一堂概念课引发的数学概念教学的思考

王丽媛

（延边第二中学，吉林　延吉　133000）

一堂概念课引发的数学概念教学的思考

王丽媛

（延边第二中学，吉林延吉133000）

课改实施至今，在高中数学教学中重解题训练轻概念教学的现象仍然屡见不鲜。那么数学概念教学的实际意义是什么？如何教学才能易于学生理解和应用？怎样在概念教学中体现课堂设计的有效性？本文以双曲线概念教学为例阐述了对这些问题的认识。

数学概念教学；意义；“信息差”效应

课改实施至今，在高中学数学教学中，“重解题训练轻概念教学的现象仍然屡见不鲜，一批批学生在题海中挣扎，却其实在下海之前根本没有学会如何游泳，所以很多学生感觉困惑，或是被淹到呛到，导致对数学学习失去信心。

那么数学概念教学的实际意义是什么？如何教学才能易于学生理解和应用？怎样在概念教学中体现课堂设计的有效性？现以双曲线概念教学为例谈谈对上述问题的认识。

一、高中数学概念教学的实际意义

课改后的高中数学教材中的几乎所有概念，都是通过实例，或是对比或是引申或是提出思考方向，引导学生找出一类事物的本质属性，然后再对所发现的属性进行刻画与修正，最后用简练客观的数学语言定义并用符号语言表示，对数学概念的教学就是对概念的内涵和外延的教学。任何一个概念都有其内涵与外延，这是概念的基本特征。我们把某一概念反映的所有对象的共同本质属性的总和叫做这个概念的内涵，把适合于这个概念的所有对象的范围称为这个概念的外延。

学生以已有认知为基础，在新旧知识的碰撞中，体会新旧概念之间的联系与区别，有助于学生对高中教材的整体把握。在一些数学课堂，教师由于时间限制，对概念一言带过，急于进行习题训练，想通过这个方式使学生的解题能力迅速提高。但事实上，由于学生没有对概念的本质和外延有足够的理解、把握，习题和变式的引入生硬牵强，学生的学习囫囵吞枣，难以建立知识网络，反而增加学生的学习负担。同时，新课标下的高考要求，不再是对单一知识点的无限制的深入挖掘，而多是考查知识的综合运用，这就更需要学生牢固把握知识的内涵与联系。以双曲线的概念为例，它与椭圆的概念在本质上是一致的，即都是反映平面内到定点的距离与定长大小关系的曲线，抓住这一本质，学生在探索双曲线时就可以对比椭圆学习，无论是建立标准方程、挖掘曲线性质，还是寻求解题思路，都可以以椭圆为基础探索学习。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，直接学习晦涩难懂，需要逐步深入学习（如三角函数的概念），或是通过特例对比学习（如圆锥曲线、数列、基本初等函数等），所以重视挖掘概念的内涵与外延，正是应了“磨刀不误砍柴工”，不但不会耽误习题的讲解，相反会使习题的理解与掌握水到渠成。

二.双曲线概念教学初探

在概念课教学中，既要把握其内涵，这是掌握概念的基础；又要了解其外延，有助于了解适合这个概念的所有对象范围；同时，对概念中的约束条件的引出要顺理成章，以理解为目的，而不是机械记忆。

以双曲线概念教学为例，笔者设计如下教学流程：

复习椭圆概念

椭圆和双曲线都是圆锥曲线，其概念在本质上是一致的，所以从已有知识入手，迁移椭圆的定义，引出对“差”的思考，便于接下来双曲线与椭圆的对比学习。

做拉链试验

双曲线的几何图形对学生而言是陌生的，而且双曲线定义属于构造式定义，即通过概念本身发生、形成过程的描述来给出的，针对上述特点，由学生亲手画出双曲线是十分必要的，所以组织学生分组做拉链实验，在双曲线概念的形成过程中认识双曲线。苏霍姆林斯基认为，在人们的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，那就是希望感到自己是一个发现者，研究者。而教师完全可以通过课前设计，帮助学生成为每一个概念的发现者和研究者，培养勇于探索的品质与能力。

有效设计问题，确保信息差效应

面对陌生的几何图形与陌生的拉链试验，学生茫然没有抓手，即便勉强画出曲线，也无法将定义尤其是定义中的约束条件阐明，导致本节课至此都是无效的。所以，教师适当的问题引领，和体现“信息差”效应的问题设计，显得尤为重要。

本节课，笔者设计的问题是：（M点代表拉锁头，F1，F2分别代表纸板上的两个定点）

（1）画出当|MF1|＞|MF2|时的轨迹，它满足的几何条件是什么？当|MF1|＜|MF2|呢？|MF1|=|MF2|呢？

（2）请你比量一下两定点间的距离与截下那段拉锁长度，它们有怎样的大小关系？若改变这种大小关系，轨迹会发生怎样的变化？

带着这两个问题，学生边做实验边思考，教师对学生的发散活动进行调控，又不过多干涉阻碍，师生之间通过这种方式交换信息，确保“信息差”效应，体现以人为本的教学理念，也促使学生学习方式的转变。在这部分的设计中，教师的问题与学生的动手实验就像伴侣一样，互相配合，才可以实现有效教学。

内化概念，找平认知差异

学生将实际操作上升为数学语言，即形成定义后，其实并没有完成概念教学。由于不同学生的认知差异等因素，教师还要设计一个对新概念去粗取精、由表及里的深入环节，使学生由感性认识上升为理性的辨证认识。

在本节课，笔者设计了利用代数表达式的几何意义对双曲线概念的辨析问题：

判断下列方程是否表示双曲线

通过判断，可以初步培养运用概念作简单辨别的能力，并且对定义中的限制条件强化理解，将抽象的数学概念与实际问题互相补充理解，拉平学生由于认知水平产生的差异，为概念教学“固色”。

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。要想改变多少年形成的学生对数学的畏难情绪或觉得无用的想法，作为前沿问题的数学概念教学就必须引起我们一线教师的足够重视，这不只是理论问题，更应该从实践中发现整理。

［1］王宜飞.浅析概念的内涵和外延［J］.时代报告:学术版，2013，（3x）.

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1673-4564（2015）01-0128-02

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