探析“图形与几何”数学实验内容的类型及特点

顾正理

数学实验既是一种思想，也是一种方法，有助于学生在获取间接知识的同时获得直接体验与活动经验。近几年来，数学实验已作为一门课程走进大学（甚至中学）课堂;《数学课程标准（2011年版）》中也多次提到“实验”，还建议“有条件的学校可以建立‘数学实验室’供学生使用”。数学新课标配套的不同版本的小学数学教材与时俱进，也编排了不少别具匠心、类型多样的“实验”内容。从苏教版与人教版的小学数学教材来看，数学实验已然渗透到“图形与几何”领域的各个方面，实验内容的类型及特点也是丰富多样的。

一、 依据实验内容的范畴，可分为认识型、测量型、运动型和位置型

对于小学数学而言，“图形与几何”领域的课程内容主要包括图形的认识、测量、运动与位置四个方面的内容，所以实验内容的类型可自然地分为认识型、测量型、运动型和位置型。

1.认识型实验内容

认识型实验内容的主要特点是让学生通过对几何体或图形的观察、辨识、动手操作等体验活动，更加深刻地掌握其特征、分类以及判断等，帮助学生建立简单图形与几何体的表象。如：苏教版三年级上册第36页的例题，要求学生拿几张长方形和正方形纸，量一量、折一折、比一比，看看长方形、正方形的边和角各有什么特征。苏教版六年级上册第1页的例题，要求学生从不同的角度观察一个长方体，最多能同时看到几个面？人教版二年级上册第12题，要求学生在钉子板上任意围一个图形，再找出图形中的直角、锐角或钝角。人教版五年级上册第124页的第6题，下面是从不同位置观察同一个物体所看到的图形，请把它摆出来。显然，这些认识型实验，能让学生更加准确地认识到几何体与图形的特征。

2.测量型实验内容

测量型实验内容的主要特征是让学生借助三角尺、直尺、量角器、卷尺、容器等测量工具参与体验活动，能更加有效地掌握有关几何体和图形周长、面积、体积计算的方法以及单位换算等。如苏教版三年级下册第66页的例题4，要求学生：小组合作，用几个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写下表。苏教版四年级上册第2页的“试一试”，要求学生将1升水倒入纸杯，能倒满几个纸杯？先估计，再倒一倒。人教版二年级上册第8页的第1题，要求学生估计下图中的实物各有几厘米，再量一量。人教版三年级上册第24页第1题，要求学生先判断下面哪个图形是正方形，再量一量，看你判断得正确吗。这些测量型实验，加深了学生对数学活动内容的理解。

3.运动型实验内容

运动型实验内容的主要特征是让学生以动态的视角看待静态的图形，通过观察、实际操作等体验活动，更加清晰地掌握图形的平移、旋转、轴对称、放大或缩小等知识内容。如苏教版三年级上册第82页的“动手做”，要求学生：先照下面的样子做一个风车，再将风车迎着风，观察它是怎样旋转的。苏教版四年级下册第7页的例题4，要求学生从第113页剪下长方形、正方形和平行四边形，折一折，哪些是轴对称图形？人教版二年级下册第29页的例题1，要求学生：像上面这样（剪轴对称图形），先把一张纸对折，再画一画、剪一剪。人教版五年级下册第10页的第7题，要求学生：按上面的方法（把图形绕中心点旋转90°和180°）试一试，你会发现下面的图形（正六边形、正三角形、圆、正方形）有什么特点。这些运动型实验，使得图形的特征在学生眼前一目了然。

4.位置型实验内容

位置型实验内容的主要特征是让学生在具体的情境中，通过观察、辨析、绘图等体验活动，能描述或确定物体的方向或位置，有效提升学生的空间观念。如苏教版二年级下册第19页的第2题，要求学生：和你的好朋友在教室里面对面站立，先分别指一指各自的前后左右，再指出东南西北四个方向，有什么发现。苏教版六年级下册第51页的例题2，要求学生：你能在图中表示出清凉岛的位置吗？人教版一年级上册第12页第5题，要求学生：从第111页上剪下小动物图，贴一贴：在骆驼的左边贴小兔，在小兔上面贴小猫等。人教版五年级上册第22页的第6题，要求学生：设计一个图形，向你的同桌描述各顶点的位置，让他（她）在方格纸上画出来。这些位置型实验，让学生对物体的位置、方向更加清楚。

