法求线性分式函数次迭代的一般计算公式.根据这一公式可以非常迅速地求出任意线性分式函数的次迭代.

1 基础知识

1.1 迭 代

设f(x)是定义于集合M上，且在其中取值的映射.若M是数集合，f(x)就是一个函数，这时，对于M中的任一个 x，f(f(x))，f(f(f(x)))都是有意义的.记

称fn(x)为f(x)的次迭代，n为fn关于f的迭代指数.

1.2 迭代的方法

介绍两种求迭代函数的方法［1－2］.

数学归纳法:观察函数f的低次迭代式的基本形式，找出迭代式的规律，再根据观察到的规律猜想次迭代式的表达式，最后用数学归纳法进行严谨证明即可.

共轭相似法:把复杂的函数迭代化成较简单的函数迭代，直观地说，如果存在可逆函数h(x)，使函数f和 g 满足 f=h－1·g·h 就称 f和 g 共轭，也称为相似，记为 f～g.h(x)，称为桥函数.

2 有理线性分式函数的迭代

由数学归纳法很容易得到g(x)=a+x的函数迭代式gn(x)=x+na.

从而有

2)求线性分式函数的迭代除了上述介绍的几种基本方法外，还可化为矩阵的乘幂和函数序列的迭代问题进行计算［3］.下述用函数序列［4］的方法得到线性分式函数n次迭代的一般计算公式.

首先定义序列 { an}和 {bn}，

其中 α，β 为方程 x2－ax－b=0两个根.

证明方法同上.

3 无理非线性分式函数的迭代

利用上述有理线性分式函数迭代式通式的结论，可以解决一些非线性分式函数［5，6］的迭代问题.

由上述讨论线性分式函数的结论知，g(x)的n次迭代式

［1］张伟年.动力系统基础［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］张景中，熊金城.函数迭代与一维动力系统［M］.成都:四川教育出版社，1992

［3］熊金城.点集拓扑讲义［M］.2版.北京:高等教育出版社，1997

［4］徐璐，徐绍元.关于线性分式函数的次迭代及其应用［J］.数学的实践与认识 ，2006，28(5):225-228

［5］樊汝萍.几类函数的桥函数［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2014，31(4):8-12

［6］张荣.关于几类函数的迭代问题［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2007，24(1):22-25