创意折叠桌加工参数的优化设计

赵店，朱家明，缪灵均，廖梦雨

（1.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽财经大学 国际经济与贸易学院，安徽 蚌埠 233030）

创意折叠桌加工参数的优化设计

赵店1，朱家明1，缪灵均1，廖梦雨2

（1.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽财经大学 国际经济与贸易学院，安徽 蚌埠 233030）

针对创意折叠桌设计加工参数，依据所给条件，综合考虑桌子稳定性、加工使用材料量等因素时确定最优加工参数等问题，通过创建几何空间、非标准单叶双曲面函数的构造、空间曲线拟合等方法，分别构建非标准的桌子直纹曲面函数、多元函数极值等模型，使用MATLAB，CAD等软件编程和绘图，得到最优设计加工参数的数学模型。

创意折叠桌；空间几何；直纹曲面；单叶双曲面；多元函数；MATLAB；CAD

创意平板折叠桌的创意最初来自于荷兰设计师obert van Embricqs［1］。桌子中巧妙地利用了条状机构，让它在需要的时候可以形成稳定的三角支撑变成桌子，不需要的时候可以变回原来的平板状态，具有折叠的功能，节约空间，收放自如。折叠桌的设计形式多种多样，携带方便，便于装卸搬运，加工经济方便，这正是生产者所追求的。本文就所给平板折叠桌的相关参数，从定量的角度进行建模分析，既给出了既定参数下直纹曲面的方程，又给出了在稳固和用材少的情况下折叠桌的设计方案，并按顾客需求给出了合理的优化设计方案（详细数据见2014全国大学生数学建模竞赛B题［2］）。

1　折叠桌的数学描述及分析

1.1研究思路

1.1.1建立三维坐标

以桌面底面圆心为坐标原点，左侧桌腿方向为x轴，垂直桌腿的方向为y轴，竖直方向为z轴，建立如图1所示的空间直角坐标系。 根据桌腿的长度及宽度计算出各个桌腿、切割处、钢筋等端点的坐标。根据坐标关系求解出点与点之间，线与线之间的距离及以下问题。

图1　空间直角坐标示意图

1.1.2动态变化说明

钢筋的变化过程可以看作是一根棍子围绕与它平行的一条直线进行圆周运动，故该钢管的运动轨迹是以其中一组桌脚最外侧两根桌腿的连线为旋转轴，最外侧即最长木条与桌面连接处到钢管固定处距离为半径旋转而成的圆柱体。木条开槽是在收起和折叠时起到固定作用，开槽长度决定桌子高度和稳定性。在桌子收起作为普通木板时，钢管刚好处于木板最中间位置；在完全折叠后，钢管则刚好处于该木条的顶端。两次最短木条连接处到钢筋的距离差即为中间木条开槽长度：

1.2研究方法

1.2.1非标准直纹曲面函数模型

按照图1的空间直角坐标系，假设各端点坐标集为｛（Xm， Ym， Zm）（m=1， 2， …i， …j， …n）｝，则两点之间距离S可表示为：

由于钢管旋转形成的圆柱面的母线与y轴平行，故其曲面方程［3］与y无关：

设一组桌腿最外侧两个端点坐标分别为Α（xα，yα）， B（xb， yb）；平板水平放置时钢管两个固定点及中点坐标分别为C （xc， yc）， D （xd， yd）， N （xn， yn）；最短木条与桌面连接处（两个端点，这里只考虑其中一个端点）的坐标为M （xm， ym）；钢管旋转至底部时，两个固定点及中点坐标变为C1（xc1， yc1）， D1（xd1， yd1）， N1（xn1， yn1）；则木条开槽长度l表示为：