二、 依据实验内容的功能，可分为引领型、巩固型、综合型与拓展型

不同版本的小学数学教材，虽然设置课程内容的栏目不尽相同，但总体上都有例题、习题、有弹性的特色项目以及综合与实践专题。依据每个栏目所具有的功能不一，“图形与几何”领域的实验内容可以分为引领型、巩固型、拓展型与综合型等四类。

1.引领型实验内容

引领型实验内容的主要特点是有较完整的实验过程展示与指导：有实验问题、实验引领、实验过程、实验结论展示、实验验证以及简单实际应用等，能对学生的数学实验活动起到引领示范的作用，给学生的操作性探究活动提供活动样本。苏教版、人教版小学数学教材的中的例题，就是典型的引领型实验内容。如苏教版六年级下册有关圆锥体积公式的推导：先提出问题“你能估计这个圆锥的体积是圆柱体积几分之几”，接着追问“可以用什么方法检验你的估计”，再引导学生用等底等高的圆柱与圆锥容器做倒沙实验验证估计，然后根据交流与研讨推导出圆锥的体积公式，最后对实验过程进行回顾并尝试运用计算公式解决实际问题。人教版三年级上册第86页的例题3：用16张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼，才能使拼成的图形周长最短？教材首先出示第一步：阅读与理解——引领学生明白条件与问题;第二步：分析解答——给出的思路是“画图试一试”，展示了三位小朋友的不同拼法以及提示;第三步：追问“只有这三种拼法吗”，引领学生反思实验结果。引领型实验，既便于学生自学，更有利于他们养成良好的数学实验习惯。

2.巩固型实验内容

巩固型实验内容的主要特点是学生在练习作业时开展的自主性实验，让学生通过进一步的再实验巩固所学的知识，一般只有实验的要求，没有比较详细的过程指导。苏教版小学数学教材巩固型实验内容主要分布在：“想想做做”“试一试”“练一练”“练习×”“整理与练习（探索与实践）”“整理与复习”中，而人教版小学数学教材主要分布在：“做一做”“练习×”“整理和复习”“总复习”中。如苏教版四年级下册第5页的“试一试”：正方形有几条对称轴？你能折一折、画一画吗？苏教版六年级下册第26页“整理与练习”第14题：选一张长方形纸，卷成两个大小不同的圆柱，分别算出体积。与同学交流，怎样卷圆柱的体积比较大？人教版二年级下册第35页的第10题：用121页的学具拼一拼，看看能拼出什么图案。人教版六年级上册第58页“做一做”的第2题：用杯盖子、三角尺画出的圆，如何找到圆心？请你自己画一画、试一试。可见，巩固型实验能有效地帮助学生进一步深化对知识的理解和掌握。

3.拓展型实验内容

拓展型实验内容的主要特点是教材为了拓展学生的学习视野、满足学生的学习兴趣、满足学有余力学生的发展等而设计的有弹性的实验活动内容，不同的教材版本往往设计不同的栏目。苏教版小学数学教材主要有：“思考题”“你知道吗”“动手做”;而人教版小学数学教材主要有：“思考题”“你知道吗”“生活中的数学”“数学游戏”等。如苏教版三年级上册第45页的“动手做”：在第103页的方格上剪下这样一种或几种图形拼成下面的正方形或长方形。你能找到不同的拼法吗？先拼一拼，再和同学交流。（这样的“动手做”，苏教版小学数学教材大约有18处）苏教版四年级上册第83页的“思考题”：经过纸上2个点、3个点、4个点、5个点……每两个点画一条直线，能画几条直线？画一画、数一数，你能找到其中的规律吗？人教版一年级下册第7页的“思考题”：把一张长方形纸剪成大小相等的两块，你能想出几种剪法？人教版五年级上册第96页的“你知道吗”：展示了我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算三角形和梯形面积的转化实验图。这些拓展型实验，无疑是学生学习相应数学知识的拓展性或补充性活动。

