与初一孩子一起“玩”中考题——一道中考网格题在初一课堂上的尝试与思考

☉江南大学附属实验中学　钱云祥

☉泰州市教育局教研室　钱德春

与初一孩子一起“玩”中考题
——一道中考网格题在初一课堂上的尝试与思考

☉江南大学附属实验中学钱云祥

☉泰州市教育局教研室钱德春

一、问题缘起

网络时代，教学研讨与交流可以跨越时空.前不久，本文的两位笔者通过QQ聊起了如下所示的一道中考试题.

（2014年天津卷，第18题）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

（1）计算AC2＋BC2的值等于___________；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2＋BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）.

关于这道试题相应的参考答案到底是怎么想到的，两人有一种共同的想法——到课堂中去实践一下，充分暴露学生的思维，看看学生到底是怎么想的.考虑到笔者现在任教初一，突然，一个奇妙的想法跳了出来：初一的孩子能否想到这道中考题的解法呢？于是，生成了一堂课“网格中的数学问题”以及本文.

图1

二、设计思路

考虑到初一学生虽已学习了平行线、垂线等相关概念，但尚未学习勾股定理，所以在本节课的教学设计中，应注意绕开勾股定理，不能去计算图1中的AC、AB的长度.鉴于初一学生的知识储备情况，为促成学生成功解答此题成为可能，笔者在出示此题之前安排了如下一道引例以作铺垫.

如图2，已知△PAB的三个顶点均落在格点上.（注：每个小正方形的边长均为1）

（1）△PAB的面积为_________；

图2

（2）画出一个以AB为一边且面积为6的格点三角形，并思考：符合条件的三角形共有几个？

（3）只借助直尺，你能在图中画出一个以AB为一边且面积为12的长方形吗？

设计意图：设计第一问的目的是让学生意识到割补法是研究格点多边形的面积的一般方法；第二问引导学生在尝试中寻求一般规律；第三问题则是基于第二问的后续延伸.编制本题作为研究2014年天津卷第18题的引例，意在悄无声息地扫清障碍.

三、教学过程

课堂上，对于引例的第一问，全班几乎所有学生都想到了割补法，得出了答案（6.5）.对于第二问所要求作的格点三角形的第三个顶点，同学们通过观察陆续找出了如图3所示的点C1、C2、C3，正当大家以为符合条件的三角形只有3个的时候，突然有学生（生1）站了起来，于是有了如下的对话.

生1：我觉得不止3个，若画出直线C1C2，则直线C1C2上的所有点都可作为所要画的三角形的第三个顶点.

师：为什么呢？

生1：因为C1C2∥AB，根据“同底等高的三角形面积相等”……

生2：不行的！要的是格点三角形.

生3：可以的，直线C1C2还会经过其他格点的.

生4：过点C3也可画直线AB的平行线……

最终，一致找出了如图4所示的符合条件的第三个顶点，共有6个.

图3

图4

对于第三问，起初，大多数学生都紧锁眉头，终于，一名学生（生5）憋不住了，站了起来：老师，题目是不是错了啊？我找到了符合题意的平行四边形，例如，图4中的平行四边形ABC2C1，其面积恰好为12，但是不可能有符合题意的长方形啊！

生6：题目没错！我知道你的意思，要注意，题目没要求画格点长方形，只说是长方形.

生5：哎呀！我刚才怎么会没注意到这个细节变化呢？这下我会做了.

生6：我知道题目没错，但是我搞不明白，只借助直尺，不能用三角尺，怎么画直角呢？

生5：这个好办，只要这么画垂线……

说话间，生5跑到了讲台前，拿起教鞭，自告奋勇当起了老师，点着大屏幕上的格点进行讲解……

教师经现场统计得知，对于第三问，刚开始大家思维受阻之时，除生6没想到如何在网格中只用直尺过点A画AB的垂线外，其余学生都误认为要画格点长方形.

随后，教师利用课件出示了2014年天津卷第18题（详见前文），关于AC2的值，不少学生脱口而出“2”，于是教师请其中的一位（生7）上台讲解.

生7：看到AC2，我想到以AC为一边构造一个正方形，AC2就是这个正方形的面积，显然，用割补法可求得这个正方形的面积为2.又因为BC等于3，所以AC2＋BC2的值等于11.

（注：笔者所在地区使用的是苏科版教材，在七年级上册“2.2有理数与无理数”这一节教材中有这样的构造.）

对于第二问，教师下发了一张印有题目及图形的学案，让学生自主探索.（巡视期间，教师对矩形一词作了解释，就是大家所熟悉的长方形.）大约过了10分钟，班级中已有超过半数的学生举手表示得到了答案.于是教师请学生代表发表观点，讲解思路.

生8：老师，思路谈不上，我是蒙出来的.