记钢管旋转至某一状态木条底端坐标为｛（xi， yi）i = 1， …， 20｝，单叶双曲面函数为：

根据单叶双曲面函数构建类单叶双曲面函数：

MATLAB中使用程序计算出折叠桌上每个端点的坐标，表1是一侧桌脚在钢管最终状态下木条底部端点的坐标。

表1　最终状态桌脚端点坐标值

利用MATLAB确定桌子折叠的最终状态是：

在钢管旋转30°时，直纹曲面方程［4］被确定为：

运用MATLAB软件画出该折叠桌最外侧桌腿旋转角度分别为30°和75°时直纹曲面图，见图2、图3。

图2　折叠角度为30°折叠桌曲面图

图3　折叠角度为74°折叠桌曲面图

1.3结果分析

观察图2和图3的直纹曲面，可以看出随着最外侧桌腿旋转角度的增大，该曲面的凹度更深，而且桌脚边缘线形成的空间曲线在Z轴方向表现得更立体。

随着最外侧桌腿旋转角度的增大，其直纹曲面的凹陷程度更深，曲面方程的常数项更小。

利用MATLAB工具，求解出M， N， N′点坐标分别为M（25， 0， 0）， N（33， 5， 0， 0），N′（15.8， 0， - 24.99）。根据公式（1）求出槽的长度为：18.13 cm。根据表1最终状态桌脚端点坐标值画出两条桌脚边缘线的空间曲线图，见图4。

图4　桌角边缘线空间曲线图

桌角边缘线投影在平面xoz上拟合的曲线方程为：

该拟合曲线的可决系数为0.9997。

投影在平面yoz拟合的曲线方程为：

该拟合曲线的可决系数为0.9935。

投影在平面xoy拟合的曲线方程为：

该拟合曲线的可决系数为0.9958。

3条拟合曲线在4次拟合情况下可决系数值都大于0.99，说明4次拟合曲线具有很高的代表性，能够说明投影在平面内曲线的趋势。

2　折叠桌加工参数与稳固性、用材少的关系

2.1研究思路

设桌子平铺时总长度为2a，钢筋到圆心的距离为x，圆桌面的半径为r，总长度与两条最外侧桌腿的长度差为20 cm，用桌子平铺时的俯视图表示，见图5。

当桌脚旋转至最低端时，最外侧桌腿与中间位置的桌腿形成的是空间夹角。画出两条腿在平面xoz上的投影，投影见图6。

图5　俯视图

图6　投影图

图6中ΑB两点所在的直线即为最短桌腿，CΑ两点所在直线即为最长桌腿。根据钢筋在最外侧桌腿位置即旋转角度可以确定钢筋所在位置的竖坐标z和横坐标x，从而得到Α点坐标即中间桌腿旋转后钢筋的所在点坐标。

2.2研究方法

根据坐标间关系写出Α点和B点坐标表达式：Α（10 + （x-10） sinθ， 0， （x-10） cosθ ），B（r， 0， 0）其中

方程（2）中桌面高度和桌面直径是给定的，但是在不同需求情况下其值是不断变化的。将方程（2）用f （α， x）表示，对该二元函数求极值：

2.3确定加工参数

将问题二中要求的桌子高度和桌面直径代入方程（2）中，得到：

使用MATLAB求出该二元函数取极值的结果：平板半长a 为84.07 cm，平板中心到钢管的距离x为44.37 cm。

再使用问题一模型求解中间桌腿的凹槽长度为33.24 cm；最外侧桌腿旋转角度为70.9205°，中间桌腿旋转角度为107.4866°，两桌腿在平面xoz投影形成的夹角为11.45°。

3　平板形状与折叠桌高度、桌脚边缘线形状之间的关系

3.1研究思路

桌面边缘线反映了桌面的大致形状，可以是圆形、椭圆形、菱形、跑道型［5］等。

桌脚边缘线是一个空间曲线，桌脚边缘线的确定也就是桌腿末端坐标点的确定，进而可以确定钢筋的位置，桌子展开时每条桌腿所旋转的角度。

设平板尺寸为2a×2b×2c，给定桌面高度为h，宽度2b，桌腿宽度d，则桌腿的个数为2b / d个，以平板的中心位置建立如图1所示的三维坐标系，则初始钢筋位置为（x， 0，0）。

