面向公差技术的几何要素自由度表示与操作及其应用

吴玉光　刘玉生

1.杭州电子科技大学，杭州，3100182.浙江大学CAD&CG国家重点实验室，杭州，310058

面向公差技术的几何要素自由度表示与操作及其应用

吴玉光1刘玉生2

1.杭州电子科技大学，杭州，3100182.浙江大学CAD&CG国家重点实验室，杭州，310058

描述了几何要素的本征方向和本征自由度概念、几何要素自由度的表示方法和约束自由度的计算规则。根据基本几何元素的几何特征以及与基准要素的位置关系确定了几何要素的本征方向，根据几何量测量原理，提出了基准要素约束自由度的计算方法，建立了基准体系约束自由度的计算规则。根据公差类型与基准要素和目标要素的关系，建立了公差设计正确性、完整性验证的具体规则，提出了基于自由度分析的公差标注正确性验证方法。

自由度；本征自由度；约束能力；公差验证

0　引言

点、线、面是构成零件形体组成要素和导出要素的基本几何元素，也是尺寸公差和几何公差的标注对象和各类几何检验工具的检测目标。公差标准与规范的定义、公差分析与综合的数学模型、公差标注正确性验证等技术中均涉及几何要素的自由度概念，基本几何元素的自由度的表示与操作算法是公差分析和综合的基础技术。

基于自由度的公差分析和设计技术的研究[1-4]已取得了大量有价值的成果[5]。有关基准约束目标自由度的关系早就引起了人们的注意，吴永宽等[6]提出了基准约束目标自由度的具体条件，美国机械工程师协会报告ASME Y14.5.1[7]也在基准参考框架部分中讨论了自由度概念，枚举了点、线、面的全部相对位置关系，从几何位置控制的角度得出只有6种类型的基准参考框架的结论，并列出了全部有意义的基准组合。Kramer[8]使用符号推理的方法来决定零件在装配体内的自由度。Wu等[9]将自由度模型和属性数据模型相结合来开发装配公差模型。最近，Shen等[10]提出了确定一个基准体系自由度计算的代数公式，试图将基准约束自由度能力的计算用于公差验证技术中。

但现有的自由度分析方法对几何要素自由度的认识还存在不足，未揭示自由度计算方法的规律，应用于公差分析和测量过程中还存在以下问题：①约束自由度计算公式没有通用性，还不能处理被测目标与基准处于一般位置的情况；②不能指明约束给定自由度的具体基准，因此不能区分公差的各项组成指标与具体基准的关系，从而不能支持公差检验和公差标注正确性分析，造成当前CAD软件的公差模块均缺少公差标注合理性检查功能;③现有自由度分析方法都假设基准框架体系内实际基准位于公称位置，而忽视基准之间存在的相对位置误差，造成公差带的位置确定存在偏差，因而不利于保证公差设计、公差分析和公差分配方法的正确性。

本文研究基本几何要素自由度的表示方法和基准约束自由度的计算方法，根据公差类型与自由度的关系建立公差标注的正确性检查规则。

1　本征自由度与公差坐标系的定义

1.1基本几何元素的本征方向和本征自由度的定义

几何要素的本征方向为与几何要素自身的几何特性和它的基准相关的唯一的方向。对于直线目标，本征方向就是直线本身。对于平面目标，本征方向为目标平面的法线方向。而对于点目标要素，本征方向则根据不同的基准要素可分为以下几种情况：基准点指向目标点的方向、经过目标点的基准直线的垂线方向、经过目标点的基准平面的法线方向。

相对于本征方向，各类公差对目标要素自由度的约束要求可以分为4 类：①约束本征方向的一个平移自由度；②约束垂直于本征方向的全部平移自由度；③约束本征方向的一个转动自由度；④约束垂直于本征方向的全部转动自由度。即几何要素的自由度可以根据本征方向归纳为4类：线平移自由度、线转动自由度、面平移自由度和面转动自由度[11]，几何要素自由度这一归纳分类已用于几何要素控制点变动模型中[12]，本文将这4类自由度命名为本征自由度。点、线、面的传统自由度和本征自由度定义如图1所示。