4.综合型实验内容

综合型实验内容的主要特点是借助于综合与实践课培养学生综合实验与实际应用的能力，综合性、实践性与开放性特点比较明显，有利于学生积累数学活动经验。苏教版、人教版小学数学教材中皆有“几何与图形”领域的综合与实践实验课。如苏教版一年级上册第32～33页的“有趣的拼搭”，要求是：哪个滚得最快？哪种最难堆？你能摸出一个圆柱吗？比比谁搭得好！苏教版五年级上册第108～109页的“钉子板上的多边形”：小组合作，围出内部有2枚钉子，又有什么发现？（这样的“综合实践”，苏教版大约有10处）人教版二年级上册第88～89页的“量一量，比一比”：先量出讲台的长、自己的肩宽或身高等，然后用自己的方式描述动物身高或身长。人教版二年级下册第72～73页的“小小设计师”：你能像左页那样设计一个图案吗？试一试。让学生积极参与到综合型实验的活动中，显然有利于培养学生的创新意识与实践能力。

三、 依据实验内容的目的，可分为探究型、验证型和展示型

苏教版和人教版小学数学教材中的实验内容都是编写者精心设计的，具有一定的目的性。依据实验内容的不同目的，“图形与几何”领域的实验内容亦可以分为探究型、验证型与展示型三种。

1.探究型实验内容

探究型实验内容的主要特点是学生不知道结论，需要借助一定的学具，通过开展有针对性的探索操作活动，进而获取实验结果，既有利于培养学生的学习力，也有利于培养学生的自主探究精神。这类实验内容，无论是在苏教版小学数学教材，还是在人教版小学数学教材中都有分布。如苏教版二年级上册第68页的“我们身上的尺”，要求学生：你知道1米大约有几拃？大约是几步？大约是几脚长？先量出1米，再用这些“身体尺”量一量。苏教版四年级上册第91页的例题7：从点P向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段。量一量所有画出的线段的长度，你有什么发现？人教版一年级下册第6页的第4题：将一张正方形纸对折后剪开，你能发现什么？人教版六年级上册第61页的第10题：利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图案吗？试试看。这些探究型的实验活动，有效地提高了学生的学习效果。

2.验证型实验内容

验证型实验内容的主要特点是学生往往已经或者大概知道结论，通过实验操作，对结论的正确与否进行辨别，或“再发现”“再创造”，以此培养学生的实践能力和验证水平。此类实验内容在苏教版和人教版的小学数学教材中也有相当多的数量。如苏教版四年级上册第95页的第11题：a和b是两条互相平行的直线，∠1和∠2相等吗？先猜一猜，再量一量。苏教版六年级下册第15页的例题4：猜一猜，圆柱的体积与长方体、正方体的体积相等吗？用什么办法验证呢？人教版二年级上册第9页的第6题：先估计，再用尺量。人教版六年级上册第60页的第3题：用下面的方法可以测量没有标出圆心的直径。请你试一试。这些验证型实验，无疑可以培养学生科学的探究意识。

3.展示型实验内容

展示型实验内容的主要特点是将实验的过程、方法或实验图展示在学生的眼前，但并不需要学生一定要去实验，这类实验内容往往数量少，难度较大，主要给予学生共享，感知数学实验的价值，提高数学学习的求知欲。苏教版五年级下册第95页“你知道吗”：展示了我国魏晋时期数学家刘徽采用“割圆术”求圆的周长的近似值的实验图。人教版四年级上册第70页的“数学游戏”——神奇的莫比乌斯带：图文并茂地介绍了莫比乌斯带的实验过程以及运用价值。这些拓展性的展示型数学实验，能给学生带来潜在的数学实验情趣。

综上所述，“图形与几何”领域的数学实验内容是丰富的，类型也是多样的。数学实验不仅能帮助学生获得直接经验，也能获得间接经验;不仅能帮助学生探究数学规律，也能验证某个猜想;不仅培养了实践能力，也发展了创新意识。数学家冯·诺依曼也指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验。”为此，我们应该在厘清数学实验内容的基础上，有的放矢地采用适当方法，让数学实验课堂成为学生素养全面提升的加速器。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 张景中，王鹏远.少年数学实验[M].北京：中国少年儿童出版社，2012.

[3] 王向东，戎海武，文翰.数学实验[M].北京：高等教育出版社，2004.

【责任编辑：陈国庆】