3.2研究方法

由桌子的侧视图图5所示，分别求出每根桌腿的长度：

固定钢筋与桌子底面的距离：

桌腿在运动过程中钢筋运动的弧形轨迹：

第i根桌腿中钢筋的坐标为：

第i根桌腿木条开槽的长度：

由正余弦定理得：

得当α在所限制条件的范围内取得最大值时，桌子的稳固性最好，因为支撑点与钢筋在中间桌腿上的点形成一个稳固的三角形，所以此时的桌子是最稳固的，即为最优解。

3.3桌面为跑道型的动态分析

我们对问题第一问进行深化探究，给定平板尺寸，使平板的长度增加为145 cm，在宽度和厚度不变的情况下增加桌面的面积，把原来圆形的桌面改写成跑道形状的桌面。修改最长桌腿与地面的夹角，用MATLAB运行程序可得出桌子折叠的动态变化过程，在这里我们只取变化过程中夹角为30°和75°时折叠桌的折叠状态，见图7和图8。

图7　折叠角度为30°折叠桌曲面图

图8　折叠角度为75°折叠桌曲面图

4　结束语

该文对折叠桌动态变化过程的描述不仅使用了多张反映动态变化的图片，还计算出桌腿在空间变化时两个不同位置所对应的类单页双曲面方程。巧妙地将稳定性问题转化为角度问题，建立二元函数，进而通过求极值，解得最优参数，同时在考虑折叠桌稳固的情况下设计出用材最少的设计模型，最后设计的跑道型折叠桌满足了人口较多的家庭的需求，打破传统的圆形桌面，设计美观。

［1］ 可折叠成平板的桌子［EB/OL］.（2012-02-22）［2015-03-03］. http://www.ixiqi.com/archives/42782.

［2］ 2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题（14-09-11）［EB/OL］.（2014-09-11）.［2015-03-03］.http:// www.mcm.edu.cn/html_cn/block/c61dfec317d7a5bd9b2b8ef ed81c8af3.html.

［3］ 黄艳红.二次曲面讨论［J］.邢台职业技术学院学报，2004（1）：15-16.

［4］ 沈守国，徐新成，赵中华.直纹曲面类零件的CAD/CAM技术研究［J］.制造业自动化，2013（2）：8-11.

［5］ 韩佳成，Robert Van Embricqs.平板折叠边桌［J］.设计，2012（8）：24.

A Research on the Optimization of Processing Parameters of Creative Folding Table

ZHAO Dian1， ZHU Jiaming1， MIAO Lingjun1， LIAO Mengyu2
（1.School of Statistics and Applied Mathematics， Anhui University of Finance and Economics，Bengbu Anhui 233030， China； 2.School of International Economic and Trade， Anhui University of Finance and Economics， Bengbu Anhui 233030， China）

The paper determines the first-rate process parameters for making creative folding table mainly based on present conditions and taking the stabilization of the table， the quantities of material and other factors into consideration. We construct the models that are non-standard ruled surface function and the extreme value of multivariate function respectively， and then use the software of MATLAB， CAD to write program and paint in order to get the mathematic model with the first-rate designing process parameters through setting up geometry space，atypical uniparted hyperboloid function and space curve fi tting.

creative folding table； space geometry； ruled surface function； uniparted hyperboloid function；multivariate function； MATLAB； CAD

TS664.01

A

1674 - 9200（2015）06 - 0069 - 05

（责任编辑 刘常福）

2015 - 03 - 03

国家自然科学基金项目“随机动力系统的非一致指数二分性及其数值模拟”（11301001）；安徽财经大学教研项目“数学建模竞赛引领大学生科研创新的研究”（acjyzd201429）。

赵 店，安徽财经大学统计与应用数学学院2012级本科生。

朱家明，安徽财经大学统计与应用数学学院副教授，硕士，E-mail:zhujm1973@163.com。