(a)点的传统自由度　　　(b)直线的传统自由度(c)平面的传统自由度

(d)点的本征自由度　　　(e)直线的本征自由度(f)平面的本征自由度图1　自由度的定义

点、线、面等几何要素的本征自由度可以概括为：①点具有1个线平移自由度和1个面平移自由度；②直线具有1个面平移自由度和1个面转动自由度；③平面具有1个线平移自由度和1个面转动自由度。本征自由度同样也可以用单位矢量表示，如果将线平移自由度用单位矢量Tz表示，将面平移自由度用单位矢量Txy表示，则Txy可以分解为两个垂直于本征方向的线平移自由度Tx、Ty，即Txy=Tx×Ty。同理，也可以将转动自由度分别用单位矢量Rz、Rxy、Rx和Ry表示，其中Rxy=Rx×Ry。Txy、Rxy平行于本征方向，但由它们分解出来的Tx、Ty、Rx和Ry的方向是不确定的，确定方向还需要一个角度参数。可见这是本征自由度和传统的自由度定义的差别，本征自由度的其他特性可参见文献[12]。

1.2成组要素的本征自由度定义

由于成组要素是由点、线、面组成的一个整体几何图框，因此它具有与基本几何要素不同的本征自由度。成组要素有圆形阵列和矩形阵列两种布置方式。成组要素作为一个整体与外部基准建立公差关系，成组要素内部成员之间的公差属于几何要素之间的公差关系。无论是矩形阵列还是圆形阵列，其几何图框均可以用一对正交的矩形平面表示，对于圆形阵列，这对正交平面就是圆柱体的两个正交的直径平面；对于矩形阵列，正交平面就是空间立方体的两个对称面。定义几何图框的本征方向为两个正交平面的交线方向，几何图框的自由度为两个正交平面的本征自由度之和。因此，基准约束成组要素自由度的计算方法与约束两个正交平面组合的自由度的计算方法相同。成组要素的本征自由度如图2所示，除了没有本征方向的1个移动自由度以外，成组要素具有5个自由度。

(a)矩形阵列(b)圆形阵列图2　成组要素的本征自由度

1.3基于本征自由度的公差坐标系定义

公差坐标系用于定义几何要素的变动和几何要素公差带的位置，公差坐标系建立在目标要素的公称位置上，坐标系的原点为目标要素的中心，各坐标轴方向与本征方向和基准约束目标的自由度方向相关。定义本征方向可以为公差坐标系的一个坐标轴方向，如果Txy或Rxy能够分解为Tx、Ty或Rx、Ry，则这两个正交自由度方向就是公差坐标系的另外两个坐标轴的方向。而能否分解以及是否有必要进行分解，则取决于公差的功能要求和基准的设置。因此，建立目标要素的公差坐标系的主要工作就是确定垂直于本征方向的线平移自由度或线转动自由度。例如，图2所示成组要素的公差坐标系的z轴方向为本征方向，x轴方向由被基准约束的线平移自由度Tx或线转动自由度Rx的方向确定。

根据以上分析，公差坐标系坐标轴方向与基准约束目标自由度方向相同，可以同时确定，这种定义方式具有以下优点：

(1)根据公差类型和基准设置确定公差坐标系的类型，公差坐标系的类型包括圆柱坐标系、球面坐标系和直角坐标系等多种，不同的公差类型需要建立不同类型的公差坐标系；

(2)基准要素控制目标要素变动方向与公差坐标系的坐标轴、坐标平面相同，便于公差的验证和测量；

(3)目标要素的位置变动在公差坐标系上定义，便于公差分析过程中模拟几何要素变动。

2　基准对目标自由度约束能力的计算

2.1基本几何元素约束自由度的原理

基准能够约束目标要素的自由度就是可以确定目标要素相对于基准的距离和角度，因此通过分析目标要素相对于基准要素的距离和角度参数定义的完备程度，就可以获得基准约束目标自由度的程度。为此，提出距离测量方向线和角度测量平面两个概念。

