读懂教材，关注知识间的内在联系

吴正宪，北京数学特级教师，国家督学，教育部中小学教材审查委员会审查委员、全国小学数学专业委员会理事长，荣获“全国模范教师”称号，主持的课题获教育部基础教育成果一等奖。

读懂教材是解决现实问题的重要途径之一，笔者不但通过重新组建的知识体系让学生学习系统化、结构化的数学知识，而且努力探寻知识间的内在联系以及蕴含其中的方法论因素，在不断地完善学生认知结构的同时，让学生获得认识事物的普遍方法。

一、通过“以旧引新”来关注知识间的内在联系

弄清了知识的前后联系，可以充分借助学生已有的知识基础来教学，这种“以旧引新”的教学方式，不但帮助学生理解了新知，更让他们体会到了知识间的密切联系，为后面形成知识网络奠定了基础。

笔者在《比的基本性质及应用》中确定了以下目标：沟通分数基本性质、比的基本性质、商不变的性质之间的内在联系，向学生渗透事物是普遍联系的观点。根据教学目标，笔者将“联系”作为桥梁，用“联系”统帅教学，让学生通过联系引发猜想，进而通过验证获得结论。

案例1：“比的基本性质及应用”教学片段

第一次沟通——

笔者首先让学生举例说明比的意义。学生回答“两个数相除又叫作两个数的比”，笔者在黑板上写出“5÷3=5：3”，接着追问5÷3等于多少？怎样用分数表示？随着学生的回答，完善板书：5÷3=[53]=5：3。当5÷3=[53]=5：3这一关系式呈现在黑板上时，笔者引导学生将其划分成“除法—分数—比”三个部分，得出一般关系式：被除数÷除数=[分子分母]=前项：后项。然后让学生观察比较三者之间的区别和联系，进而通过填写表格梳理三者之间的关系。

第二次沟通——

笔者提问：“学习比的基本性质有什么用途呢？”再次引发学生思考：既然除法商不变的性质能够进行除法的简算、分数的基本性质能够化简分数，那么比的基本性质有什么类似之处？学生顺着“化简”这一思路展开联想，猜想比的基本性质也一定具备化简的功能，最后，学生在验证猜想的过程中，掌握了化简比的方法。

整节课紧紧围绕着知识间的联系来设计并组织教学，两次沟通引发了两次猜测和验证，最终得出了本节课的核心内容：比的基本性质及应用。笔者关注知识间的内在联系，也让学生从联系中学习了构建知识，在联系中完善了认知结构。

二、通过“构建知识网络”来关注知识间的内在联系

学生每到一个学习阶段，笔者都要求学生把学习过的数学知识在脑海中像放电影似的回忆一遍，让学生用“自己的知识经验进行建构，把孤立静止的数学知识联系起来、活跃起来”。数的整除这部分内容是分数教学的基础和铺垫，它是小学数学教材中概念最集中的一个单元，在单元教学结束后，笔者还帮助学生构建知识网络，让学生抓对立、清异同、悟联系。

以下是“数的整除复习”教学片段。

笔者在课堂上安排了三个环节：

环节1：出示整除相关概念

环节2：学生自主分类，在汇报中梳理知识

环节3：形成知识网络，在梯度练习中获得解决问题的方法

上课前，笔者将数的整除单元的十多个重要概念写在一张张纸条上，并把纸条零零散散地贴在黑板上。此时没有美丽的画面，没有动听的音乐，没有教师激昂的导语，只有这些散落在学生记忆中的概念跃然眼前。

笔者说：“同学们，我们已经零零散散地学习了一些有关数的整除的概念（笔者指着散贴在黑板上的纸条上的概念）。我们的第一个任务就是先独立思考，再讨论，看看哪些概念之间是有联系的，把有联系的概念用线连在一起，整体看看关于数的整除这个部分，我们到底应该掌握哪些重要的基本概念。”

