从足球海报看数学公式

朱国军　叶军

2013年11月4日，广州恒大俱乐部贴出了亚冠决赛第二回合的海报，主题是“11月9日，我们共同解答，冠军终归这里”。海报中列出两个恒等式代表恒大与首尔第二回合的预测比分。海报的寓意是，决赛终将以3：0夺冠。

11月9日，比赛当日，广州恒大队最终以主场1：1战平首尔FC，以总比分3比3夺得亚冠冠军。现实虽然和理想相去甚远，但预测毕竟只是预测，这个有点侥幸的结果对中国足球来说，已经足够庆贺一下了。恒大夺冠，对中国足球和大部分球迷来说，无疑是难得的喜讯，让很多数学好或者不好的球迷一起去重温这份海报。一时间，一份足球海报担任了数学科普的角色，数学以一种奇特的姿态展示在世人面前。勉强得到的冠军毕竟还是冠军，怎么说总让这两个奇特的式子获得了向大众一露微笑的机会，其“教学效果”好像比数学老师在黑板上讲n遍好得多。那么这两个式子的意思究竟是什么呢？

左边的是拉马努金恒等式，结果等于3；右边的是欧拉公式eπi+1=0。

拉马努金（1887～1920），印度数学家。家境贫困，少年时代即显示出对数学较强的直觉和洞察能力，10岁进入中学，通过自学的方式学习数学，14岁左右就显示出自身的数学天才。成年以后，他的数学成果引起英国著名数学家哈代（G.H.Hardy）的关注，经引荐，拉马努金到英国跟随哈代学习数学，接受系统的数学训练，后因健康问题回国，不久去世。拉马努金的数学天才以伟大的洞察力著称于数学界，简单地说，拉马努金不是“证明”数学公式，而是直接“发现”公式。如下面的与圆周率有关的级数公式：

无人知道拉马努金短暂的一生对现代数学的损失究竟有多大，哈代在回忆中评价他和这位学生的合作，说和拉马努金的合作是“我一生中最浪漫的事件”。

国际上主要有两项拉马努金为名的奖：SASTRA Ramanujan Prize和The Ramanujan Prize。前者由拉马努金的故乡在2005年创立，颁发给年龄不超过32岁的年轻数学家，奖金一万美元。2006年的获奖者，是澳大利亚的华裔数学家陶哲轩。后者The Ramanujan Prize由ICTP（国际理论物理中心）2005年创立，颁发给发展中国家的优秀数学家。获奖者的年龄不超过45岁，清华数学中心访问学者张伟荣获2010年SASTRA Ramanujan奖。

下面的故事能充分说明拉马努金对数字的敏感和洞察力。有次拉马努金生病，哈代前往探望。哈代说：“我乘出租车来，车牌号码是1729，这个数没什么意思。”拉马努金答道：“不，那是个很有趣的数。在可以表示为两个数的立方之和，而且仅有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即1729=13+123=93+103，后来这类数被趣称为“的士数”）哈代的好友，同样是数学家的利特尔伍德听了这个故事后评价说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”

如果把所有的根号擦去，剩下的数字是：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，8…相当于在自然数列1，2，3，4，5…相邻两个数之间中插入1。掌握这一规律，不需要很多的数学知识，你也能把拉马努金恒等式随意写下去，它们的值都等于3。

网上有人指认，书写恒大比分的笔是一种“名牌钢笔”，而书写首尔队比分的笔不过是普通的圆珠笔，此中意味，似乎不言自明。广告设计者若真的在书写工具上企图给出某种暗示，以求迎合国内球迷的求胜心理，似乎毫无必要。要知道，欧拉公式eπi+1=0，其数学内涵，丝毫不比前一个公式逊色：在一个简短的式子中，把数学中最常用的5个数e（自然对数的底数，e=2.718281828…也是一个无理数）、π（圆周率）、i（虚数单位）、1、0连接起来，该公式被评为“最美的数学公式”。只不过，要给广大球迷顺便科普一下欧拉公式，好像没那么容易。

（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）