距离测量方向线(DMDL)定义：点、线、面基准要素和目标要素之间的距离测量方向线必须是两者之间的最短距离直线或两者之间的公垂线。

角度测量平面(AMP)定义：直线、平面基准要素和目标要素之间的角度测量平面是以三个矢量之一为法线的平面，三个矢量为两条直线矢量的矢量积、直线矢量与平面法线的矢量积、两个平面法线的矢量积。

根据以上概念，基准约束目标自由度的机理可以利用距离和角度测量原理来解释，目标要素某一方向的平移和转动自由度被基准约束，本质上是指目标要素相对于基准在该方向的距离和角

度能够测量并且唯一。因此，基准能够约束目标的平移自由度表明基准和目标两者之间存在DMDL，基准能够约束目标的转动自由度表明基准和目标两者之间存在AMP。判断基准能否约束目标自由度就是找出基准和目标两者之间的独立的DMDL和独立的AMP，而基准约束自由度的程度则可以通过基准和目标两者之间具有的独立的DMDL和独立的AMP的数量来衡量。

2.2几何要素之间的DMDL和AMP的确定方法

分析点、线、面之间所有可能的相对位置情况可知，基准要素与目标要素两者之间存在的DMDL是以下6种直线之一：①直线与直线的公垂线；②直线与平面的公垂线；③平面与平面之间的公垂线；④经过点的直线的垂线；⑤经过点的平面的垂线；⑥两点的连线。基准要素与目标要素两者之间的AMP是以下4种平面之一：①两共面直线所在平面；②以两直线的公垂线为法线的平面；③同时平行于直线和平面法线的平面；④同时平行于两个平面法线的平面。因此，对于约束平移自由度的判断，可以查找以上6个DMDL的存在情况，对于约束转动自由度判断，可以查找4个AMP的存在情况。由于目标要素的理想位置是确定的，因此只要确定DMDL和AMP法线的方向，就确定了被基准所约束的自由度的方向。为了叙述方便，将6个DMDL单位方向矢量分别用符号D1、D2、…、D6表示，将4个AMP的单位法线用A1、A2、A3、A4表示。

当基准与目标要素处于一些特殊位置时，如点-点、点-线、线-线重合以及线-面垂直、面-面平行等，这些情况下均具有两个DMDL和AMP，它们的具体方向不确定但均垂直于目标要素的本征方向，仿照本征自由度的定义，将这种特定的DMDL和AMP法线用平行于本征方向的单位矢量表示，并分别命名为Dxy、Axy。显然Dxy=Dx×Dy，Axy=Ax×Ay，其中，Dx、Dy就是两个方位确定而方向未定的DMDL的方向矢量，Ax、Ay就是两个AMP单位法线矢量。几何元素之间的DMDL和AMP如表1所示，其中成组要素的DMDL和AMP用两个正交的平面进行计算。根据本征自由度概念，Dxy和Axy与目标要素的面垂直自由度矢量方向相同，如果基准要素与目标要素之间存在的Dxy或Axy全部不能分解为Dx、Dy或Ax、Ay，则目标要素的面垂直自由度不能分解为线垂直自由度。

表1　几何元素之间的DMDL和AMP

2.3基于DMDL和AMP的公差坐标系的建立规则

根据基准约束目标本征自由度的原理，公差坐标系定义如下：①公差坐标系的原点与目标几何要素的中心重合，即点、线、面几何要素的坐标原点分别为点本身、直线的中点、平面的包围盒的中心；②公差坐标系的z轴为几何要素的本征方向；③公差坐标系的x轴方向为基准约束目标自由度的方向，y轴方向根据右手法则确定。设目标要素的本征方向为Dp，根据基准顺序和基准与目标之间的距离测量方向线Di(i=1,2,…,6)和角度测量平面法线确定Aj(j=1,2,3,4)，则通过判断基准体系中的全部基准的Di和Aj与Dp位置关系，就可以确定公差坐标系的x轴方向：