师：你好低调.那就请你谈谈你是怎么蒙出来的吧.（班级中其他学生都会意地笑了起来）

生8：我是凑出来的，刚开始我分别过A、B画了AB的垂线AD、BE（实物投影，如图5），但是通过割补法，我算得正方形ABED的面积为17，大于11，而线段AD、BE除了端点之外，不再有其他点落在格点上，所以本题所要画的矩形肯定不是格点矩形，也就是说，除A、B之外，另两个端点肯定不在格点上.联想到上一道题，我运气挺好，一次性地找到了一个平行四边形ABGF，其面积恰好为11.剩下的我想大家都懂了，矩形ABNM就是所要画的矩形.

生8话一说完，班级中响起了热烈的掌声.

师：说得挺好的啊，这不是运气好，是你很有眼光.大胆尝试，也是学数学的一种好方法啊.

生9：我的方法跟他差不多，不过我运气没他好，凑了好多次才凑出一个以AB为一边且面积为11的平行四边形.

见到大家都对图5理解了，教师问：还有没有其他解法呢？

生10：虽然我没想到本题的解法，但是如果把题目中的数字改一下，比如，把11改成12，我就能做了.

师：那你来说说看.

生10：我想以AB为一边画一个竖的平行四边形（实物投影，如图6），把竖的一条边看作底，则高AH长为4，由面积为12可得底BD为3.

生11：这样一改太简单啦.

生10：也可改难一点，把面积改为10，这样底就为2.5，在网格中，这可以做到的.（说完，用笔在图6的基础上添了几条线，如图7）图中四边形ABFG是一个平行四边形，且面积为10.可是，对于这道题，要使得面积为11，底就应该为，我实在是想不出好的方法.

图7

师：尽管你暂时还没想到本题的解法，但你的想法真的很不错.

生12：老师，她的方法太繁了点儿，不过我也是在她的提示下想到了一种新方法.（生12在老师新提供的一张学案上画上几笔，实物投影）如图8，是不是简单多了啊？

生10：嗯，比我的图少了两条线.我刚才一直在思考，怎么找到长为的线呢？

图8

师：顺着这样的思路，继续开动脑筋，也可同伴合作交流，看看谁能率先帮她在网格中找到长为的线.

不到三分钟，有学生（生13）激动地站了起来.生13：我想到啦！我想到啦！（实物投影，如图9）图中的BD恰好长为

图9

师：为什么呢？

生13：我说不出道理，但是看看比例，我感觉肯定对的.

（听到老师的话，生13自豪地对着自己竖起来大拇指）

生14：我还想到，这道题中的面积可以为任意的整数，按照此法，可以只用直尺在网格中找到长为任意正分数的线段BD……

四、点评与思考

1.挑战自我，大胆尝试与实践

2014年天津卷第18题是一道设计精巧、研究价值高但难度较大的网格题，这类题因其集几何直观与理性思维、图形变换与代数运算、形式新颖与方法多样等特点于一身，因此广受命题者与一线教师的青睐，不少教师从研究的角度进行了深入的探讨.文1由教材问题联想到用勾股定理的面积证法解决问题，接着对问题进行二次拓展，并在此基础上挖掘了问题之源、与教材问题的关系，进而对优秀资源的教学价值进行了深层次的思考；文2从解题的角度分析了该题的背景、思路及与勾股定理之间的关系；文3则从再现真实思维过程出发，分析了图形的画法、思路来源和思路优化，对解题方法进行了更具一般性的推广，从“过程”与“反思”的角度研究了问题的教学价值.

实践是检验真理的唯一标准，上述所有的研究都有待于教学中验证.笔者突破了纸上论道的研究形式，将自己的所思所想付诸于教学实践.首先从学生认知角度进行了教学设计，并在初中最基础的年级进行了教学尝试.因为问题的解决需要一定的知识储备，如勾股定理、二次根式运算、无理数的理解、线段的位置关系（平行、垂直、相等）、图形变换（平移、旋转、全等、相似、等积等）、特殊四边形等；更需要一定的分析、推理能力以及思维的深刻性、灵活性.这对于经过三年数学学习和中考系统复习的初三学生都不是易事，诚如文1所说，教师“做本题也遇到了一定的困难”，而笔者在初中起始年级尝试，这是对自己的大胆挑战，也折射出一种行思结合、学教统一的本真的研究观、教学观.从最终的教学实践结果来看，无论是学生还是教师都收获颇丰.

2.基于认知，创设最近发展区

在本节课的问题处理中，笔者基于对题目的深度思考、对学生认知结构和基础的准确研判，精心设计了教学环节.由于学生只是初步感知平行线、垂线等概念，为了能在避开勾股定理的同时使问题得到解决，笔者设计了引例中的3个问题作铺垫，尤其是设计的问题（2）引导学生拾级而上，为进一步探究最核心的问题创设了最近发展区，“悄无声息”地扫除了思维障碍.