三言两语，让学生明确了学习内容、过程、方法和目的。交流过程中，笔者以“牵一发而动全身”的教学思路引导学生把诸多易混易错的概念进行了精细的梳理与辨析。

当学生提出自己所谓的起始概念时，笔者不急于否定，而是适时适当地参与其中，让其他学生发表不同意见，产生交锋，再引导学生展开辩论。

当第一小组学生从字面意思理解，整理出一组不关联的概念时，笔者带着思考的表情和疑惑的语气问：“为什么把质数、质因数、互质数、还有分解质因数这四个概念放在一组呢？”

当学生出现了不完整的构建、出现了片面的认识时，笔者不急于告诉，而是放慢速度，耐心等待，巧妙引导，适时地“退下来”，“该出手时就出手”。

学生没有完全唤起已有知识，只能想到整除下面的一个概念“因数”及由此派生的概念时，笔者根据学生现场情况，改变了教学预设，抛出了一个根本性的问题：

什么叫整除？能举个例子来说明吗？

……

“好，请你们根据刚才的讨论把这组概念整理在黑板上。”

……

此时，黑板上已经出现两组学生整理的结果。

笔者问：“这个整除到底是管谁的？刚才那位同学说是管因数这一组的。”

众生回答：“不对！应该两个都管。”

笔者追问：“管谁？”

……

当学生经过自己的独立思考交流、辩论后，将那些散落在黑板上的十几个概念根据它们之间的内在联系连成线编成网（如图）：

笔者总结道：“同学们，俗话说，书越读越薄就是这个道理。过去我们零零散散地学习了这么多概念（加重语气，指着黑板），经过“摸象——说象——成象——抽象”这样的学习过程，我们把它们整理成一个比较系统的有关数的整除单元概念的网络图！”接着，笔者又引领学生回忆整个学习过程，体会“新盲人摸象”的故事。学生若有所悟。

短短的40分钟，黑板上凌乱的十几张纸条变成了一张整洁美观、结构清晰、关系明确、纵横联通的数的整除知识网络图。在这节课上，笔者让学生经历了梳理、自主构建知识网的过程，更在构建网络图的过程中，关注了知识间的内在联系。

三、通过“渗透思想方法”来关注知识间的内在联系

如果教学内容是旧知识的“生长点”或新旧知识的“连接点”，通常可以组织学生利用已有的知识经验进行探究学习。这就需要教师理解教材编排的基本线索和结构，把握每个阶段的重难点以及核心的思想方法，引领学生找到知识间的内在联系。

笔者带领学生复习了几种平面图形面积计算公式及其推导过程之后，向学生娓娓道来：同学们掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形面积公式的计算方法，又学会了用割补法把新图形转化为已学过的旧图形，根据图形间的联系，推导新图形的面积公式的推导方法。今天，我们就利用这些旧知识来解决一个新问题：梯形面积的计算。

在明确了学习任务后，笔者给了学生充分的自主探索空间，学生利用手中的学具动手操作，小组讨论探究，出现了多种不同的推导方法。

甲组：我们小组用两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形。可以看出平行四边形的底相当于梯形的上底、下底的和，平行四边形的高相当于一个梯形的高。这个平行四边形的面积相当于两个完全相同的梯形的面积和。

乙组：我们小组把一个梯形割补成一个三角形。三角形的高相当于梯形的高，三角形的面积相当于梯形的面积。

此时的课堂上小手如云，学生们跃跃欲试。随着学生们的回答，又继续汇报了多种不同的推导方法，精彩纷呈。

交流之后，笔者进行小结：同学们的推导方法各异，但万变不离其“根”，有的同学把梯形转化成平行四边形，有的同学把梯形转化成三角形，还有的同学把梯形转化成两个三角形，等等。这些转化都是把“陌生的图形”梯形转化成“熟悉的图形”，再根据各部分关系，推导出公式。

这个案例中运用到的转化思想是“把遇到的新知识转化成学过的一种知识，通过这样的策略、途径，达到解决问题的目的”。笔者在课上充分给予学生操作探索的机会和空间，引导学生领会蕴含在其中的转化思想，用转化的手段去处理问题，慢慢地，学生就会自觉或不自觉地从知识间的内在联系看问题，这样学生就获得了一种策略、一种思想、一种能力。

（北京市顺义区东风小学翟万盈老师对此文有重要贡献）