(1)如果存在Di并且Di⊥Dp，或者如果存在Aj并且Aj⊥Dp，则Di(或Aj)就是公差坐标系的x轴方向；

(2)如果存在Dxy或Axy，则垂直于本征方向的任意方向都可以作为x轴方向，这种情况适用于对基准约束目标的垂直自由度的方向没有要求的公差。

3　基准体系的约束自由度能力计算

3.1单一基准约束自由度的能力判断方法

单一基准约束自由度的能力取决于基准与目标之间的DMDL和AMP数量，根据DMDL方向和AMP法线与目标要素的本征方向的关系，即可确定自由度约束情况。对于给定的基准和目标要素，首先确定目标要素的本征方向Dp、本征自由度Tz、Txy和Rz、Rxy，然后计算两者之间的Di、Dxy和Aj、Axy，最后对每一个本征自由度建立相应的判断规则。对于平移自由度，约束自由度判断规则包括：①Tz能够被约束的条件是存在Di并且Tz与Di不垂直；②Txy能够被约束的条件是存在Dxy并且Dxy=Txy；③Txy能够分解的条件是存在Di且Txy不平行于 Di，此时规定Tx被约束，未约束的自由度Ty可以根据公式Txy=Tx×Ty求得；④Tx能够被约束的条件是存在Dxy并且Dxy垂直于Tx，或存在Di并且Tx不垂直于Di。表2所示为平移自由度的约束判断规则，由于Txy方向不确定，约束分两种情况：①全部约束但方向不确定；②分解成两个线垂直自由度Tx、Ty并且只约束Tx。

表2　本征自由度的计算规则

约束转动自由度的判断规则与约束平移自由度完全相同，只要把表2中的T、D分别用R、A替换即可。

3.2基准组合约束自由度能力计算方法

基准组合与组合基准不同，基准组合是指基准体系中的两个或三个基准可以组合而形成一个新的几何类型，如两个点基准组合等效于一个直线基准、两条平行直线组合等效于一个平面基准。除了第一成员基准的约束自由度能力以外，通过基准组合而得到的新几何类型具有组合成员单独存在时所不具有的约束自由度能力，如两个平行的圆柱同时作为一个目标要素的基准时，虽然其中一个圆柱属于基准冗余，但两个圆柱会组成一个平面基准，从而使两个圆柱基准组合还具有平面基准的约束自由度能力，因而增加了对目标自由度的约束。由于公差的基准数量最多只有三个，因此进行组合的基准数量只有两个基准的组合和三个基准的组合两种情况。

两个基本几何元素的组合又可以分为点-点、点-线、点-面、线-线、线-面、面-面6种，其中只有点-点、点-线、线-线三种组合可以形成新的几何类型，即分别等效于直线、平面、平面，如图3a、图3b、图3c所示。三个不同类型的几何要素虽然可以产生非常多的组合，但能产生新的等效几何类型的组合有两种情况：①第一、第二、第三基准的几何类型均为点；②第一、第二基准的几何类型均为点、第三基准的几何类型为平行于前两点连线的直线。即前两个基准均为点时可组合成线，再与第三个点基准或平行直线基准组合成面，如图3d、图3e所示。可行的基准组合必须具备能够产生新的几何类型和增加约束自由度能力两个条件，只有图3所示的几何类型和相对位置下才可能组合形成能增加约束能力的新的几何类型。

(a)点-点　(b)点-线　　(c)线-线　　　(d)点-点-点(e)点-点-线图3　基准组合

计算基准组合的约束自由度能力时，首先计算当前基准单独作用时的约束自由度能力，然后计算当前基准与高序基准组合产生的新几何类型的约束自由度能力，由基准组合而增加的约束自由度由参与组合的基准共同承担，该自由度所对应的公差分量以参与组合的基准的等效几何类型作为测量基准，该自由度的方向也由等效几何确定。