以问题驱动建构知识、发展思维是数学教学的一种重要方法.数学课堂中有两种问题呈现方式：一是“自上而下”式，即先“提出富有挑战性的问题（或情境），引起学生的愤悱与困惑，进而激发学生思考”，当思维遇到障碍时，教师可以将问题后退、弱化至学生思维可及之处，从而引发学生“顿悟”、建构知识；二是“自下而上”式，即“以学生已有的经验为起点，通过搭建脚手架，让学生拾级而上，在解决问题过程中积累、迁移并升华新经验，这是一种自下而上的、由易到难、逐步生成的教学方法.”［3］选用何种方式取决于学习内容和学生认知.当学习内容相对浅显（如新授内容的起始章节）、学生认知能力较强（如初三综合复习阶段）时可选择“自上而下”式.而本节课的教学对象是初中起始年级学生，学习内容是有难度的“中考题”，教者选择了“自下而上”式，分别设计了4个有梯度和层次的问题：在网格中以AB为一边，依次画格点正方形、面积为12的格点矩形（长方形）、面积为12的格点平行四边形，逐步过渡到画以AB为一边、面积为11的格点矩形.教者通过搭建支架，引导学生拾级而上，最终解决了看似较难的问题.这种方式符合最近发展区理论，恰如其分、恰到好处.

3.激发兴趣，营造“玩数学”氛围

如文题所言，整个课堂活动突出了一个“玩”字，以“玩”激趣、以“玩”索知，从而玩出兴趣、玩出思维.网格图形带来的视觉冲击、问题之间的内在联系、图形与算式的结构特征、解决方法的突破与优化、解决问题后的冲动与兴奋，都激发了学生“玩”数学的情趣，催生了学生理性思考的欲望.这种情趣与欲望得益于教师对课堂氛围的营造与调控，如多媒体与学案的有机结合、教师几何画板的娴熟、学生做小教师到台前的讲解、同伴间的思维的交流碰撞、对学生“蒙”“运气好”的剖析与解释，都让学生品尝了“玩数学”的味道，体验了“玩数学”的乐趣.

数学大师陈省身先生曾经为少年儿童题写了“数学好玩”4个字，数学家徐利治认为：“数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美.数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容.”然而只有感受到数学之美的人才觉得“数学好玩”.教师要充分挖掘体现数学之美的元素，让学生感受到“数学好玩”，进而“好玩数学”，达到“玩好数学”的目的.

4.引导生成，启迪探究与思维

本节课，教师以借助几何直观发展数学思维为教学目标，以课前预设、课中生成、课后回味为教学路径，体现了问题的开放性、思维的缜密性和数学的发展性，促进了学生兴趣激发、经验积累、思维优化、素养提升.

一是开放性.教者课前研究题目和学情，设计了开放性问题：“画出一个以AB为一边且面积为6的格点三角形，并思考：符合条件的三角形共有几个？”课堂上引导学生在探究活动中感受分类思想；通过以已知线段为一边画给定面积的特殊图形，学生得到了“面积可以为任意的整数，按照此法，可以只用直尺在网格中找到长为任意正分数的线段BD……”，感受特殊到一般的思想.开放性还包括教学方式的开放，教师不是包办代替、越俎代庖，而是放手让学生画图、讲解、讨论、争辩，从而使思路更加清晰.二是缜密性.在画面积为11的长方形时，学生通过画图、探究，最初认为无法实现，原因是潜意识里认为要画格点长方形，但生6发现题目没有“格点长方形”的限制，通过同伴间的互动交流和思维碰撞，最终弄清楚了问题，足见教者在培养学生思维缜密性上的功夫.三是发展性.囿于初一学生知识限制，问题更多还是依赖直观感知，有些道理还无法说清、有些问题暂时还无法解决.直观的东西不一定可靠，需要通过推理来确认，教师必须让学生明白这个道理.如“AE的长为什么就是，学生“说不出道理，但是看看比例，我感觉肯定是对的”，教师：“你的感觉非常好，图9中的BD确实长为不过其中的原理要等到初三才会学到.”教师寥寥数语，让学生在问题的余味中感受到了推理的必要性，体验到数学的发展性.

五、写在最后

教学研究的出发点和归宿是学生的发展.作为一线教师，对教材、学生、教学和命题的研究要接地气，多做理论引领下的实践层面上的研究.“与初一孩子一起‘玩’中考题”就是教师将理论与思考运用于教学实践的尝试.俗话说：百见不如一做.我们要远离那种可望而不可及的“高大上”“白富美”式的研究，把理论与实践相结合，把学生是否发展作为检验研究成果的唯一标准，把“学习-思考-实践-反思-实践”的路径作为教学研究的新常态.

1.朱玉祥.题目让我们想到了什么——一道中考填空压轴题的解题思考［J］.中学数学（下），2014（10）.

2.韩建芳.天津市中考几何作图题的分析与研究［J］.中学数学教学参考（中），2014（12）.

3.钱德春.例谈“过程”与“反思”的教学价值［J］.中学数学杂志，2015（2）.

4.钱德春，石建华.从激活到升华：积累数学活动经验的基本路径——探索三角形相似的条件（3）教学片断赏析与思考［J］.中学数学（下），2015（3）.Z