3.3基准体系约束自由度能力的计算

以往的研究中首先确定基准体系整体的约束自由度能力，再根据目标要素相对于基准体系的位置计算目标的自由度约束情况。这种方法不能判断每一个基准具体的约束自由度情况，也没有考虑基准组合的作用，无法确定每一个基准的设置合理性，因此不适合公差标注的验证方法。本文方法认为基准体系约束自由度的能力为基准单独约束自由度的能力和基准组合约束自由度的能力之和，基准体系约束自由度的计算就是建立被约束的本征自由度的集合，该集合包括约束的本征自由度和承担该约束任务的基准与基准组合。根据几何要素本征自由度的定义和表2的约束自由度计算方法，并且遵循基准优先原则，容易建立这一关联关系。利用关联关系可以为基准设置正确性判断、公差检测规划制定等应用提供依据。

4　基于本征自由度的公差标注正确性验证

4.1公差标注正确性验证规则

公差标注的正确性主要体现在公差类型选择的有效性、各种公差之间关系的一致性、公差数值设置的合理性、自由度约束的完整性以及公差原则设置的合理性等多个方面[13-14]，这些方面的检查方法都涉及几何要素的自由度约束问题，如根据基准体系的约束自由度能力计算可以发现欠公差、过公差问题以及不适当的基准设置，根据目标的自由度约束情况可以判断公差数值设置的合理性、公差关系的一致性等。因此，约束自由度计算方法是公差标注的正确性验证的主要工具，根据约束自由度计算可以找出不正确的尺寸与公差标注，从而使公差设计和标注软件具有自校正功能。

公差标注正确性检查必须基于实体模型和三维公差标注，首先需要建立公差与基准关系的数据结构，该数据结构存储了基本几何元素和成组要素的每一个几何公差和尺寸公差的公差类型、公差数值及修饰符、根据优先关系排列的各基准以及应用的公差原则。然后确定目标几何要素的本征方向，确定目标要素的本征自由度Tz、Rz、Txy、Rxy。最后对每一个公差标注逐个判断基准设置的合理性、基准设置的充分性、公差设置的冗余性，这样可以保证每一步检测到错误就可以针对性地给出出错信息。利用基准约束自由度能力计算方法可以建立公差标注的有效性检查规则，具体规则如下。

(1)基准体系约束能力检查规则：每一个公差的基准体系至少必须能够约束表3中该公差项目的一个自由度，否则基准体系的约束能力不足。当公差值带有修饰符Φ时，基准体系必须约束表3中该公差项目的垂直自由度(Txy和Rxy)，否则基准体系的约束能力不足。

表3　各类公差需要约束的自由度

(2)冗余基准检查规则：根据表3公差类型与几何要素约束自由度的关系，确定几何要素必须约束的自由度。根据基准优先原则，逐个对基准进行判断，如果当前基准及其与高序基准的组合不能约束目标要素剩余未约束自由度，则当前基准为冗余基准。

(3)冗余公差检查规则：如果几何要素的当前公差所必须约束的自由度已全部被其他公差所约束，则当前公差为冗余公差。可以为每一个几何要素设置一个本征自由度表，根据表2的计算方法为每一个自由度指定承担约束任务的基准，建立约束自由度信息关联关系表，则公差是否冗余就可以通过检索自由度约束关联关系表进行判断。

(4)方向公差可应用性检查规则：方向公差控制目标要素的转动自由度，如果被测要素不存在需要约束的转动自由度(Rz、Rxy、Rx、Ry)，则方向公差不可应用。

(5)位置公差可应用性检查规则：位置公差控制目标要素的平移自由度，如果被测要素不存在需要约束的平移自由度(Tz、Txy、Tx、Ty)，则位置公差不可应用。

(6)尺寸公差标注的正确性检查规则：如果目标的一个转动自由度被约束，则该转动自由度方向的夹角只能标注理想角度尺寸。如果目标的一个平移自由度被约束，则该平移自由度方向的距离只能标注理想距离尺寸。

(7)修饰符使用合理性检查规则：只有点和直线目标要素的公差值可以带有修饰符Φ。当基准体系只能约束直线目标的垂直平移自由度Txy和约束垂直转动自由度Rxy时，位置公差和方向公差的公差值必须带有修饰符Φ；当目标和基准要素均为点并且两者重合时，位置公差的公差值必须带有修饰符sΦ。

(8)公差标注的完整性规则：通过基准体系的约束能力计算可以发现目标要素没有约束的自由度，从而发现遗漏标注的距离尺寸和角度尺寸，同时也提醒设计者是否存在遗漏的公差标注。

(9)复合公差标注时公差体系的细化原则：当存在位置公差和方向公差复合情况时，位置公差的基准约束本征自由度必须包含方向公差的约束自由度，并且方向公差值必须小于位置公差值，否则不符合公差细化原则。当存在两种方向公差复合时，高层公差框格的基准所约束的有效自由度必须超过低层公差框格的基准所约束的有效自由度，即高层公差必须存在不同于低层的另一方向的有效约束，同时低层的公差值必须小于高层公差值，否则，低层方向公差属于冗余公差。

4.2公差标注的正确性验证实例

图4为一法兰盘的公差标注情况，其中的目标要素C和D的几何公差基准存在顺序设置错误，运用本文的公差标注的正确性验证规则分析如下。

图4　几何公差标注的正确性验证

目标C的自由度约束情况：第一基准B具有约束目标要素的自由度Tz和Rxy中Rx的能力，第二基准A不能约束目标要素的另一个线垂直自由度(该自由度绕z轴转动)，基准A和基准B没有组合的可能，因此判断结果基准A为冗余基准。虽然位置度公差为综合公差，方向公差的缺省值等于位置公差，故从约束自由度的角度看，Rxy没有必要约束，但设计意图可能要求目标C关于基准A和基准B的垂直度同等重要，因此如果系统提示基准A冗余，此时会提醒设计者注意查找出错原因。此外，由于目标要素的几何类型为平面，因此目标C的公差值带有修饰符Φ也是冗余的。

目标D的自由度约束情况：目标D为成组要素，其自由度为Rz、Tx、Ty、Rx、Ry。第一基准B约束了一个目标的4个线平移自由度Tx、Ty、Rx和Ry，第二基准A没有约束剩余的自由度，第二基准A与第一基准B没有组合形成新的几何类型的可能，此时得出1个出错信息，即基准A为冗余基准。第三基准C约束目标D的线平行转动自由度Rz。其他规则检验也没有发现违背情况，该公差标注具有一个出错信息。如果设计意图需要保证成组要素的4个孔与底面垂直，则必须把基准目标A作为第一基准，从而约束了目标D的两个线垂直面转动自由度Rx和Ry，然后保证目标D的中心与基准B的同轴度，约束目标D的两个线垂直面平移自由度Tx和Ty，最后约束目标D绕自身轴线的转动角度，因此目标D的位置度公差的合理基准顺序为基准A、基准B和基准C。

5　结论

(1)描述了几何要素的本征方向概念和本征自由度的定义，保证约束自由度的计算方法具有一般性，且便于进行装配公差分析和公差技术与CAD实体模型集成。

(2)基于本征自由度，分析了几何要素约束自由度的原理，给出了几何要素约束目标自由度能力的计算方法，可方便快捷地计算出被测目标被基准约束的具体自由度。

(3)提出了基于距离测量方向线和角度测量平面概念的几何元素约束自由度计算原理，建立了单一基准和基准组合约束自由度能力的计算方法。

(4)提出了基于本征自由度的公差标注正确性和完整性验证的启发性规则。

[1]Zhang B C. Geometric Modeling of Dimensioning and Tolerancing[D]. Tempe: Arizona State University, 1992.

[2]Wu Y. Development of Mathematical Tools for Modeling Geometric Dimensioning and Tolerancing[D] . Tempe: Arizona State University, 2002.

[3]Shah J J, Yan Y, Zhang B. Dimension and Tolerance Modeling and Transformations in Feature Based Design and Manufacturing[J]. Journal of Intelligent Manufacturing, 1998, 9(5):475-488.

[4]Kandikjian T, Shah J J, Davidson J K. A Mechanism for Validating Dimensioning & Tolerancing Schemes in CAD Systems[J]. Computer Aided Design, 1999, 33(10):721-737.

[5]Ameta G, Serge S, Giordano M. Comparison of Spatial Math Models for Tolerance Analysis: Tolerance-maps, Deviation Domain and TTRS[J]. Journal of Computing and Information Science in Engineering， 2011, 11: 021004-1-021004-8.

[6]吴永宽，于连璋. 零件与工装的形位精度理论与应用[M].北京：机械工业出版社，1994.

[7]ASME. Mathematical Definition of Dimensioning and Tolerancing Principles[S]. New York :American Society of Mechanical Engineers, 1994.

[8]Kramer G A. Solving Geometric Constraint Systems: A Case Study in Kinematics[M]. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1992.

[9]Wu Y, Shah J J, Davidson J K. Computer Modeling of Geometric Variations in Mechanical Parts and Assemblies[J]. Journal of Computer and Information Science in Engineering,2003,3(1):54-63.

[10]Shen Y, Shah J J, Davidson J K. Feature Cluster Algebra in Geometric Dimensioning and Tolerancing[C]//Proceedings of the ASME IDETC/CIE. Washington D C, 2011: 709-722.

[11]吴玉光. 基于工序要求的夹具定位方案自动规划方法[J].机械工程学报，2010, 46(11):185-192.

Wu Yuguang. Approach to Automated Location Planning for Fixture Based on the Processing Procedure Requirements[J]．Journal of Mechanical Engineering，2010，46(1 11：185-192．

[12]吴玉光, 张根源. 基于几何要素控制点变动的公差数学模型[J]. 机械工程学报, 2013, 49(5):138-146.

Wu Yuguang, Zhang Genyuan.Tolerance Mathematical Model Based on the Variation of Control Points of Geometric Element[J]. Journal of Mechanical engineering, 2013, 49(5): 138-146.

[13]Shen Z S. Tolerance Analysis with EDS/VisVSA[J]. Journal of Computing and Information Science in Engineering, 2003, 3:95-99.

[14]刘玉生,曹衍龙. TolRM：面向三维CAD的公差建模系统[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2006, 18(8):1179-1184.

Liu Yusheng，Cao Yanlong. TolRM: a 3D CAD Oriented Tolerance Modeling System[J]．Journal of Compuler-Aided Design & Computer Graphics, 2006，18(8)：1179-1184．

(编辑袁兴玲)

DOF Representation and Operation of Geometric Feature and Its Applications for Tolerance Technology

Wu Yuguang1Liu Yusheng2

1.Hangzhou Dianzi University,Hangzhou,310018 2.The State Key Lab of CAD&CG,Zhejiang University,Hangzhou,310058

The intrinsic direction of geometric feature, the representation method and calculation rules of DOF of geometric feature were proposed. The intrinsic direction of geometric feature was determined based on the geometric characteristics and position relations among toleranced geometry feature and datum geometry feature. According to the geometric measurement principles, the computation method of constraint capability of datum feature to the DOF of target feature was proposed,and the calculation rules of constrained DOF of toleranced features were proposed by datum reference frames. The tolerance specification validation method were proposed according to the relationship among tolerance type and geometry of the datum and target entity , and the correctness and completeness validation rules were discussed against the dimensioning and tolerancing standards and against good practice rules in industries.

degree of freedom (DOF); intrinsic DOF; constraint capability; tolerance verification

2014-07-10

国家自然科学基金资助项目(51175132,61173126)

TP39.72DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.11.014

吴玉光，男，1961年生。杭州电子科技大学机械工程学院教授、博士。研究方向为夹具自动设计、公差技术等。发表论文60余篇。刘玉生，男，1971年生。浙江大学CAD&CG国家重点实验室教授、博士。